掌门数学8-幂函数-教师.doc

幂函数知识精要一、幂函数的概念：一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数二、幂函数的图像及性质定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减（1）当时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；（2）当时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；（3）当时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；（4）当时，图象是一、三象限的角平分线；（5）当时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线.（6）幂函数图象不经过第四象限；（7）当时，幂函数的图象一定经过点（0，0）和点（1，1）（8）如果幂函数的图象与坐标轴没有交点，则；（9）如果幂函数（、都是正整数，且、互质）的图象不经过第三象限，则可取任意正整数，、中一个为奇数，另一个为偶数.热身练习1函数在区间上的最大值是（ C ）ABCD2下列所给出的函数中，是幂函数的是（ B ）ABCD3函数的图象是（ A ）A B C D4下列命题中正确的是（ D ）A当时函数的图象是一条直线B幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D幂函数的图象不可能出现在第四象限5函数和图象满足（ D ）A关于原点对称 B关于轴对称C关于轴对称 D关于直线对称6 函数，满足（ C ）A是奇函数又是减函数 B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数 D是偶函数又是减函数精解命题1.讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1） （2） （3）（4）（5）分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增 （2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在 上单调递减（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减2.已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合，便可逐步确定的值解：幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或3.证明幂函数在上是增函数分析：直接根据函数单调性的定义来证明证明：设，则 即 此函数在上是增函数备选例题1.已知函数 (. （1）求证：在(0,+)上是增函数；（2）若在(0,+)上恒成立，求的取值范围；（3）若在m，n上的值域是m，n(mn)，求的取值范围. 解：（1）证明 任取，即，故在(0,+)上是增函数. （2）解： 在(0,+)上恒成立，且a0, 在（0，+）上恒成立，令，当且仅当即x=时取等号要使在(0,+)上恒成立，则 故的取值范围是,+) （3）解： 由（1）在定义域上是增函数. ，即，故方程有两个不相等的正根m，n，注意到，故只需要(,由于，则 2.已知是幂函数，求m，n的值.【解析】由题意得，解得， 所以.3、比例下列各组数的大小.（1）；（2）(2)3和(2.5)3；（3）(1.1)0.1和(1.2)0.1；（4）.【解析】（1），函数在(0, +)上为增函数，又，则，从而.（2）幂函数y = x3在(, 0)和(0, +)上为减函数，又22.5，(2)3(2.5)3.（3）幂函数y = x0.1在(0, +)上为减函数，又1.11.2，1.10.11.20.1.（4）= 1；0= 1；0，.4、已知幂函数(Z)为偶函数,且在区间（0，+）上是单调减函数.(1)求函数； (2)讨论的奇偶性.解：已知幂函数(Z)为偶函数,且在区间（0,+）上是单调减函数.(1)求函数； (2)讨论的奇偶性.分析：先求，然后根据奇偶性的定义判断。解：（1）是偶函数，应为偶数。又在（0，+）上是单调减函数，0，-13。又Z，=0，1，2。当=0或2时，=-3不是偶数，舍去；当=1时，=-4；=1，即。（2），当，函数为非奇非偶函数；当，函数为偶函数；当，函数为奇函数；当，函数既是奇函数，又是偶函数。评析：两个字母都需讨论时，可先讨论其中一个，再讨论另外一个。自我测试1函数的单调递减区间是（ A ）A B C D 2 如图19所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小（ D ）A B C D3 对于幂函数，若，则，大小关系是（ A ）A B C D 无法确定4是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 5 .巩固练习1. 幂函数图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为 .( 为奇数，是偶数)2.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）此函数的定义域为R， 此函数为奇函数（2），此函数的定义域为 此函数的定义域不关于原点对称 此函数为非奇非偶函