处理角问题的几种数学思想方法.pdf

由于g x 在 1 内递增 所以 g x m in g 1 1 所以k 0 在 1 内恒成立 分离参数 得 a 1 n x 2 n x n 1 n x 令g x 1 n x 2 n x n 1 n x 由于g x 在 1 内单调递增 所以 g x m in g 1 n 1 2 从而 a 1 n 2 综上所述 参数分离法确实是一种难得 的好方法 它不仅运算简洁 思路清晰 而且 对所论问题的内在结构弄得明明白白 一切 跃于纸面 让人赏心悦目 回味无穷 为便于大家掌握此方法 我们列出下列 各题 以便练习 1 已知方程4 x 2 x 2 4m 0有唯一 解 求m的取值范围 2 已知方程9 x 2 4 3 x 2 a 0 有实数根 求实数a的取值范围 3 已知方程 x 2 2x 1 a a 2 6 恰 有两相异实数根 求实数a的取值范围 4 求a的值 使方程log x a 2x 2有唯 一解 有两解 无解 5 上海1992年考题 已知函数 f x x 2loga 2x 4lga 的最大值是3 求实数a 6 俄罗斯考题 若关于x的方程 log2x 1 2log2 x a 恒有一个实数解 求实数a的取值范围 7 广东考题 已知函数 f x x 2 2mx m 6 对x R f x 0恒成立 求m的取值范 围 8 1989年高考题 已知关于x的方程 loga x ak loga x 2 a 2 问k为何值时 方程有解 说明一点 本方法只适用于所论参数与 自变量能分离的情形 处 理 角 问 题 的 几 种 数 学 思 想 方 法 戴亚宁 宁夏中宁县中宁中学 751200 有关角的概念及相关问题几乎分布在高 中数学的各个单元 是代数 三角 几何知识 的聚汇点和发散点 由于以角为材料和背景 设计的题目 思考的途径广 创造性要求高 展示能力的区域比较宽 解决问题的思路和 手段体现了很丰富的数学思想及方法 从而 深为各种类型的考试命题者所厚爱 以下将 笔者在教学实践中解决此类问题的一些体会 和心得作一总结 供参考 1 利用函数思想 我们知道 三角函数是角作为自变量的 超越函数 因此 利用函数思想将有关角的问 题转化为三角函数问题是解决问题的重要途 径 例1 设复数z 3co s i2sin 求函 数y z 的最大值以及对 应的 值 年全国高考题 分析 欲求y z的最值 可转化 03 中学数学月刊 2000年第12期 arg0 2 1999 arg 为求y的某一三角函数的最值 考虑到argz 的特征 可考虑选择y的正切值 解 由0 2 得tan 0 由z 3co s i2sin 得0 argz 2 及tan argz 2sin 3cos 2 3 tan 故tany tan argz tan 2 3 tan 1 2 3 tan 2 1 3 tan 2tan 3 tan 2tan 26 tany 6 12 当且仅当 3 tan 2tan 0 0 x1x2 1 4 0 cos2 3 4 2k arccos 3 4 2 2k arcco s 3 4 k 2 1 2 arccos 3 4 k 2 1 2 arccos 3 4 k 0 1 评注 在例3 例4中 方程思想起到了 净化器 的作用 本来很混沌的问题一下子 变得清澈明亮了 3 利用分类讨论的思想 不少有关角的问题牵涉到多个角元素 处理这类问题往往需要对这些不同的角之间 的关系加以区分确定 通过对它们进行分类 讨论 从而方便快捷地解决问题 例5 设 0 2 sin2 sin2 sin 求证 2 第十七届全苏数学竞赛题 证明 将已知等式改写为 sin sin co s sin cos sin 为锐角 sin 0 sin 0 所以 只能有下列三种情况 1 0 co s sin 0 sin cos 2 0 sin cos 0 co s co s 2 sin2 1 第2种情况也将导致矛盾 1 sin 2 cos 2 co s 2 sin 2 1 在第3种情况下 由0 2 0 0 试比较 与 2 的大 小 分析 先考察最简单的情形 若 sin cos sin cos 1 它显然满足条件 此时 2 是否恒有 2 不妨考察它的对立面 解 若 2 由 为锐角知0 根据正余弦函数在 0 上 的单调性 有 从而 时 23 中学数学月刊 2000年第12期 222 sincoscossin 0 sin co s 1 0 sin co s 10 sin cos x sin cos x 2 可导出 sin co s x sin co s x 2 也与已知条件矛盾 故 2 评注 对问题反面的分类否定就是对正 面的肯定 这里有一种绝处逢生的感觉 4 利用极限思想 极限是进一步学习高等数学的重要工 具 极限思想是人们从有限认识无限的一种 数学方法 运用极限思想解决有关角的问题 是一种深刻独特 简洁明快的思路和途径 例7 在正n棱锥中 两相邻侧面所成 二面角的取值范围是 A n 2 n B n 1 n C 0 2 D n 2 n n 1 n 1994年全国高中数学联赛题 图3 分析 正n棱 锥P A1A2A3 An 相邻两侧面所 成二面角的平面角 为 A1M A3 如图 3 可设想正n棱 锥的底面固定 而 让顶点P作垂直运动 当P点趋向于底面正 n边形的中心O点时 正n棱锥的高就趋近 于零 A1MA3就趋近于平角 而当P点向 上趋向无穷远时 正n棱锥的高就趋近于无 穷大 则正n棱锥就趋向于正n棱柱 这时 A1MA3就趋近于 A1A2A3 即 n 2 n 所 以有n 2 n A1MA3 故应选A 球盒 子 模 型 的 应 用 张拥军 浙江省金华汤溪中学 321075 在解决排列组合的问题时 常常碰到有 关球放入盒子的问题 这类问题的变化较多 学生掌握起来比较困难 且其它一些问题可 以转化为球 盒子问题 也即具有模型置换 的功能 本文拟就此谈些方法 模型之一 把m个不同小球随意放入n 个不同盒子 把m个不同小球随意放入n个不同盒 子的问题 实质上是一个重复排列的问题 可 以用乘法原理解决 第一个球有n种放法 第 二个球有n种放法 第m个球有n种放 法 故共有n n n m n m 种不同的放法 例1 五个学生报名参加数 理 化 外 四门学科竞赛 每人限报一门 则报名方法有 多少种 分析 五个学生类比于5个不同的小 球 四门学科类比于四个不同的盒子 故有 4 5 种不同的报名方法 例2 四名学生争夺三项冠军 获冠军 的可能情形共有几种 分析 三项冠军类比于三个不同的小 球 四个学生类比于四个不同的盒子 故有 43种可能 例3 A B C D E五个人排一个五天 的值日表 每天由一人值日 每人可以值多天 或不值 但相邻两天不能由同一人值 那么值 日排法种