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3 4生活中的优化问题举例 人教A版2005新课标版高中数学选修1 1 湖北省应城市第二高级中学姜珊 格奥尔格 克里斯托夫 利希滕贝格 沃尔特 波斯特曼 马云阿里巴巴创始人阿里巴巴 中国最大的电商 王健林万达创始人万达公司 中国最大的商业地产公司 马化腾QQ 微信创始人腾讯公司 中国最大的互联网通信平台 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 七十载拼搏坚持信念 两百年梦想不忘初心 问题1 海报版面尺寸的设计 向国家七十周年献礼 高二 15 班设计海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128cm2 上下边各空2cm 左右空1cm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 海报的面积 版心的面积 高Xcm 高X 4cm 宽 解 设版心的高为xcm 则宽为 此时四周空白面积为 因此 x 16是函数s x 的极小值点 也是最小值点 答 当版心高为16cm 宽为8cm时 海报四周空白面积最小 求导数 有 解得 x 16 x 16 舍 还有其他的解法吗 归纳 实际应用问题的解题程序 利用导数解决生活中的优化问题的步骤 问题2 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 你想从数学上知道它的道理吗 大瓶饮料2L9元小瓶饮料330mL2元 例2 某制造商制造并出售球形瓶装饮料 瓶子制造成本是0 8 r2分 已知每出售1ml的饮料 可获利0 2分 且瓶子的最大半径为6cm 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润是 当 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 1 当半径为2cm时 利润最小 这时f 2 0 2 当半径为6cm时 利润最大 从图中可以看出 从图中 你还能看出什么吗 练习 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底铁皮箱 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 x h h x h h和x有怎样的等量关系 2h x 60 解设箱底边长为x 箱子容积为 由 解得x1 0 舍 x2 40 当x 0 40 时 V x 0 当x 40 60 时 V x 0 函数V x 在x 40处取得极大值 这个极大值就是函数V x 的最大值 答当箱箱底边长为40cm时 箱子容积最大 最大值为16000cm3 如何解决优化问题
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