（浙江通用）高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果a，那么a叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和sn或snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系snn2n.数列an是等差数列snan2bn(a、b为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则sn存在最_大_值；若a10，则sn存在最_小_值【知识拓展】1已知an为等差数列，d为公差，sn为该数列的前n项和，则(1)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mn)(2)sn，s2nsn，s3ns2n，也成等差数列，公差为n2d.(3)也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的.2若数列an与bn均为等差数列，且前n项和分别是sn和tn，则.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nn*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()1(2015重庆)在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()a1 b0 c1 d6答案b解析由等差数列的性质，得a62a4a22240，选b.2一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则它的公差为()a2 b3 c4 d6答案c解析an23(n1)d，由题意知即解得d0，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大答案8解析因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.故当n8时，其前n项和最大5已知递增的等差数列an的首项a11，且a1，a2，a4成等比数列，则数列an的通项公式为_；则a2a5a8a3n1a3n8的表达式为_答案ann解析设等差数列an的公差为d.a1，a2，a4成等比数列，aa1a4.则(a1d)2a1(a13d)即(1d)21(13d)，解得d0或d1.等差数列an是递增数列，d0舍去故d1.故数列an的通项公式为an1(n1)1n.数列a3n1的公差为d3d3，故a2a5a8a3n1a3n8.题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列an中，若a12，且对任意的nn*有2an112an，则数列an前10项的和为()a2 b10 c. d.(2)已知在等差数列an中，a27，a415，则前10项和s10等于()a100 b210c380 d400答案(1)c(2)b解析(1)由2an112an得an1an，所以数列an是首项为2，公差为的等差数列，所以s1010(2).(2)因为a27，a415，所以d4，a13，故s101031094210.思维升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想(1)(2015课标全国)设sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则s5等于()a5 b7 c9 d11(2)已知等差数列an的前n项和为sn，且满足1，则数列an的公差是()a. b1 c2 d3答案(1)a(2)c解析(1)an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31，s55a35.故选a.(2)sn，又1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.题型二等差数列的判定与证明例2已知数列an中，a1，an2(n2，nn*)，数列bn满足bn(nn*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由(1)证明因为an2(n2，nn*)，bn(nn*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn，则an11.设f(x)1，则f(x)在区间(，)和(，)上为减函数所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.引申探究例2中，若条件变为a1，nan1(n1)ann(n1)，探求数列an的通项公式解由已知可得1，即1，又a1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)1n，ann2n.思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出snan2bn后，根据sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()a公差为3的等差数列 b公差为4的等差数列c公差为6的等差数列 d公差为9的等差数列(2)在数列an中，若a11，a2，(nn*)，则该数列的通项为()aan bancan dan答案(1)c(2)a解析(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为6的等差数列(2)由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.(2)已知等差数列an的前n项和为sn，且s1010，s2030，则s30_.答案(1)10(2)60解析(1)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)s10，s20s10，s30s20成等差数列，且s1010，s2030，s20s1020，s30301021030，s3060.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15，求当n取何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值解a120，s10s15，1020d1520d，d.方法一由an20(n1)n.得a130.即当n12时，an0，n14时，an0.当n12或13时，sn取得最大值，且最大值为s12s131220130.方法二sn20nn2n2.nn*，当n12或13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.方法三由s10s15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.引申探究例4中，若条件“a120”改为a120，其他条件不变，求当n取何值时，sn取得最小值，并求出最小值解由s10s15，得a11a12a13a14a150，a130.又a120，a120，当n12或13时，sn取得最小值，最小值s12s13130.思维升华(1)等差数列的性质：项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则as2nn(a1a2n)n(anan1)；bs2n1(2n1)an.(2)求等差数列前n项和sn最值的两种方法：函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解邻项变号法：a当a10，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值sm；b当a10，d0时，满足的项数m使得sn取得最小值sm.(1)等差数列an的前n项和为sn，已知a5a74，a6a82，则当sn取最大值时，n的值是()a5 b6c7 d8(2)设数列an是公差d0的等差数列，sn为前n项和，若s65a110d，则sn取最大值时，n的值为()a5 b6c5或6 d11(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和sn的最大值为_答案(1)b(2)c(3)110解析(1)依题意得2a64,2a72，a620，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当sn取最大值时，n6，选b.(2)由题意得s66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，sn最大，选c.(3)因为等差数列an的首项a120，公差d2，代入求和公式得，snna1d20n2n221n22，又因为nn*，所以n10或n11时，sn取得最大值，最大值为110.5等差数列的前n项和及其最值典例(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和s10等于()a45 b60c75 d90(2)在等差数列an中，s10100，s10010，则s110_.(3)等差数列an中，已知a50，a4a70，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号不确定，故选项a错；若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项b错；若0a10，d0，a20，a30，所以aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20，所以a2，故选项c正确；若a10，y0，由基本不等式可得xy2，当且仅当xy时“”成立又a60，a70，a6a724，当且仅当a6a72时，“”成立即a6a7的最大值为4，故选c.12在各项均不为零的等差数列an中，若an1aan10 (n2)，则s2n14n等于()a2 b0 c1 d2答案a解析由已知2ana0，an2，s2n14n4n(2n1)an4n(2n1)24n2.13设等差数列an，bn的前n项和分别为sn，tn，若对任意自然数n都有，则的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.14已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，bn，若对任意的nn*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围为_答案(8，7)解析依题意得bn1，对任意的nn*，都有bnb8，即数列bn的最小项是第8项，于是有.又数列an是公差为1的等差数列，因此有即由此解得8a7，即实数a的取值范围是(8，7)15已知公差大于零的等差数列an的前n项和为sn，且满足a3a4117，a2a522.(1)求通项an；(2)求sn的最小值；(3)若数列bn是等差数列，且bn，求