关注教学法表征的数学归纳法教学设计.pdf

2 6 数学通报2 0 1 1 年第5 0 卷第4 期 关注教学法表征的数学归纳法教学设计 陈雪梅王梅 河北师范大学数学与信息科学学院0 5 0 0 1 6 表征是认知心理学的一个重要概念 有效的 教学不仅需要充分的学科内容知识 而且需要丰 富地表现各种数学观念与关系的呈现方式的知 识 促进学生理解 教学法的表征是指教师和学 生在课堂中应用的所有表征 它们作为数学知识 的各种外部表示帮助解释一些概念 关系 联系或 问题解决的过程 本设计在数学归纳法知识解析 以及学生学 习问题诊断的基础上 利用知识表征理论突破难 点 促进学生有效地进行数学抽象概括 1 内容和内容解析 数学归纳法是 课标 实验教材选修2 2 推 理与证明 中的内容 安排在 合情推理与演绎推 理 和 直接证明与间接证明 之后 两个课时 在 等差数列和等比数列的学习中 通项公式的推导 多用不完全归纳法 其正确性还有待数学方法证 明 因此 数学归纳法也是数列学习的深化和 发展 数学归纳法主要用来研究与正整数有关的数 学问题 在高中数学中常用来证明等式成立和数 列通项公式成立 数学归纳法作为一种数学演绎证明的思想方 法 同时也蕴含了 算法思想 这主要体现在 归 纳递推 步骤的形成中 归纳递推是对许许多多 的 由上一项成立推导出下一项成立 的 重复 过 程抽象概括得到的 这是由 解法 向 算法 发展 的过程中必然要经历的 从理论上说 数学归纳 法提供了证明与自然数有关的一类命题成立的一 般性的思想方法 以上述知识解析为基础 我们在教学设计时 体现了 观察一归纳一猜想一数学证明 的思考序 列 突出数学归纳法 特别是递推思想的形成过 程 使学生不仅掌握一种新的证明方法 而且能 理解它的实质 领悟数学思维的美 2 目标和目标解析 数学归纳法教学的核心应是让学生体味数学 归纳法的思想 精髓 而不仅仅是记住解题的程 式 因此 本节课的教学目标 应使学生 1 感悟与正整数有关的一类命题仅用不完 全归纳等合情推理思想解决问题的局限性 2 通 过典型问题 抽象概括出数学归纳法思想及基本 步骤 即用数学归纳法证明与正整数挖有关的命 题P 咒 成立需要做哪几件事 3 理解数学归纳 法的思想方法 即为什么做了这几件事就能证明 命题户 以 对一切正整数咒都成立 4 体会数学 思维中严谨与简洁的美 3 教学问题诊断分析 F i s c h b e i n 等口1 的研究调查了学生对理解数 学归纳法原理的心理困难 结果约有5 0 的学生 对数学归纳法原理的 归纳假设 存在理解上的困 难 他们弄不清楚为什么可以随便假设P n 成 立 想检验归纳假设这个前提 根据D u b i n s k y L e w i n 2 的分析 数学归纳 法的认知图式涉及三个基本前提 即函数图式 逻 辑图式 以及利用归纳法原理的证明方法的图式 见图3 前面两个是关于原理本身的要素 后者 是应用问题 理解数学归纳法的困难在于 首先 需要建立 关于正整数的命题值函数的概念 其次 命题值 函数的图式与蕴含演算的逻辑图式协调 构造出 蕴含值函数 即Q P 砣 一P 1 蕴含 命 题Q 成立与否是由P 咒 一P 咒 1 整体来决定 第三 从以正整数为定义域的命题值函数到对应 它的蕴含值函数的转变过程 万方数据 2 0 1 1 年第5 0 卷第4 期数学通报 2 7 教学过程设计方面突出考虑 1 如何让学生 产生认知的需要 即导入问题的设计 要达到这 个目标 首先要让学生产生 问题 由 逐一验 证 无法实现 局部验证 不完备 不可靠而引出 问题 能否找到一种可靠的方法 并且通过有限 步骤证明一个有关自然数竹的命题 有的教师 用 摸球 的方式 有的教师利用 多米诺骨牌 游 戏引入 虽然简单易操作 或者形象直观 但要概 括出 数学归纳法 思想并不自然 而且降低学生 的思维水平 有的教师采用 反例 例如对任意 自然数竹 咒 一 1 2 咒 4 1 的值是否为质数 这个例子说明经验归纳不可靠很恰当 但并非应 用数学归纳法的典型问题 所以也不适合单独作 为引入问题 2 利用教学法表征克服难点 知 识的获得不仅具有活动性 建构性 社会性 还具 有情境性 默会性 知识的不同外部表征的作用 是 口 让学生明确命题值函数的特点 促进学生 形成 证明命题值函数的策略和方法 6 促进 学生抽象概括数学归纳法的核心思想和形式步 骤 c 利用多米诺骨牌游戏活动等丰富学生对 数学归纳法的表象 促进意义建构和理解 4 教学过程 4 1 创设问题情境 激发学生的认知需要 问题1 我们前面学习了数列 已知数列 口 的第1 项口1 1 且口科l 鲁 咒 N 请 1l 大家思考 口 的通项公式是什么 图l 问题2口 三 你是怎样发现这个规律的 设计意图这个问题本身难度适宜 建立在 学生已有知识的基础上 学生易于观察规律 得 出猜想 使得学生的注意力集中于对证明方法的 探寻 通过让学生反思猜想的过程 明确所应用 的方法是基于特例的不完全归纳 问题3 根据几个少数特例归纳出的结论是 不可靠的 根据前面学习的数列知识 你想怎样 证明等式a 二成立 设计意图突出观察 归纳 猜想 证明的思考方式 同时利用命题值函数的表征 图2 促进学生思考命题的特点 即 当以属于 全体自然数时 结论是否对于任意一个自然数都 成立 师小结如果能一一验证各项命题都成立 则结论当然可靠 但遗憾地是这个等式包含了无 穷多项命题 显示图2 逐一证明不可能实现 我 们要另辟蹊径 继续探究 圉圉圉圉 困 蓼丽莎 图2 命题值函数的表征 万方数据 2 8 数学通报 2 0 1 1 年第5 0 卷 第4 期 4 2 数学证明方法的探寻 问题4 刚才 我们根据几个特例得出猜想 你是如何证明口 虿17 如何证明a 3 1 37 如何 证明口t 它们具有类似的过程吗 如果要 你验证 2 2 9 时 口 丢是否成立 你怎样做呢 设计意图在引导学生反思的基础上 把新 的证明过程迸一步 步骤化 使之结构更清晰 并 用自然语言概述 预设第一步 口 一1 成立 第二步 把口 1 代入口 鲁 得出口 上T 1 命题对咒 2 成立 第三步 把口 寺代入口 一 得出口 一 厶l 十口 命题对行 3 成立 第四步 把口 告代入口 鲁 得出口 一 0 1 1 口 命题对n 4 成立 第九步 把口s 5 吉代入口 一而e 1 8 得出d 音 命题对疗 9 成立 问题5 在上述验证特例的过程中 你认为 相同或类似的结构是什么 问题6 你能否尝试描述这些规律呢 设计意图引导学生反思解题过程 尝试归 纳概括问题解决过程中的相似或相同的结构 进 而概括出更一般的结构 也就是 口 一口抖 是从 具体中概括得到的 为形成数学归纳法思想奠定 基础 问题7 怎样证明命题n 竹 N 对所 有自然数都成立呢 预设第一步 咒 1 时 e l 成立 第二步 对任意自然数k 如果咒一k 时命题 e l 成立 一定可以推出 z k 1 时命题a 1 成立 设计意图在形象解释命题值函数的基础 上 利用简洁的直观图 图3 形象表示数学归纳 法的核心思想 强调 对任意自然数k 使学生明 确通过这两步就可以证明命题对所有自然数都 成立 骨牌 通项公式 第一块已经倒下 证明 一1 时 公式正确 条件 如果前一块倒下 证明命题 如果行一k 时 则后一块也跟着倒下 一 公式正确 那么以 五十l 时公式也正确 是真命 定满足 题 满足上面两个条件 所有 做了以上两件事 证明 通项公式对一切正整数n 骨牌一定都倒下 都成立 图3 骨牌游戏与数学归纳法的类比 师小结 我们要证明的命题不仅与正整数有 关 而且证明一个新命题成立要充分利用上次的 结果 把这次的推理建立在上次的结果之上 前后 两个步骤存在有机的逻辑联系 这种思想在数学 中就称为 递推 思想 这主要体现在证明问题的 第二步 中 因此这步骤称为归纳递推 第一步 n t 成立 在证明中起到奠基的作用 因此称为 归纳奠基 这种证明问题的方法就称为 数学 归纳法 问题8 有了这两步 就能证明命题对所有 自然数都成立吗 请大家先交流 然后尝试用自 己的语言解释 问题9 大家在生活中看到过多米诺骨牌游 戏吗 演示游戏过程 请同学们自己概括一下保 证多米诺骨牌游戏完成的条件是什么 你能否把 两者 多米诺骨牌游戏的条件与数学归纳法证明 问题的思想 做个比较呢 设计意图 引导学生联想多米诺骨牌等游戏 活动的条件 丰富学生对数学归纳法的表象 促进 理解 同时通过表格 让学生更明确相关的类比 在表格的设计中 我们用 证明 如果n k 时公式 正确 那么n k 1 时公式也正确 这个命题是真 命题 促进学生将蕴含过程压缩 使之不再是一 个过程 而是一个认知 反省的对象 4 3 数学归纳法的形成 问题1 0已知数列 口 口 1 口 1 7 Zl 厶 口 求口 下转第3 1 页 万方数据 2 0 1 1 年第5 0 卷第4 期数学通报 3 1 因点P a 6 在此圆的切线上 其到圆心距离 大于等于半径 故 口一r 2 6 一r 2 整理得 一2 a 6 r 口2 b 2 0 解得 r 口 6 2 口6 或r 口 6 一 2 n 6 根据内 旁 切圆的性质 知直角三角形的周长 L 与内切圆半径r 满足条件 L 2 口 2 6 2 2 口6 口 6 一佩 从证明过程可知 上述不等式取等号的充要条 件分别是旁切圆与内切圆与直线1 相切于点P 在对上述结果进行分析验证的过程中 笔者 开始也猜想 上述结论中 直角三角形的周长和内 切圆半径取最值时对应的是同一直线z 但经过 验证 却否定了这一猜想 获得上述结果后 又重新仔细阅读了文E 2 发现该文对上述内切圆半径的问题的相关结论却 是错误的 该文中 根据下图 作者认为 由极限 的思想 不难知道 如果口 6 那么当口一詈时 内 切圆的直径d 一口 但d 口 这说明d 没有最大 值 这种说法是错误的 实际上在本刊问题 1 8 4 5 和我们上面的证明中 已求出了内切圆半径 的最大值是口 6 一 2 口6 上述错误产生的根源在于作者用几何直观代 替了严格的数学证明 从上面我们获得的结果知 道 当口一鲁 内切圆的直径d n 是错误的 错误 厶 原因是上确界是很难从几何直观中看出 参考文献 1 罗增儒 数学解题学引论 陕西师范大学出版社 1 9 9 7 5 1 2 司志本 一类三角形中的最值问题 数学通报 2 0 1 0 2 5 3 5 5 上接第2 8 页 设计意图让学生采用合作交流的方式继续 体验 观察 归纳 猜想 证明的思维方 式 并尝试用数学归纳法证明 学生在数列学习 中已经掌握 1 2 3 n 丛罢掣 通过 厶 有限项的计算 归纳出猜想a n 2 承看矗 问题l l 从前面两个问题看 数学归纳法适 宜处理哪些问题 数学归纳法怎样证明命题 成立 4 4 巩固练习 问题1 2已知数列 s S l 1 S 1 s 2 n 一1 n N 请你猜想s 的一般规律 并 证明 4 5 思考与拓展 问题1 3 1 如果要证明命题P 托 n 3 行 N 成立 能否依据数学归纳法思想 你怎样 证明 2 如果要证明命题P 竹 行是正偶数 成 立 能否依据数学归纳法思想 你怎样证明 设计意图这里要探讨数学归纳法常规证明 题的两个变式问题 一方面可以检验学生对数学 归纳法核心思想是否掌握 所谓 万变不离其宗 促进学生对数学归纳法思想进行改造和重组 深 刻理解其思想实质 另一方面 可以提高课堂效 率 但是 问题在第一节课出现 学生还是有一定 困