费马大定理.doc

费马大定理： 当整数n 2时，关于x, y, z的不定方程 xn + yn = zn. 无正整数解。原理简介 费马大定理这个定理，本来又称费马最后的定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁怀尔斯和他的学生理查泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。 理论发展发现费马在阅读丢番图算术拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍对费马大定理一筹莫展。 奖励德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 莫德尔猜想 1983年，联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章获得1982年菲尔兹奖 伐尔廷斯于1954年7月28日生于联邦德国的杰尔森柯琛，并在那里渡过了学生时代，而后就学于内斯涛德教授门下学习数学1978年获得博士学位他作过研究员、助教，现在是乌珀塔尔的教授他在数学上的兴趣开始于交换代数，以后转向代数几何 1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yiQ，使得f(xi，yi)=0 后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了因此，伐尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K上，亏格大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点 数学家对这个猜想给出各种评论，总的看来是消极的1979年利奔波姆说：“可以有充分理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事” 对于“猜想”，1980年威尔批评说：“数学家常常自言自语道：要是某某东西成立的话，这就太棒了(或者这就太顺利了)有时不用费多少事就能够证实他的推测，有时则很快否定了它但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到猜想这个词，既便这个东西对他来说毫无重要性可言绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的。”因此，对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想”它所涉及的是一个算术家几乎不会不提出的问题；因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的启示 然而，时隔不久，1983年伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，人们对它有了全新的看法在伐尔廷斯的文章里，还同时解决了另外两个重要猜想，即台特和沙伐尔维奇猜想，它们同莫德尔猜想具有同等重大意义 这里主要解释一下莫德尔猜想，至于证明就不多讲了所谓代数曲线，粗略一点说，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合 令F(x，y，z)为d次齐次多项式，其中d为f(x，y)的次数，并使F(x，y，1)=f(x，y)，那么f(x，y)的亏格g为 g(d-1)(d-2)2 当f(x，y)没有奇点时取等号 费马多项式xn+yn-1没有奇点，其亏格为(n-1)(n-2)2当n4时，费马多项式满足猜想的条件因此，xn+yn=zn最多只有有限多个整数解 为什么猜想中除去了f(x，y)的亏格为0或1的情形，即除去了f(x，y)的次数d小于或等于3的情形呢？我们说明它的理由 d=1时，f(x，y)=ax+by+c显然有无穷多个解 d=2时，f(x，y)可能没有解，例如f(x，y)=x2+y2+1；但是如果它有一个解，那么必定有无穷多个解我们从几何上来论证这一点设P是f(x，y)解集合中的一点，令l表示一条不经过点P的直线(见上图)对l上坐标在域K中的点Q，直线PQ通常总与解集合交于另一点R当Q在l上取遍无穷多个K点时，点R的集合就是f(x，y)的K解的无穷集合例如把这种方法用于x2+y2-1，给出了熟知的参数化解： 当F(X，Y，Z)为三次非奇异(即无奇点)曲线时，其解集合是一个所谓椭圆曲线我们可用几何方法做出一个解的无穷集但是，对于次数大于或等于4的非奇异曲线F，这种几何方法是不存在的虽然如此，却存在称为阿贝尔簇的高维代数簇研究这些阿贝尔簇构成了伐尔廷斯证明的核心 伐尔廷斯在证明莫德尔猜想时，使用了沙伐尔维奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代数几何知识莫德尔猜想有着广泛的应用比如，在伐尔廷斯以前，人们不知道，对于任意的非零整数a，方程y2=x5+a在Q中只有有限个 有限组互质1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得an + bn = c*n。 Gerhard Frey1986年，Gerhard Frey 提出了“ -猜想”：若存在a,b,c使得an + bn = cn，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y2 = x(x - an)(x + bn) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 怀尔斯和泰勒1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。 怀尔斯怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。 n=3欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 n=4费马自己证明了n=4的情形。 n=51825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 n=71839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。 中国数学家的工作： n=3,5的费马方程的所有非整数解(2张)对于所有小于100的素指数n库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。 谷山志村猜想1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。 谷山志村猜想和费马大定理之间的关系1985年，德国数学家弗雷指出了谷山志村猜想”和费马大定理之间的关系；他提出了一个命题 ：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方（n2),那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方）乘以（x-B的n次方）的椭圆曲线，不可能是模曲线。尽管他努力了，但他的命题和“谷山志村猜想”矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定是错误的，从而就证明了“费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。 弗雷命题1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山志村猜想”。 谷山志村猜想”成立1993年6月，英国数学家维尔斯证明了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，维尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理” 。 n1,000,000至1991年对费马大定理指数n1,000,000没有被证明. 已成为世界数学难题。 理论发展1676年数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证明n4。1678年和1738年德国数学家莱布尼兹和瑞士数学家欧拉也各自证明n4。1770年欧拉证明n3。1823年和1825年法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明n 5。1832年狄利克雷试图证明n7，却只证明了n14。1839年法国数学家拉梅证明了n7，随后得到法国数学家勒贝格的简化19世纪贡献最大的是德国数学家库麦尔，他从1844年起花费20多年时间，创立了理想数理论，为代数数论奠下基础；库麦尔证明当n100时除37、59、67三数外费马大定理均成立。 为推进费马大定理的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖。1908年德国数学家佛尔夫斯克尔临终在哥廷根皇家科学会悬赏10万马克，并充分考虑到证明的艰巨性，将期限定为100年。数学迷们对此趋之若鹜，纷纷把“证明”寄给数学家，期望凭短短几页初等变换夺取桂冠。德国数学家兰道印制了一批明信片由学生填写：“亲爱的先生或女士：您对费马大定理的证明已经收到，现予退回，第一个错误出现在第页第行。” 在解决问题的过程中，数学家们不但利用了广博精深的数学知识，还创造了许多新理论新方法，对数学发展的贡献难以估量。1900年，希尔伯特提出尚未解决的23个问题时虽未将费马大定理列入，却把它作为一个在解决中不断产生新理论新方法的典型例证。据说希尔伯特还宣称自己能够证明，但他认为问题一旦解决，有益的副产品将不再产生。“我应更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。” 数学家就是这样缓慢而执着地向前迈进，直至1955年证明n4002。大型计算机的出现推进了证明速度，1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n125000，1985年美国数学家罗瑟证明n41000000。但数学是严谨的科学，n值再大依然有限，从有限到无穷的距离漫长而遥远。1983年，年仅29岁的德国数学家法尔廷斯证明了代数几何中的莫德尔猜想，为此在第20届国际数学家大会上荣获菲尔茨奖；此奖相当于数学界的诺贝尔奖，只授予40岁以下的青年数学家。莫德尔猜想有一个直接推论：对于形如xn+yn=zn（n4）的方程至多只有有限多组整数解。这对费马大定理的证明是一个有益的突破。从“有限多组”到“一组没有”还有很大差距，但从无限到有限已前进了一大步。 1955年日本数学家谷山丰提出过一个属于代数几何范畴的谷山猜想，德国数学家弗雷在1985年指出：如果费马大定理不成立，谷山猜想也不成立。随后德国数学家佩尔提出佩尔猜想，补足了弗雷观点的缺陷。至此，如果谷山猜想和佩尔猜想都被证明，费马大定理不证自明。 事隔一载，美国加利福尼亚大学伯克利分校数学家里比特证明了佩尔猜想。 1993年6月，英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁怀尔斯在剑桥大学牛顿数学研究所举行了一系列代数几何学术讲演。在6月23日最后一次讲演椭圆曲线、模型式和伽罗瓦表示中，怀尔斯部分证明了谷山猜想。所谓部分证明，是指怀尔斯证明了谷山猜想对于半稳定的椭圆曲线成立谢天谢地，与费马大定理相关的那条椭圆曲线恰好是半稳定的！这时在座60多位知名数学家意识到，困扰数学界三个半世纪的费马大定理被证明了！这一消息在讲演后不胫而走，许多大学都举行了游行和狂欢，在芝加哥甚至出动了警察上街维持秩序。但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，怀尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月20日上午11时彻底圆满证明了“费马大定理”。 证明方法五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。 正式发表这个结论由威利斯在1993年的6月21日于美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终于交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万马克约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。 用不定方程来表示，费马大定理即：当n 2时，不定方程xn + yn = zn 没有xyz0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x4 + y4 = z4 ，(x , y) = 1和方程xp + yp = zp ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1p是一个奇素数均无xyz0的整数解。 费马本人证明了p = 4的情况，但证明不完全，后由欧拉完善。n = 3的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。勒让德1823和狄利克雷1825证明了p = 5的情形。1839年，拉梅证明了p = 7的情形。1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论，这使得他证明了当p 100时，除了p = 37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p 4002时费马猜想成立。 现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p 0，y 0，z 0，n 2，使xn + yn = zn ，则x 101,800,000。 扩展证明费马大定理：证明： m,n属于非负整数， x，y，z是正整数。j 表示“奇数”，k=2（m+1）j 表示“偶数”。 按奇数与偶数的加法形式讨论费马方程： 1）偶数+偶数： k1n+k2n=k3n 2n 2m1n j1n + 2n 2m2n j2n = 2n 2m3n j3n 2m1n j1n + 2m2n j2n = 2m3n j3n 等式两边同时除以 min (2m1n，2m2n ，2m3n)，又分七种情况： A)m1=m2=m3 得：j1n + j2n = j3n，偶数=奇数，产生矛盾。 B)仅m1=m2 j1n + j2n = 2(m3-m1)n j3n ， 令m4=m3-m1 若m40 j1n + j2n = j3 /2(-m4)n， j3 /2(-m4)n为小数， j1n + j2n 为整数，产生矛盾。 可见，m40， j1n + j2n = j3n 2(m4)n，n2 若j3是j1n与j2n的公因数j1=j2=j3 则有j4n+j5n=2(m4)n 待证明 2(m4)n不是j1n与j2n的公因数 j1n/ 2(m4)n+ j2n /2(m4)n= j3n 若j1=j2 则有2j1n/ 2(m4)n= j3n 奇数/偶数=奇数，产生矛盾， j1不等于j2 奇数 /2n ，为末尾为5的小数 若要 j1n/ 2(m4)n+ j2n /2(m4)n等于整数， j1n/ 2(m4)n与 j2n /2(m4)n的小数位数要相同 j1/ 2(m4)与 j2 /2(m4)的小数位数也要相同 通过计算观察， j1n/ 2(m4)n+ j2n /2(m4)n要等于整数只能等于奇数， 推出j3=奇数 j1n/ 2(m4)n+ j2n /2(m4)n=奇数 j1n/2n+ j2n/2n =奇数乘 2(m4-1)n 奇数乘2(m4-1)n不等于奇数，产生矛盾， 可见，m1m3时，也不成立。 所以，仅m1=m2， j1n + j2n = j3n 2(m4)n不成立。 同理:j4n+j5n=2(m4)n 不成立。 C) 再来看，仅m1=m3 j1n + 2（m2-m1）n j2n = j3n ， 令m4= m2-m1 若 m40 j1n + j2n/ 2（-m4）n = j3n ， j2n/ 2（-m4）n = j3n-j1n ， j2n/ 2（-m4）n 为小数，j3n-j1n 为整数，产生矛盾， 可见，m40 则 j3n-j1n = j2n2m4n 若j2是j1n与j3n的公因数 则j5n-j4n= 2m4n待证明 2(m4)n不是j3n与j1n的公因数 j3n/2m4n-j1n/ 2m4n = j2n 若j3=j1 则0= j2n， 产生矛盾， j1不等于j3 j3n/2m4n-j1n/ 2m4n = j2n 奇数 /2n ，为末尾为5的小数 通过计算观察， j3n/2m4n-j1n/ 2m4n 不等于整数， 可见，m40时，不成立。 所以，仅m1=m3时， j1n + j2n = j3n 2(m4)n不成立。 D)仅m2=m3，同上，不成立。 E) min (m1，m2，m3)仅为m1，m2 ，m3中的一个： 得： j1n + 2（m2-m1）n j2n = 2(m3-m1)n j3n 奇数=偶数，产生矛盾。 F) 2（m1-m2）n j1n + j2n = 2(m3-m2)n j3n 奇数=偶数，产生矛盾。 G) 2(m1-m3)n j1n + 2(m2-m3)n j2n = j3n 偶数=奇数，产生矛盾。 所以：按奇数与偶数的加法形式讨论费马方程，偶数+偶数，不成立。 2）奇数+奇数： j1n + j2n = kn j1n + j2n =2（m+1)n j3n 因为 j1n + j2n = j3n 2(m4)n不成立， 所以：j1n + j2n =2（m+1)n j3n不成立。 3) 奇数+偶数： j1n+kn=j2n j2n-j1n=kn j2n j1n =2n 2mn j3n ， 因为： j3n-j1n = j2n2m4n不成立。 所以：j2n j1n =2n 2mn j3n不成立。 所以：由1）2）3）可知，n2，“费马大定理”在正整数范围内成立。 同理：应由1）2）3）可证，n2，“费马大定理”在整数范围内成立。 应用实例要证明费马最后定理是正确的 （即x n+ yn = zn 对n2 均无正整数解） 只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。 费马大定理证明过程: 对费马方程xn+yn=zn整数解关系的证明，多年来在数学界一直颇多争议。本文利用平面几何方法，全面分析了直角三角形边长a2+b2=c2整数解的存在条件，提出对多元代数式应用增元求值。本文给出的直角三角型边长a2+b2=c2整数解的“定a计算法则”；“增比计算法则”；“定差公式法则”；“a值奇偶数列法则”；是平方整数解的代数条件和实践方法；本文提出建立了一元代数式的绝对方幂式与绝对非方幂式概念；本文利用同方幂数增比性质，利用整数方幂数增项差公式性质，把费马方程xn+yn=zn原本三元高次不定方程的整数解判定问题，巧妙地化为了一元定解方程问题。 关键词：增元求解法 绝对方幂式绝对非方幂式 相邻整数方幂数增项差公式 引言：1621年，法国数学家费马（Fermat）在读看古希腊数学家丢番图（Diophantna）著写的算术学一书时，针对书中提到的直角三角形三边整数关系，提出了方程xn+yn=zn在n=2时有无穷多组整数解，在n2时永远没有整数解的观点。并声称自己当时进行了绝妙的证明。这就是被后世人称为费马大定理的旷世难题。时至今日，此问题的解答仍繁难冗长，纷争不断，令人莫衷一是。 本文利用直角三角形、正方形的边长与面积的相互关系，建立了费马方程平方整数解新的直观简洁的理论与实践方法，本文利用同方幂数增比定理，对费马方程xn+yn=zn在指数n2时的整数解关系进行了分析论证，用代数方法再现了费马当年的绝妙证明。 定义1费马方程 人们习惯上称xn+yn=zn关系为费马方程，它的深层意义是指：在指数n值取定后，其x、y、z均为整数。 在直角三角形边长中，经常得到a、b、c均为整数关系，例如直角三角形 3 、4、 5 ，这时由勾股弦定理可以得到32+42=52，所以在方次数为2时，费马方程与勾股弦定理同阶。当指数大于2时，费马方程整数解之研究，从欧拉到狄里克莱，已经成为很大的一门数学分支. 定义2增元求解法 在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法，叫增元求解法。 利用增元求解法进行多元代数式求值，有时能把非常复杂的问题变得极其简单。 下面，我们将利用增元求解法来实现对直角三角形三边a2+b2=c2整数解关系的求值。 一，直角三角形边长a2+b2=c2整数解的“定a计算法则” 定理1如a、b、c分别是直角三角形的三边，Q是增元项，且Q1，满足条件： a3 b=（a2-Q2）2Q c= Q+b 则此时，a2+b2=c2是整数解； 证：在正方形面积关系中，由边长为a得到面积为a2，若（a2-Q2）2Q=b（其中Q为增元项，且b、Q是整数）,则可把面积a2分解为a2=Q2+Qb+Qb，把分解关系按下列关系重新组合后可得到图形： Q2 Qb 其缺口刚好是一个边长为b的正方形。补足缺口面积b2后可得到一个边长 Qb 为Q+b的正方形，现取Q+b=c，根据直角三角形边长关系的勾股弦定理a2+b2=c2条件可知，此时的a、b、c是直角三角形的三个整数边长。 故定理1得证 应用例子： 例1 利用定a计算法则求直角三角形a边为15时的边长平方整数解? 解：取 应用例子：a为15，选增元项Q为1，根据定a计算法则得到： a= 15 b=（a2- Q2）2Q=（152-12）2 =112 c=Q+b=1+112=113 所以得到平方整数解152+1122=1132 再取a为15，选增元项Q为3，根据定a计算法则得到： a= 15 b=（a2-Q2）2Q=（152-32）6=36 c=Q+b=3+36=39 所以得到平方整数解152+362=392 定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7 时，通过Q的不同取值，将函盖全部平方整数解。 二，直角三角形边长a2+b2=c2整数解“增比计算法则” 定理2如a2+b2=c2 是直角三角形边长的一组整数解，则有（an）2+（bn）2 =（cn）2（其中n=1、2、3）都是整数解。 证：由勾股弦定理，凡a2+b2=c2是整数解必得到一个边长都为整数的直角三角形 a c ，根据平面线段等比放大的原理，三角形等比放大得到 2a 2c； b 2b 3a 3c；4a 4c； 由a、b、c为整数条件可知，2a、2b、2c； 3b 4b 3a、3b、3c；4a、4b、4c na、nb、nc都是整数。 故定理2得证 应用例子： 例2证明3032+4042=5052是整数解？ 解；由直角三角形3 5 得到32+42=52是整数解，根据增比计 4 算法则，以直角三角形 3101 5101 关系为边长时，必有 4101 3032+4042=5052是整数解。 三，直角三角形边长a2+b2=c2整数解“定差公式法则” 3a + 2c + n = a1 （这里n=b-a之差，n=1、2、3） 定理3若直角三角形a2+b2=c2是满足b-a=n关系的整数解，那么，利用以上3a+2c+ n = a1公式连求得到的a1、a2、a3ai 所组成的平方数组ai2+bi2=ci2都是具有b-a=n之定差关系的整数解。 证：取n为1，由直角三角形三边3、4、5得到32+42=52，这里n=b-a=4-3=1，根据 3a + 2c + 1= a1定差公式法则有： a1=33+25+1=20 这时得到 202+212=292 继续利用公式计算得到： a2=320+229+1=119 这时得到 1192+1202=1692 继续利用公式计算得到 a3=3119+2169+1=696 这时得到 6962+6972=9852 故定差为1关系成立 现取n为7，我们有直角三角形212+282=352，这里n=28-21=7，根据 3a + 2c + 7 = a1定差公式法则有： a1=321+235+7=140 这时得到 1402+1472=2032 继续利用公式计算得到： a2=3140+2203+7=833 这时得到 8332+8402=11832 继续利用公式计算得到： a3=3833+21183+7=4872 这时得到 48722+48792=68952 故定差为7关系成立 再取n为129，我们有直角三角形3872+5162=6452，这里n=516-387=129，根据 3a + 2c + 129= a1定差公式法则有： a1=3387+2645+129=2580 这时得到 25802+27092=37412 继续利用公式计算得到： a2=32580+23741+129=15351 这时得到 153512+154802=218012 继续利用公式计算得到： a3=315351+221801+129=89784 这时得到 897842+899132=1270652 故定差为129关系成立 故定差n计算法则成立 故定理3得证 四，平方整数解a2+b2=c2的a值奇偶数列法则： 定理4 如a2+b2=c2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立； （一） 奇数列a： 若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 ）， 则a为奇数列平方整数解的关系是： a=2n+1 c=n2+（n+1）2 b=c-1 证：由本式条件分别取n=1、2、3 时得到： 32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 112+602=612 132+842=852 故得到奇数列a关系成立 （二）偶数列a： 若a表为2n+2型偶数（n=1、2、3 ）， 则a为偶数列平方整数解的关系是： a=2n+2 c=1+（n+1）2 b=c-2 证：由本式条件分别取n=1、2、3 时得到： 42+32=52 62+82=102 82+152=172 102+242=262 122+352=372 142+482=502 故得到偶数列a关系成立 故定理4关系成立 由此得到,在直角三角形a、b、c三边中： b-a之差可为1、2、3 a-b之差可为1、2、3 c-a之差可为1、2、3 c-b之差可为1、2、3 定差平方整数解有无穷多种； 每种定差平方整数解有无穷多个。 以上，我们给出了平方整数解的代数条件和实践方法。我们同样能够用代数方法证明，费马方程xn+yn=zn在指数n2时没有整数解。证明如下： 我们首先证明，增比计算法则在任意方次幂时都成立。 定理5，若a，b，c都是大于0的不同整数，m是大于1的整数，如有am+bm=cm+dm+em同方幂关系成立，则a，b，c，d，e增比后，同方幂关系仍成立。 证：在定理原式 am+bm=cm+dm+em中，取增比为n，n1， 得到 ： （n a）m+（nb）m=（nc）m+（nd）m+（ne）m 原式化为 ： nm（am+bm）=nm（cm+dm+em） 两边消掉 nm后得到原式。 所以，同方幂数和差式之间存在增比计算法则，增比后仍是同方幂数。 故定理5得证 定理6，若a，b，c是不同整数且有am+b=cm关系成立，其中b1，b不是a，c的同方幂数，当a，b，c同比增大后，b仍然不是a，c的同方幂数。 证：取定理原式am+b=cm 取增比为n，n1，得到：（na）m+nmb=（nc）m 原式化为： nm（am+b）=nmcm 两边消掉nm后得到原式。 由于b不能化为a，c的同方幂数，所以nmb也不能化为a，c的同方幂数。 所以，同方幂数和差式间含有的不是同方幂数的数项在共同增比后，等式关系仍然成立。其中的同方幂数数项在增比后仍然是同方幂数，不是同方幂数的数项在增比后仍然是非同方幂数。 故定理6得证 一元代数式的绝对方幂与绝对非方幂性质 定义3，绝对某次方幂式 在含有一元未知数的代数式中，若未知数取值为大于0的全体整数时，代数式的值都是某次完全方幂数，我们称这时的代数式为绝对某次方幂式。例如：n2+2n+1，n2+4n+4， n2+6n+9，都是绝对2次方幂式；而n3+3n2+3n+1，n3+6n2+12n+8，都是绝对3次方幂式。 一元绝对某次方幂式的一般形式为（n+b）m（m1，b为常数项）的展开项。 定义4，绝对非某次方幂式 在含有一元未知数的代数式中，若未知数取值为大于0的全体整数时，代数式的值都不是某次完全方幂数，我们称这时的代数式为绝对非某次方幂式。例如：n2+1，n2+2，n2+2n， 都是绝对非2次方幂式；而n3+1，n3+3n2+1，n3+3n+1，3n2+3n+1，n3+6n2+8都是绝对非3次方幂式。 当一元代数式的项数很少时，我们很容易确定代数式是否绝对非某次方幂式，例如n2+n是绝对非2次方幂式，n7+n是绝对非7次方幂式，但当代数式的项数很多时，得到绝对非某次方幂式的条件将越来越苛刻。 一元绝对非某次方幂式的一般形式为：在（n+b）m（m2，b为常数项）的展开项中减除其中某一项。 推理：不是绝对m次方幂式和绝对非m次方幂式的方幂代数式必定在未知数取某一值时得出一个完全m次方数。例如：3n2+4n+1不是绝对非3次方幂式，取n=1时有3n2+4n+1=8=23，3n2+3n+1不是绝对非2次方幂式，当n=7时，3n2+3n+1=169=132; 推理：不含方幂项的一元代数式对任何方幂没有唯一性。2n+1=9=32，2n+1=49=72 4n+4=64=82，4n+4=256=162 2n+1=27=33，2n+1=125=53 证明：一元代数式存在m次绝对非方幂式； 在一元代数式中，未知数的不同取值，代数式将得到不同的计算结果。未知数与代式计算结果间的对应关系是唯一的，是等式可逆的，是纯粹的定解关系。这就是一元代数式的代数公理。即可由代入未知数值的办法对代数式求值，又可在给定代数式数值的条件下反过来对未知数求值。利用一元代数式的这些性质，我们可实现整数的奇偶分类、余数分类和方幂分类。 当常数项为1时，完全立方数一元代数表达式的4项式的固定形式是（n+1）3=n3+3n2+3n+1，它一共由包括2个方幂项在内的4个单项项元组成，对这个代数式中3个未知数项中任意一项的改动和缺失，代数式都无法得出完全立方数。在保留常数项的前提下，我们锁定其中的任意3项，则可得到必定含有方幂项的3个不同的一元代数式，n3+3n2+1，n3+3n+1，3n2+3n+1，对这3个代数式来说，使代数式的值成为立方数只能有唯一一个解，即补上缺失的第4项值，而且这个缺失项不取不行，取其它项值也不行。因为这些代数式与原立方代数式形成了固定的单项定差代数关系，这种代数关系的存在与未知数取值无关。这种关系是： （n+1）3-3n= n3+3n2+1 （n+1）3-3n2= n3+3n+1 （n+1）3-n3=3n2+3n+1 所以得到：当取n=1、2、3、4、5 n3+3n2+1（n+1）3 n3+3n+1（n+1）3 3n2+3n+1（n+1）3 即这3个代数式的值都不能等于（n+1）3形完全立方数。 当取n=1、2、3、4、5 时，（n+1）3=n3+3n2+3n+1的值是从2开始的全体整数的立方，而 小于2的整数只有1，13=1，当取n=1时， n3+3n2+1=51 n3+3n+1=51 3n2+3n+1=71 所以得到：当取n=1、2、3、4、5 时，代数式n3+3n2+1，n3+3n+1，3n2+3n+1的值不等于全体整数的立方数。这些代数式是3次绝对非方幂式。 由以上方法我们能够证明一元代数式：n4+4n3+6n2+1，n4+4n3+4n+1，n4+6n2+4n+1，4n3+6n2+4n+1，在取n=1、2、3、4、5 时的值永远不是完全4次方数。这些代数式是4次绝对非方幂式。 能够证明5次方以上的一元代数式（n+1）m的展开项在保留常数项的前提下，锁定其中的任意m项后，可得到m个不同的一元代数式，这m个不同的一元代数式在取n=1、2、3、4、5 时的值永远不是完全m次方数。这些代数式是m次绝对非方幂式。 现在我们用代数方法给出相邻两整数n与n+1的方幂数增项差公式； 2次方时有：（n+1）2-n2 =n2+2n+1-n2 =2n+1 所以，2次方相邻整数的平方数的增项差公式为2n+1。 由于2n+1不含有方幂关系，而所有奇数的幂方都可表为2n+1，所以，当2n+1为完全平方数时，必然存在n2+（22n+1）2=（n+1）2即z-x=1之平方整数解关系，应用增比计算法则，我们即可得到z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5之平方整数解关系。但z-x1的xyz互素的平方整数解不能由增比法则得出，求得这些平方整数解的方法是： 由（n+2）2-n2=4n+4为完全平方数时得出全部z-x=2的平方整数解后增比； 由（n+3）2-n2=6n+9为完全平方数时得出全部z-x=3的平方整数解后增比； 由（n+4）2-n2=8n+16为完全平方数时得出全部z-x=4的平方整数解后增比； 这种常数项的增加关系适合于全体整数，当取n=1、2、3 时，我们可得到整数中全部平方整数解。 所以费马方程xn+yn=zn在指数为2时成立。 同时，由于所有奇数的幂方都可表为2n+1及某些偶数的幂方可表为4n+4，6n+9，8n+16 所以，还必有x2+yn=z2整数解关系成立。 3次方时有：（n+1）3-n3 =n3+3n2+3n+1-n3 =3n2+3n+1 所以，3次方相邻整数的立方数的增项差公式为3n2+3n+1。 由于3n2+3n+1是（n+1）3的缺项公式，它仍然含有幂方关系，是3次绝对非方幂式。所以，n为任何整数时3n2+3n+1的