高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 1直线与平面垂直的判定 1 直线与平面垂直 2 判定定理 做一做1若三条直线oa ob oc两两垂直 则直线oa垂直于 a 平面oabb 平面oacc 平面obcd 平面abc解析 由线面垂直的判定定理知oa垂直于平面obc 答案 c 3 直线和平面所成的角 1 定义 一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫做斜足 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图 pao就是斜线ap与平面 所成的角 2 规定 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角等于90 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角等于0 因此 直线与平面所成的角 的范围是0 90 做一做2如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 直线ab1与平面abcd所成的角等于 ab1与平面add1a1所成的角等于 ab1与平面dcc1d1所成的角等于 解析 b1ab为ab1与平面abcd所成的角即45 b1aa1为ab1与平面add1a1所成的角 即45 ab1与平面dcc1d1平行 即所成的角为0 答案 45 45 0 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线 那么这条直线和这个平面垂直 2 若直线垂直于平面内的两条直线 则这条直线与平面垂直 3 若直线垂直于梯形的两腰所在的直线 则这条直线垂直于两底边所在的直线 4 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线 则这条直线垂直于两腰所在的直线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明直线与平面垂直 例1 如图所示 ab bc 直角三角形abc所在平面外有一点s 且sa sb sc ac中点为d 1 求证 sd 平面abc 2 若直角边ba bc 求证 bd 平面sac 思路分析 1 先由等腰三角形sac及d为边ac的中点 得sd ac 再由 sda sdb 得sd db 2 由ba bc及d为ac的中点可得bd ac 根据直线与平面垂直的判定定理可证 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明 1 sa sc d为ac中点 sd ac 在rt abc中 ad dc bd 又sa sb sda sdb sda sdb 即sd db 又ac bd d sd 平面abc 2 ba bc d为ac中点 bd ac 由 1 知bd sd ac与sd都在平面sac内且相交 bd 平面sac 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练1如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱ab bc的中点 o是底面abcd的中心 则ef与平面bb1o的位置关系是 填 平行 或 垂直 解析 abcd为正方形 ac bo bb1 平面abcd ac 平面abcd ac bb1 又bo bb1 b ac 平面bb1o ef是 abc的中位线 ef ac ef 平面bb1o 答案 垂直 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明两直线垂直 例2 导学号96640048如图 已知矩形abcd 过a作sa 平面ac 连接sb sc sd 再过a作ae sb交sb于e 过e作ef sc交sc于f 连接af 求证 af sc 思路分析 要证af sc 可证sc 平面aef 又ef sc 只需证ae sc 只需证ae 平面sbc 又ae sb 只需证ae bc 最后只需证bc 平面sab 又bc ab bc sa 结论得证 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明 sa 平面ac bc 平面ac sa bc 四边形abcd为矩形 ab bc 又sa ab a bc 平面sab ae 平面sab bc ae sb ae 且sb bc b ae 平面sbc sc 平面sbc ae sc ef sc 且ae ef e sc 平面aef 又af 平面aef af sc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练2如图 已知pa垂直于 o所在的平面 ab是 o的直径 c是 o上任意一点 过点a作ae pc于点e 则ae与pb的位置关系是 填 平行 或 垂直 解析 pa 平面abc pa bc ab是 o的直径 bc ac 而pa ac a bc 平面pac 又ae 平面pac bc ae pc ae 且pc bc c ae 平面pbc ae pb 答案 垂直 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 求直线与平面所成的角 例3 导学号96640049已知四面体abcd的棱长都相等 q是ad的中点 则cq与平面dbc所成的角的正弦值为 思路分析 作ao 平面bcd 垂足为o 连接od 取od中点p 连接qp cp qcp就是斜线cq与平面bcd所成的角 求出sin qcp 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 解析 过点a作ao 平面bcd 垂足为o 连接ob oc od 取od中点p 连接qp cp ao ob ao oc ao od 且ab ac ad ao 平面bcd ob oc od 点o是三角形三边垂直平分线的交点 也是三角形角平分线的交点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练3如图 在rt bmc中 斜边bm 5 它在平面abc上的射影ab长为4 mbc 60 则mc与平面cab所成角的正弦值为 解析 由题意知 a是m在平面abc内的射影 ma 平面abc mc在平面cab内的射影为ac mca即为直线mc与平面cab所成的角 在rt mbc中 bm 5 mbc 60 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明线面垂直不严密而致错典例如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面abc ac bc d是ab的中点 连接cd 求证 cd 平面abb1a1 错解 证明 aa1 平面abc cd 平面abc cd aa1 bb1 aa1 cd bb1 又aa1 平面abb1a1 bb1 平面abb1a1 cd 平面abb1a1 错因分析 错解中aa1和bb1是平面abb1a1内的两条平行直线 不是相交直线 故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 正解 证明 aa1 平面abc cd 平面abc cd aa1 ac bc d是ab的中点 cd ab 又ab 平面abb1a1 aa1 平面abb1a1 ab aa1 a cd 平面abb1a1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 1 如果一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 则能保证该直线与平面垂直的是 a b c d 解析 三角形的两边 圆的两条直径一定是相交直线 而梯形的两边 正六边形的两条边不一定相交 所以保证直线与平面垂直的是 答案 a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 2 已知直线a 平面 直线b 平面 则a与b的关系为 a a bb a bc a b相交不垂直d a b异面不垂直解析 由b 过b作平面 使 c 则b c 且c a a c a b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 3 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc aa1 1 则bd1与平面a1b1c1d1所成的角的大小为 解析 如图所示 连接b1d1 则b1d1是bd1在平面a1b1c1d1上的射影 则 bd1b1是bd1与平面a1b1c1d1所成的角 则 bd1b1 30 答案 30 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1