解直角三角形.doc

解直角三角形一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；l 会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题重点难点：l 重点：掌握解直角三角形的一般方法和步骤，在以后的学习和实际生活、生产中经常运用l 难点：把实际生活、生产中存在的和平面图形计算的有关问题转化为解直角三角形问题学习策略：l 本节课的主要内容是解直角三角形的概念及应用解直角三角形的知识去解决实际问题.学习本节知识主要把握好三个关系边边关系、边角关系、锐角之间的关系，把锐角三角函数、勾股定理同实际问题有机结合起来，核心是找到可解的直角三角形.l 解直角三角形的口诀：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜边用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据).二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）锐角三角函数的概念在RtABC中，C=90，A所对的直角边称为A的对边，另一条直角边称为A的邻边锐角A的 与 的比叫做A的正弦，记作 ；锐角A的 与 的比叫做A的余弦，记作 ；锐角A的 与 的比叫做A的正切，记作 （二）特殊角的三角函数值锐角30 45 60 （三）锐角三角函数之间的关系如图所示，在RtABC中，C=90（1）互余关系：，；（2）平方关系：；（3）倒数关系：或；（4）相除关系：知识要点预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#tbjx5#279518知识点一：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在RtABC中，C=90，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有：（1）边之间的关系： (勾股定理).（2）锐角之间的关系： + =90.（3）边角之间的关系： sinA= ，cosA= ，tanA= ，sinB= ，cosB= ，tanB= . = ，h为斜边上的高.要点诠释：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为90)，是已知值.（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.知识点二：解直角三角形的常见类型及解法已知和解法三角形类型已知条件解法步骤RtABC两边两直角边(a，b)由_求A，B=90A， 斜边，一直角边(如c，a)由_求A，B=90A， 一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如A，b)B=90A，_，锐角、对边(如A，a)B=90A，斜边、锐角(如c，A)B=90A，要点诠释：（1）在遇到角直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.（2）若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为 知识点三：解直角三角形的知识在实际问题中的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.（3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： （1）坡角： 与 的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的 h和 的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=的形式.（2）仰角、俯角： 与 所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40，135，245.（4）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东 ，南偏东 ，南偏西 ，北偏西 .特别如：东南方向指的是南偏东 ，东北方向指的是北偏东 ，西南方向指的是南偏西 ，西北方向指的是北偏西 .经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。无星号题目要求同学们必须掌握，为基础题型，一个星号的题目综合性稍强。更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#279518类型一：已知直角三角形的两个元素(至少有一个是边)，解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形，其中已知两个元素(至少有一个是边)求出所有未知元素的问题，是解直角三角形的最基本问题这类问题包括：（1）已知一个锐角和一条边长，解直角三角形；（2）已知两条边的长，解直角三角形解直角三角形的主要依据是：（1）两锐角之间的关系：A+B=90（2）三边之间的关系：a2+b2=c2 （3）边角之间的关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=，tanB=解直角三角形的思路，就是根据已知的边和角，正确地选用直角三角形中边角间的关系式，求出未知的边和角例1.在ABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=287.4，B=426，解这个三角形思路点拨：已知一个锐角，应先求另一个锐角，再根据已知的边长，恰当选用与已知边有关的已知角的三角函数类型，以便转化为用乘法求未知边长解：总结升华： 例2.在ABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，c=4，解这个三角形思路点拨：已知两边长，应先由勾股定理求另一边长，再根据已知的两边长，恰当选用由已知边表示的比值为有限小数的已知角的三角函数类型，求得未知角的三角函数值，用计算器求得这个角，再求另一个角解法一：总结升华： 解法二：总结升华： 举一反三【变式1】在ABC中，C=90，根据下列条件解直角三角形（1）c=10，B=45，求a，b，A；（2），求c，A，B.思路点拨：求解直角三角形的方法多种多样，如(1)可以先求a或b，也可以先求A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据解：【变式2】如图，CD是RtABC斜边上的高，,求AC，AB，A，B(精确到1)思路点拨：在RtABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解注意到BC和CD在同一个RtBCD中，因此可先解这个直角三角形 解:类型二：已知直角三角形的元素与元素的关系(其中至少有一个是边的关系)解直角三角形解这类问题是运用方程的思想方法，根据已知的元素与元素关系列方程(或方程组)，解方程求得三角形的至少两个元素(其中至少有一边)，转化为已知两个元素解直角三角形求其他元素例3.如图，在ABC中，C=90，sinB=0.6，BC=10，求AB和tanB思路点拨：由已知，可转化为=sinB=0.6=又知BC=10，可设AC=3x，AB=5x，依据勾股定理，列方程求x，从而求得AC、BC解法一：总结升华： 解法二：总结升华： 例4.如图，在ABC中，C=90，D是BC中点，且AC=，AD=，求AB的长和sinB的值思路点拨：直接解RtABC缺少条件观察图形，在RtACD中，已知AC和AD，由勾股定理可求出CD的长，则CB边可求再利用勾股定理可求出AB的长，则sinB的值可求解：总结升华： 类型三：解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用非直角三角形的计算问题，可以转化为解直角三角形例如，斜三角形可以添加一条高作辅助线，从而转化为两个直角三角形梯形和平行四边形的问题关键在于如何添加辅助线，使得梯形和平行四边形化成直角三角形和矩形，因此高是应用直角三角形解决这类问题的桥梁圆中的计算则常作出直径构造直角三角形，利用解直角三角形去解决例5.如图，ABC中，AB=AC，ADBC于D，CEAB于E，且AD=12，CE=8，求ABC的面积思路点拨：由于已知ABC两边上的高，所以要求ABC的面积，只需求AB边或BC边的长即可在图形中有四个直角三角形，而RtABD和RtCBE有公共锐角B，因此，sinB=再利用BC=2BD，就可得到RtABD中两条边的比，可以求出AB或BC，从而求出ABC的面积解法一：总结升华： 解法二：总结升华： 类型四：解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用利用解直角三角形的知识解决实际生活、生产中的问题，包括工件的测量，工程技术及航海等许多方面解决问题时，首先要从实际问题抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决解这类应用题时，常要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位、跨度、方位角等概念例6.如图，某建筑物建立在30米高的小山顶上，从山脚水平面内一点C测得建筑物A的仰角为60，测得山顶B的仰角为30，求建筑物的高度思路点拨：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角，如图根据题意，ACD=60，BCD=30，BD=30米，我们可先求CB或CD的长，再求AB或AD的长，从而求得建筑物的高 解法一：总结升华： 解法二：总结升华： 例7.某勘测队在山脚测得山顶的仰角为38，沿倾斜角为25的山坡前进800米后，又测得山顶的仰角为62，求山的高度(精确到0.1米)思路点拨：先根据题意画出示意图，BC为山高，AD为山坡，DAC=25，因为仰角为视线与水平线的夹角，所以BAC=38，AD=800米，BDE=62要直接在RtABC中求BC，已知条件不够，必须设法先求出AB要求AB，就需要根据已知条件，构造直角三角形作DFAB于F，可得RtADF和RtBDF，在这两个直角三角形中可求得AB的长，从而可使问题得到解决解：总结升华： 例8.如图，某轮船沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东30，船以每小时20千米的速度航行2小时达B点后，测得灯塔C在北偏东75，当此船到达灯塔C的正西的D点方向时，船距灯塔C有多远？思路点拨：依题意，作CDAB，交AB的延长线于D，则CD即为所求由已知CD所在的RtACD不可解，为求CD，先求ACAC不能直接求出，不妨作BHAC于H，把AC分为两部分AH、CH，由已知可求AH、CH解：总结升华： 举一反三【变式1】气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处，正在向正西北方向转移，距台风中心300km的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响? 思路点拨：如图，就是要求出A到台风移动路线BC的距离是否大于300km，RtABC中，ACB=90，ABC=45，AB=400km，是AC可求解：【变式2】如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1：2改为1：2.5，已知坝高6m，坝长50m求：（1）加宽部分横断面AFEB的面积；（2）完成这一工程需要多少土方?思路点拨：只须求出梯形AFEB的下底EB的长，作AGBC，FHEB，垂足分别为G、H，根据坡度的意义，可以求出坡AB、坡EF的水平长度解：【变式3】某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3m远的D点测得树的顶部A点的仰角为60，树的底部B的俯角为30，如图，问距离B点8m远的保护物是否在危险区内?思路点拨：本题的实质是要计算大树的高度，如果大于8m，说明保护物在危险区内，否则不在由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过C作CEAB，则可把AB放在RtACE和RtBCE中进行求解解：【变式4】如图，公路上A、B两处相距lkm，测得城镇C在A处的北偏东35方向，在B处的北偏西40方向求城镇C到A处、B处的距离分别是多少?思路点拨：弄清楚两个方向角是解决问题的第一步，根据题意1=35，2=40，AB=lkm，发现ABC不是直角三角形，故通过“化斜为直”转化，作CDAB于D，如图，则ACD=l=35，BCD=2=40，但是RtACD与RtBCD都无法直接求解，因而可利用CD是这两个直角三角形的公共边以及AD+DB=AB=lkm的条件，设法列方程求解解：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。相关内容请参看网校资源ID：#tbjx9#279518。（一）解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.（二）非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.（