三角函数与三角变换.doc

三角函数与三角变换高考要求这部分内容共有16个知识点考试内容：角的概念的推广弧度制任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan，tancot=1 正弦、余弦的诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、余割的定义掌握同角三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A，的物理意义（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形重点包括图象与性质、恒等变换、求值及解三角形试题特点一、试题分值及内容分布表卷型科别题号分值考点全国卷理8517图象与性质（图象变换）152余弦定理1710正弦定理、三角恒等变换文6520图象与性质（奇偶性）、周期95图象与性质（图象变换）1710解三角形全国卷理8515图象与性质（图象）1710解三角形文10515图象与性质（最大值）1710解三角形海南宁夏卷理1515图象与性质（图象）35解三角形75三角函数求值文11517图象与性质（最值）1712解三角形北京卷理13518图象与性质1513图象与性质、三角恒等变换、周期文9523三角函数定义145图象与性质1513图象与性质、三角恒等变换、周期天津卷理3517图象与性质（奇偶性）、周期1712三角函数求值文6517图象与性质（图象变换）1712图象与性质（最大值）、周期重庆卷理10518图象与性质（值域）1713解三角形文12518图象与性质（值域）1713解三角形四川卷理5522图象与性质105图象与性质（奇偶性）1712图象与性质（最值）文4522三角恒等变换（化简）75解三角形1712图象与性质（最值）山东卷理3524图象与性质（图象）55三角函数求值152解三角形1712图象与性质文3524图象与性质（图象）82解三角形105三角函数求值1712图象与性质广东理12518周期1613图象与性质、求值文5518图象与性质（奇偶性）、周期1613图象与性质、求值江苏卷文理合卷1519周期1514三角函数求值辽宁卷理16416图象与性质（最值）1712解三角形文16416图象与性质（最小值）1712解三角形福建卷理9522图象与性质（图象变换）105解三角形1712图象与性质（值域）文7517图象与性质（图象变换）1712图象与性质（值域）浙江卷理5514图象与性质（图象）85三角函数求值134解三角形文2518周期75图象与性质（图象）124三角函数求值144解三角形安徽卷理5517图象与性质（图象变换）1712图象与性质文5522解三角形85图象与性质（图象）1712图象与性质（值域）、周期江西卷理6517图象与性质（图象）1712解三角形文6522图象与性质（奇偶性）、周期105图象与性质（图象）1712图象与性质（最大值）、三角函数求值湖北卷理5522图象与性质（图象）125解三角形1612图象与性质（值域）文7522图象与性质（图象）125解三角形1612图象与性质（最值）、周期湖南卷理6511图象与性质（最大值）196解三角形文171212周期、三角函数求值上海卷理6417图象与性质（最大值）1713解三角形（实际问题）文171328解三角形（实际问题）1815图象与性质（最大值）陕西卷理171212图象与性质（奇偶性、最值）、周期文13416解三角形1712图象与性质（奇偶性、最值）、周期合 计9079521.5二、试题特点1总题数是90道，平均分值21.5，主要是“一大一小”或“一大两小”，解答题位置比较靠前，难度不大。2考查的重点是性质、解三角形、图象、周期、求值等，如小表：内容三角函数性质三角函数图象三角变换周期解三角形求值定义次数3418415251113对三角变换的考查要求有所降低，而对三角函数的图象与性质（主要是奇偶性、最值与周期）的考查上有所加强，另外就是加大了对三角形有关问题的考查力度命题展望1保持稳定，突出重点；2注重基础，加强联系备考建议一、立足课本、夯实基础1重视三角函数的定义【例1】(2008北京文第9题)若角a的终边经过点P(1,-2),则tan 2a的值为.【例2】(2008天津理第9题) 已知函数f(x)是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则xyOMPTA(A) bac (B)cba (C) bca (D)abc 分析：由三角函数线可知：,且因为函数f(x) 在区间上是增函数，所以 又函数f(x)是R上的偶函数，故2熟记有关三角函数公式，包括公式的“正用、反用及变形”【例1】设a=sin84-cos84,b=,c=，则A. abcB.bacC.cbaD.ac0)在区间0，2的图像如下：那么=（ ）A. 1B. 2C. D. 答案：B（2008年全国卷理第8题）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M,N两点，则|MN|的最大值为A1BCD2答案：B（2008年浙江理第5题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4答案：B。=作出原函数图像，截取部分，其与直线的交点个数是2个.（2008年江西卷理第6题）函数在区间内的图象是 答案：D。（2008年山东理第3题）函数ylncosx(-x）的图象是答案：A4会熟练利用“五点作图法”作函数的图象(2003年全国新课程卷第17题)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)（）求函数f(x)的最小正周期和最大值；（）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间上的图象解：f(x)=2sinx(sinx+cosx)= 2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin(2x-)+1.x,2x-,x2x-0y211-11+2x2o1Oy21+1-二、全面复习，重点突出近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查1熟悉函数y=sin (x+)+k的图象与性质（2008年北京理第15题）已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围解：（）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因为，所以，所以，因此，即的取值范围为这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式2三角形中的有关问题（2008年江西卷理第17题）在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,，2sinBcosC=sinA，求A,B及b,c解：由得， ，又，由得 ，即， ，由正弦定理得：（2008年全国卷理第17题）在ABC中， （）求sinA的值；（）设ABC的面积，求BC的长（）由，得，由，得所以 （）由得，由（）知，故，又，故，所以（2008年重庆理第17题）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（）的值；（）cotB+cot C的值.解：（）由余弦定理得故（）解法一：由正弦定理和（）的结论得故解法二：由余弦定理及（）的结论有故同理可得从而三、突出思想、注重综合1三角函数图象与性质的综合（2008年山东理第17题）已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）求f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（）f(x)2sin(-)因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因为0，且xR,所以cos（-）0.又因为0，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由题意得故f(x)=2cos2x.因为（）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象. 当2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为(kZ)2三角与向量的综合（2008山东理第15题）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B .解：，从而B（2008年福建卷理第17题）已知向量m=(sinA,cosA),n=，mn1，且A为锐角.（）求角A的大小；（）求函数的值域.解：（）由题意得由A为锐角得（）由（）知所以因为xR，所以，因此，当时，f(x)有最大值.当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是.3三角函数与导数（2005年全国卷理第17题）设函数图像的一条对称轴是直线。（）求；（）求函数的单调增区间；（）证明直线与函数的图像不相切。（）解：w=-.()函数y=sin(2x-)的单调增区间为k+, k+,kZ.()证明：|y|=|（sin(2x-)|=|2cos(2x-)|2,所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围Z为-2,2.而直线5x-2y+c=0的斜率为2, 所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-)的图像不相切。（2007年全国卷理第12题）函数的一个单调增区间是（ ）ABCD分析：函数=，从复合函数的角度看，原函数看作，对于，当时，为减函数，当时，为增函数，当时，减函数，且， 原函数此时是单调增函数，选A。解：，所以。经过检验可知：当时，f/(x)0，所以f(x)的一个单调增区间是，选A。四、培养能力、加强应用（2008年湖南卷理第19题）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改