高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件 理.ppt

第十节变化率与导数 导数的计算 知识梳理 1 导数的概念 1 函数y f x 在x x0处导数的定义称函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 为函数y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或即f x0 2 导数的几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点p x0 y0 处的 瞬时速度就是位移函数s t 对时间t的导数 相应地 切线方程为 切线的斜率 y y0 f x0 x x0 3 函数f x 的导函数称函数f x 为f x 的导函数 2 基本初等函数的导数公式 0 x 1 cosx sinx axlna ex 3 导数的运算法则 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x f x g x f x g x 4 复合函数的导数复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为yx yu ux 特别提醒 1 函数在点p处的切线与过点p的切线的区别曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线是以点p x0 y0 为切点 以f x0 为斜率的直线 而曲线y f x 过点p x0 y0 的切线 点p x0 y0 不一定是切点 2 f x 的符号及大小的意义函数y f x 的导数f x 反映了函数f x 的瞬时变化趋势 其正负号反映了变化的方向 其大小 f x 反映了变化的快慢 f x 越大 曲线在这点处的切线越 陡 小题快练 链接教材练一练1 选修2 2p18习题1 2a组t5改编 已知f x xlnx 若f x0 2 则x0等于 a e2b ec d ln2 解析 选b f x 的定义域为 0 f x lnx 1 由f x0 2 即lnx0 1 2 解得x0 e 2 选修2 2p19习题1 2b组t2改编 若曲线y ax2 lnx在点 1 a 处的切线平行于x轴 则a 解析 令f x y ax2 lnx 得f x 2ax 所以f 1 2a 1 0 得a 答案 感悟考题试一试3 2016 开封模拟 曲线y sinx ex在点 0 1 处的切线方程是 a x 3y 3 0b x 2y 2 0c 2x y 1 0d 3x y 1 0 解析 选c y cosx ex 故切线斜率为k 2 切线方程为y 2x 1 即2x y 1 0 4 2015 天津高考 已知函数f x axlnx x 0 其中a为实数 f x 为f x 的导函数 若f 1 3 则a的值为 解析 因为f x a 1 lnx 所以f 1 a 3 答案 3 5 2015 全国卷 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 解析 y 1 则曲线y x lnx在点 1 1 处的切线斜率为k y 1 1 2 故切线方程为y 2x 1 因为y 2x 1与曲线y ax2 a 2 x 1相切 联立得ax2 ax 2 0 显然a 0 所以由 a2 8a 0 a 8 答案 8 考向一导数的计算 典例1 求下列函数的导数 1 y lnx 2 y 2x2 1 3x 1 3 y x sincos 4 y 5 y ln 2 3x 解题导引 1 直接求导 2 3 化简后再求导 4 利用商的导数运算法则求解 5 利用复合函数的求导法则求解 规范解答 1 y 2 因为y 2x2 1 3x 1 6x3 2x2 3x 1 所以y 6x3 2x2 3x 1 6x3 2x2 3x 1 18x2 4x 3 一题多解 解答本题 还有以下方法 y 2x2 1 3x 1 2x2 1 3x 1 4x 3x 1 3 2x2 1 12x2 4x 6x2 3 18x2 4x 3 3 因为y x sincos x sinx 所以 x 1 cosx 4 y 5 设y lnu 则y ln 2 3x 是由y lnu与u 2 3x复合而成 所以y x y u u x lnu 2 3x 规律方法 导数计算的原则和方法 1 原则 先化简解析式 使之变成能用八个求导公式求导的函数的和 差 积 商 再求导 2 方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式 再求导 分式形式 观察函数的结构特征 先化为整式函数或较为简单的分式函数 再求导 对数形式 先化为和 差的形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式 再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 再求导 复合函数 由外向内 层层求导 变式训练 求下列函数的导数 1 y x 1 x 2 x 3 2 y x2 2x 1 e2 x 3 y 解析 1 y x2 3x 2 x 3 x3 6x2 11x 6 所以y 3x2 12x 11 2 y x2 2x 1 e2 x x2 2x 1 e2 x 2x 2 e2 x x2 2x 1 e2 x 3 x2 e2 x 加固训练 求下列函数的导数 1 y exlnx 解析 1 y exlnx ex 2 因为 3 因为 4 因为 考向二导数几何意义的应用 典例2 1 2014 全国卷 设曲线y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为y 2x 则a a 0b 1c 2d 3 本题源自a版选修2 2p18习题1 2a组t6 2 2014 江西高考 若曲线y xlnx上点p处的切线平行于直线2x y 1 0 则点p的坐标是 解题导引 1 解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求解 2 由于在点p处的切线平行于直线2x y 1 0 则在点p处的切线斜率为2 规范解答 1 选d 令f x y ax ln x 1 所以f x a 所以f 0 0 且f 0 2 解得a 3 2 设切点p的坐标为 x0 y0 因为y lnx 1 所以切线的斜率为k lnx0 1 由题意知k 2 得x0 e 代入曲线方程得y0 e 故点p的坐标是 e e 答案 e e 母题变式 1 在本例 2 中 若曲线y xlnx上点p处的切线与直线x y 1 0垂直 则该切线的方程为 解析 设切点为 x0 y0 因为y lnx 1 由题意 得lnx0 1 1 所以lnx0 0 x0 1 即点p 1 0 所以切线方程为y x 1 即x y 1 0 答案 x y 1 0 2 试求本例 2 中曲线上与直线y x平行的切线方程 解析 设切点为 x0 y0 因为y lnx 1 所以切线的斜率为k lnx0 1 由题意知k 1 得故所求的切线方程为即 e2x e2y 1 0 规律方法 1 与切线有关问题的处理策略 1 已知切点a x0 y0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点a x1 f x1 即解方程f x1 k 3 求过某点m x1 y1 的切线方程时 需设出切点a x0 f x0 则切线方程为y f x0 f x0 x x0 再把点m x1 y1 代入切线方程 求x0 2 根据导数的几何意义求参数的值的思路一般是利用切点p x0 y0 既在曲线上又在切线上构造方程组求解 变式训练 1 2016 大同模拟 曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线方程为 a y 3x 1b y 3x 1c y 3x 1d y 2x 1 解析 选a 由题意得y x 1 ex 2 则曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线的斜率为 0 1 e0 2 3 故曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线方程为y 1 3x 即y 3x 1 2 2016 郑州模拟 已知曲线y 3lnx的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 a 3b 2c 1d 解析 选b 因为所以再由导数的几何意义 有解得x 2或x 3 舍去 加固训练 1 2016 咸阳模拟 直线y x b与曲线y x lnx相切 则b的值为 a 2b 1c d 1 解析 选b 设切点坐标为 x0 y0 则得x0 1 切点坐标为又切点在直线y x b上 故得b 1 2 201