高等代数(北大版第三版)习题答案I.doc

高等代数(北大版第三版)习题答案I 篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考答案 第三章线性方程组 1用消元法解下列线性方程组：?x1?x?1?1)?x1 ?x?1?x1 ?3x2?5x3?4x4?1?3x2?2x3?2x4?2x2?x3?x4?x5?4x2?x3?x4?x5?2x2?x3?x4?x5 ?x1?2x2?3x4?2x5?1 x5?1? ?x1?x2?3x3?x4?3x5?2 ?32)? 2x?3x?4x?5x?2x?72345?1 ?3 ?9x?9x?6x?16x?2x?25 2345?1 ?1 x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44 ? x3?x2?0?x2?x3?x4?3?2x1?3x2?34 3)?4)? 4x?11x?13x?16x?0x?3x?x?123424?1?1 ?7x?3x?x?3?7x?2x?x?3x?0 234234?1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1? 3x1?2x2?x3?x4?1?3x1?2x2?2x3?3x4?2 5)?6)?2x1?3x2?x3?x4?1 ?2x?2x?2x?x?1?5x1?x2?x3?2x4?1 234 ?1?2x?x?x?3x?4 234?1 ?5x1?5x2?2x3?2 解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有 ?1 ?1?1?1?1?1?0?0?0?0 33?2?420000?1 521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?1101000 1?1 ?10?3?0?3?0 ?1?01?1?20?0?0?0?0 ?0?0 30?5?7?10000?1 5?3?4?4?400?200 ?42358?12000 01?1?1101000 1? ?2?2?2?2?1?2?0?0?0? 因为 rank(A)?rank(B)?4?5， 所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 ?x1?x4?1? ?2x1?x5?2 ，? ?2x?03? ?x?x?0?24 解得 ?x1?x?2?x3?x?4?x5 ?1?k?k?0?k?2?2k 其中k为任意常数。 2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有 ?1?1?2?9 ?1?0? ?0?0 2?1?3?9 2 0?346 ?31?516 ?3 2?322 1?1 ?20? ?07?25?0 2 ? ? 2?3?7?27 1 2 0?346 ?34111 0? 2?5?2?16 3 1? ?1?5?16? ?1? ?3?34?51 ? 2529?8? 011? 333 ? 033?2529?72?1 ? 0?334?51 ? 2529?8 001?1? 333 ? 0000?01? 因为 rank(A)?4?rank(A)?3， 所以原方程无解。 3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有 ?1?0?1?0 ?213?7 3?103 ?4111 4?1?30? ?01?3?0 ?215?7 3?1?33 ?4151 4? ?3?3?3? ?1?0?0?0 0100 1?12?4 ?2108 ?2?1 ?30 ? ?012?24?0 0100 0020 0008 ?8? ?3 ?，12?0? 因为 rank(A)?rank(A)?4， 所以方程组有惟一解，且其解为 ?x1?x2?x3?x?4 ?8?3?6?0 。 4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ?3?2?4?7?1?0?0?0 4?311?27?1717?34 ?53?131?819?1938 7?1?22? ?416?3?79?1 ?200 ? ?020?40?0 7?311?2 7?1700?83?131?819009? ?2?16?3?9?20 ?，0?0? 即原方程组德同解方程组为 ?x1?7x2?8x3?9x4?0 ，? ?17x2?19x3?20x4?0 由此可解得 ?x1?x2?x3?x?4 ? 3171917 k1?k1? 131720XX k2k2， ?k1?k2 其中k1,k2是任意常数。 5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有?2?3?5?2?2?7?10?10 1?21?11000?12?11?1000 1?32?31?100 1?2?27? ?3?1?4?41?2?47? ?102?3?0 10001000?1000?10001?11?21?1001? ?4?2?5?1?4?2?1? 因为 rank(A)?4?rank(A)?3， 所以原方程组无解。 6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有?1?3? ?2 ?2?5 22325 3 11?11 1 1? ?1?1?1?2? ? ?32245 55355 42132 0? ?0?1?0?0? 2122 2?12 ?2?5?1?1?0? 05000 22?15 00100 10 0?0?20? ?1? ?05?0?1 ?00? 05000 07?65 00100 10 0? ?2?1?，5?0?0? 即原方程组的同解方程组为 ?5x2?7x3?2 ? 1?6 ，?x?x?34 5?5 ?x1?x3?0 解之得 ?x1?x2?x3?x4? ?k?25?75k ?k? 15?65k ， 其中k是任意常数。 2.把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.。 1)?(1,2,1,1) ?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)?(0,0,0,1) ?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解1）设有线性关系 ?k1?1?k2?2?k3?3?k4?4 代入所给向量，可得线性方程组 篇二：高等代数(北大版)第7章习题参考答案 第七章线性变换 1判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）在线性空间V中，A?,其中?V是一固定的向量； 2）在线性空间V中，A?其中?V是一固定的向量；3）在P中，A(x1,x2,x3)?(x1,x2?x3,x3)； 3 3 4）在P中，A(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)； 2 2 5）在Px中，Af(x)?f(x?1)； 6）在Px中，Af(x)?f(x0),其中x0?P是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A? n?n n?n 。 8）在P中，AX=BXC其中B,C?P是两个固定的矩阵.解1)当?0时,是;当?0时,不是。2)当?0时,是;当?0时,不是。 3)不是.例如当?(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0),A(k?)?(4,0,0),A(k?)?kA(?)。 4)是.因取?(x1,x2,x3),?(y1,y2,y3),有A(?)=A(x1?y1,x2?y2,x3?y3) =(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1)=(2x1?x2,x2?x3,x1)?(2y1?y2,y2?y3,y1)=A?+A?，A(k?)?A(kx1,kx2,kx3) ?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1)?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1) 3 =kA(?)， 故A是P上的线性变换。 5)是.因任取f(x)?Px,g(x)?Px,并令u(x)?f(x)?g(x)则 A(f(x)?g(x)=Au(x)=u(x?1)=f(x?1)?g(x?1)=Af(x)+A(g(x)，再令v(x)?kf(x)则A(kf(x)?A(v(x)?v(x?1)?kf(x?1)?kA(f(x)，故A为Px上的线性变换。 6)是.因任取f(x)?Px,g(x)?Px则. A(f(x)?g(x)=f(x0)?g(x0)?A(f(x)?A(g(x)，A(kf(x)?kf(x0)?kA(f(x)。 7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)?kA(a)。 8)是，因任取二矩阵X,Y?Pn?n，则A(X?Y)?B(X?Y)C?BXC?BYC?AX+AY，A(kX)=B(kX)?k(BXC)?kAX，故A是P n?n 上的线性变换。 2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,AB?BA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有1)因为 Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)，所以A4=B4=C4=E。 2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以AB?BA。 3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A2B2=B2A2。 4)因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a)_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)，所以(AB)2?A2B2。 3.在Px中，Af(x)?f(x),Bf(x)?xf(x)，证明:AB-BA=E。证任取f(x)?Px，则有 (AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x)-B(f(x)=f(x)?xf所以AB-BA=E。 4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kAk?1(k1)。证采用数学归纳法。当k=2时 A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。归纳假设k?m时结论成立，即AmB-BAm=mAm?1。则当k?m?1时，有Am?1B-BA m?1 m?1 ; (x)-xf (x)=f(x) =(Am?1B-AmBA)+(AmBA-BA m?1 )=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mA A=(m?1)Am。 即k?m?1时结论成立.故对一切k?1结论成立。5.证明：可逆变换是双射。 证设A是可逆变换，它的逆变换为A?1。 若a?b，则必有Aa?Ab，不然设Aa=Ab，两边左乘A?1，有a=b，这与条件矛盾。其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A?1b=a即可。因此,A是一个双射。6.设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A?1,A?2,?,A?n线性无关。 证因A(?1,?2,?,?n)=(A?1,A?2,?,A?n)=(?1,?2,?,?n)A， 故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关，故A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关.。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵: 1)第1题4)中变换A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵； 2)o;?1,?2是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂 直投影,B是平面上的向量对?2的垂直投影，求A,B,AB在基?1,?2下的矩阵；3)在空间Pxn中，设变换A为f(x)?f(x?1)?f(x)，试求A在基?i=x(x?1)?(x?i?1) 1i! (I=1,2,?,n-1)下的矩阵A； 4)六个函数?1=eaxcosbx,?2=eaxsinbx，?3=xeaxcosbx,?4=xeaxsinbx， ?1= 12 xeaxcosbx,?1= 2 12 eaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空 间，求微分变换D在基?i(i=1,2,?,6)下的矩阵； ?1 ?3 ?5)已知P中线性变换A在基?1=(-1,1,1),?2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是?1 ?1? 012 1?0?，1? 求A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵；6)在P3中，A定义如下： ?A?1?(?5,0,3)? ?A?2?(0,?1,6)，?A?(?5,?1,9) 3? 其中 ?1?(?1,0,2)? ?2?(0,1,1)，?(3,?1,0)?3 求在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵；7)同上，求A在?1,?2,?3下的矩阵。解1) A?1=(2,0,1)=2?1+?3，A?2=(-1,1,0)=-?1+?2，A?3=(0,1,0)=?2， ?110 0?1?。0? 12 ?2 ? 故在基?1,?2，?3下的矩阵为?0 ?1? 2）取?1=（1，0），?2=（0，1），则A?1=?1 ? 故A在基?1，?2下的矩阵为A=?2 ?1?2 ?1+ 12 ?2，A?2= 12 ?1+ 12 ?2， 1?2?。1?2? 0? ?，另外，（AB）?2=A1? ?0 又因为B?1=0，B?2=?2，所以B在基?1，?2下的矩阵为B=?0 ? （B?2）=A?2= 12 ?1+ 12 ?2， 1?2?。1?2? x(x?1)?x?(n?2) (n?1)! ?0 所以AB在基?1，?2下的矩阵为AB=? ?0? 3）因为?0?1,?1?x,?2? x(x?1)2! ,?,?n?1? ， 所以A?0?1?1?0， A?1?(x?1)?x?0， ? A?n?1? (x?1)x?x?(n?3) (n?1)! ? x(x?1)?x?(n?2) (n?1)! = x(x?1)?x?(n?3) (n?1)! (x?1)?x?(n?2) =?n?2， ?0? 所以A在基?0,?1,?,?n?1下的矩阵为A=? 10 1? ?。? 1? 0? 4）因为D?1=a?1-b?2, D?2=b?1-a?2,?6，D?3=?1+a?3-b?4,D?4=?2+b?3+a?4,D?5=?3+a?5-b?6,D?6=?4+b?5+a?6， ?ab1000?ba0100?所以D在给定基下的矩阵为D=? 0ab10?00?ba010。?0000ab? 00 ?b a? ?10?5）因为(? ?1 1,?2,3)=(?1,?2，?3)?1 01? ?，所以?1?1 1? ?11?1?(? 1,?2，?3)=(?1,?2,?3)?0 1?1? ?=(?1,?2,?3)X，? 10 1? 故A在基?1,?2，?3下的矩阵为?1 10?1?1?1B=X?1 AX=?1 01?1 0?110?1 1?01?1?=?1?2 2? 1?1 1? ? ?12 1? ? 10 1?3 ?2? 0?。2? 篇三：高等代数(北大版)第9章习题参考答案 第九章欧氏空间 1.设?aij是一个n阶正定矩阵,而 ? ?(x1,x2,?,xn),?(y1,y2,?,yn), 在R中定义内积(?,?)?, 1)证明在这个定义之下,2)求单位向量 n Rn成一欧氏空间； ?1?(1,0,?,0),?2?(0,1,?,0),?n?(0,0,?,1)， 的度量矩阵； 3)具体写出这个空间中的柯西布湿柯夫斯基不等式。 ?是Rn上的一个二元实函数，且(?,?)?解1)易见 (1)(2)(3)(4) (?,?)?(?)?(?,?)，(k?,?)?(k?)?k(?)?k(?,?)， (?,?)?(?)?(?,?)?(?,?)， (?,?)?aijxiyj， i,j 由于A是正定矩阵，因此 ?axy ijii,j j 是正定而次型，从而(?,?)?0，且仅当?0时有 (?,?)?0。 2)设单位向量 ?1?(1,0,?,0),?2?(0,1,?,0),?n?(0,0,?,1)， 的度量矩阵为 B?(bij)，则 ?a11a12 ? a?a bij?(?i,?j)?(0,?,1,?0)?2222 (i)? ?a ?n1an2 ?0? ?a1n? ? ?a2n? 1(j)=aij，(i,j?1,2,?,n)，?ann?0? 因此有B?A。 4)由定义，知 (? ,?)?aijxiyj i,j ?， ? ， 故柯西布湿柯夫斯基不等式为 ?axy ijii,j j ? ayy ij i i,j j 2.在R中,求?,?之间?,?1)2)3) 4 ?(内积按通常定义)，设: ?(2,1,3,2),?(1,2,?2,1)，?(1,2,2,3),?(3,1,?5,1)， ?(1,1,1,2),?(3,2,?1,0)。 (?,?)?2?1?1?2?3(?1)?2?1?0， 解1)由定义,得 所以 ?,? 2)因为 ? 2。 (?,?)?1?3?2?1?2?5?3?1?18，(?,?)?1?1?2?2?2?2?3?3?18，(?,?)?3?3?1?1?2?2?3?3?36， cos?,? 所以 182 ? 2， ?,?4。3)同理可得 ? (?,?)?3,(?,?)?17,(?,?)?3,cos?,? 3， ?1 ?,?cos所以 3 。 通常为?,?的距离，证明； 3. d(?,?)? d(?,?)?d(?,?)?d(?,?)。 证由距离的定义及三角不等式可得 d(?,?)?(?)?(?) 4 ? ?d(?,?)?d(?,?)。 4在R中求一单位向量与解设? ?1,1,?1,1?,?1,?1,?1,1?,?2,1,1,3?正交。 ?x1,x2,x3,x4?与三个已知向量分别正交，得方程组?x1?x2?x3?x4?0? ?x1?x2?x3?x4?0，?2x?x?x?3x?0 4?123 因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令x3?1?x1 ?4,x2?0,x4?3，即?4,0,1,?3?。 11 ?4,0,1,?3?，? a再将其单位化，则?即为所求。 5设?1,?2,?n是欧氏空间V的一组基，证明：1）如果? ?V使?,?i?0?i?1,2,?,n?,，那么?0。 ?V使对任一?V有?1,?2,?，那么?1?2。 2）如果?1,?2 证1)因为?1,?2,?n为欧氏空间V的一组基，且对? ?V，有 ?,?i?0?1,2,?,n?， 所以可设?且有 ?k1?1?k2?2?kn?n， ?,?,k1?1?k2?2?kn?n? ?k1?,?1?k2?,