思科数学【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第04讲 集合的概念与运算教案.doc

第4讲 集合的概念与运算本讲内容包括集合及其性质（集合的元素满足确定性、互异性、无序性）；元素与集合、集合与集合的关系（属于、包含、子集、空集、全集）；集合的运算（交、并、补）及容斥原理等。“交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：若，则； 若，则；III; III.容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此类计数公式通称为容斥原理。“容”意指这些子集的并集是原集合，“斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以表示有限集合中元素的个数，参照Venn图可以得到如下计数公式: A类例题例1 已知数集，。若，求实数的值。分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性，集合中三个元素有且仅有一个为1。椐此可求出，进而求出。解 由，得。 由集合中三个元素有且仅有一个为1，得，。由，得。因此，所求实数为或。例2 集合 的关系是 （ ）（1989年全国高中联赛）分析1 通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断。解1 ，而可取任意整数，得集合表示4的倍数的集合，即。，设，得。所以，应选。分析2 本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法是“若，则”；证明集合相等关系的一般方法是“若 则”。解2 若。设，则。若。设，则。由。所以应选。例3 已知，。（1） 若，求实数的值；（2） 若，求实数的取值范围。分析 首先应对题中的集合语言进行解读。，意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组的解集。（1）是求实数的值，使上述方程组有3解；（2）是求实数的取值范围，使上述方程组无解。解 由 （*）。当时，原方程组无解；当时，原方程组有两解；当时，方程（*）有两个不等的实根。由，得方程（*）两根中，一根为正数另一根为0时，原方程组有3解；方程（*）两根均为负根时，原方程组无解。由，经验算，时，原方程组有3解；由，即时，原方程组无解。所以，若，实数 ； 若，实数的取值范围是或。 情景再现 1已知数集，求实数的值。（1999年第十届“希望杯”高一）2若是单元素集合，则实数的值为 （ ） 不存在这样的实数（1990年江苏省数学竞赛）3数集与数集之间的关系是 （ ）（1984年全国高考题） B类例题例4 设集合满足：， 。若为已知集合，求集合。分析 在研究集合之间的运算时，应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质。 解1 由 设或因为 ，得 ，即。由 ，得。又 所以，。解2 由 ，所以， 。例5 已知集合，若，求实数的取值范围。分析 由题意，两个一元二次方程和中，至少有一个方程有实数解。采用直接方法是求两个方程有解集合的并集；或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集。解1 由二次方程，得；由二次方程 ，得；由，得所求实数的取值范围是 解2 由解1，得。由，得所求实数的取值范围是R例6 不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有多少个？分析 若不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为。则要求的是|I|。解 设不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为，则。因此，。所以，不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有 |I|（个）。 情景再现4已知，且 ，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围。5若非空集合，则能使成立的所有的集合是 （ ）（1998年全国高中数学联赛）6某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计：数学有21人优秀，物理有19人优秀，化学有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有6个，数学和化学都优秀的有8个。若该班有7人数学、物理、化学三科中没有一科优秀，试确定该班总人数的范围及仅数学一科优秀的人数的范围。 C类例题 例7 设，是平面内的点集，讨论是否存在 使得（1）；（2）同时成立。（1986年全国高考题）分析 首先应对题中的集合语言进行解读。，意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组有整数解；，则给出了的允许值范围。解 集合可分别化简为，。，仅当且时，方程组有解。此时，原方程组的解为 由于，原方程组的解不是整数解，所以满足条件的实数不存在。 例8 一次会议有2005位数学家参加，每人至少有1337位合作者，求证：可以找到4位数学家，他们中每两人都合作过。分析 按题意，可以构造一种选法，找出符合条件的四位数学家。解 由题意，可任选两位合作过的数学家，设与合作过的数学家的集合为，与合作过的数学家的集合为。则，。又。于是，。因此，在集合中，有数学家且不是。从中选出数学家，并设与合作过的数学家的集合为。则，。于是， 因此，在集合中，有数学家且不是。又可从中选出数学家。则数学家，他们中每两人都合作过。即原命题得证。 情景再现7设，。若集合是单元素集，则。8计算不超过120的合数及质数的个数。习题41已知集合， ， ，则集合的关系是 （ ）: 2由 能够推出 （ ） （1985年上海数学竞赛）3设R,。若A不是B的真子集，则a的取值范围是 ( ) 4已知，又，求实数的取值范围。5 设 ，且，求实数的取值范围。 6 设，求证：（1） 一切奇数属于；（2） 形如的数不属于；（3） 中任意两个数的积仍属于。7 设，则集合中被7除余2且不能被57整除的数的个数为_。（1994年江苏省数学竞赛） 8已知对任意实数，函数都有定义，且，如果集合不是空集，试证明是无限集。（1994年江苏省数学竞赛）9设是坐标平面上的两个点集，若对任何 都有，则必有。此命题是否正确？ (1984年全国数学联赛)10设 为满足下列条件的有理数集合：（1）若，则 ；（2）对任意一个有理数 ，三个关系有且仅有一个成立。证明：是由全体正有理数组成的集合。（1972年奥地利数学竞赛）答案情景再现1 设，经检验符合题意； ，经检验不合题意； ，经检验符合题意。 故所求的值为。2 集合表示不等式组 的解集。当两个不等式的解集有共同的边界点，或者两个不等式的解集中，有一个是单元素集时，不等式组解集有可能为单元素集。由此，不等式可化简为，当时 ，此不等式的解集为单元素集。故应选。 3 由与都表示全体奇数，所以，。故应选。4 ，。（1） 由 且 ，得3是集合的元素。将3代入方程，得，解此方程得或。经检验，所求实数的值为；（2） 由，又，所以集合为或 由（1），不可能。当 则因此，所求实数的取值范围是。5 即。因此，。所以，应选。6 设 该班数学成绩优秀的学生 该班物理成绩优秀的学生该班化学成绩优秀的学生 则 由是的子集，得。因此， 。因此，。所以，该班总人数的范围是 ； 仅数学一科优秀的人数的范围是 。7 若集合是单元素集，设即，则， 8 不超过120的合数的质因数，因此不超过120的合数必定是质数2，3，5，7的倍数。 设， ， ， ， 。则 不超过120且是2，3，5，7的倍数共有所以，不超过120的合数共有（个）（除去四个质数）； 不超过120的质数共有（个）（1不是质数）。习题41 由，得。又集合表示数集，表示点集，所以，。故应选。2 解1 设，则。经验算，均不正确，所以，应选。解2 由 ，所以，。故应选。3 ， 若A是B的真子集，则 解得。所以，若A不是B的真子集，则。故应选。4 由题意，方程组 无解。由方程组，得 所以实数的取值范围是。5 ，当时，当时，当时，综上，所求实数的取值范围是。6。 （1）奇数集合可表示为。 （2） 。 因为与同为奇数或同为偶数，所以，或为，或为，不可能为形如的数。故形如的数不属于 ；（3） 设，则， 所以，。7 设。则 由。又，故当或9时，被7除余2。所以，集合中被7除余2且不能被57整除的数的个数为（个）。8 由题意，存在非零实数，得 即 由。又非零实数可无限平分，所以原命题得证。9 命题