2014-2015年选修2-1-3课时提升作业(二十三) 3.1.4.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十三)空间向量的正交分解及其坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知a,b,c是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是() xKb 1 .Com A.aB.bC.a+2bD.a+2c【解析】选D.能与p,q构成基底,则与p,q不共面.因为a=p+q2,b=p-q2,a+2b=32p-12q,所以A,B,C都不合题意.因为a,b,c为基底,所以a+2c与p,q不共面,可构成基底.2.(2014济宁高二检测)设O-ABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1.若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23【解析】选A.因为OG=34OG1=34(OA+AG1)=34OA+342312(AB+AC)=34OA+14(OB-OA)+(OC-OA)=14OA+14OB+14OC,而OG=xOA+yOB+zOC,所以x=14,y=14,z=14.3.(2014成都高二检测)若向量MA,MB,MC的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量MA,MB,MC成为空间一个基底的关系是()A.OM=13OA+13OB+13OCB.MA=MB+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC【解析】选C.对于选项A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)M,A,B,C四点共面知,MA,MB,MC共面;对于B,D选项,易知MA,MB,MC共面,故只有选项C中MA,MB,MC不共面.4.(2014兰州高二检测)已知点A在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底i,j,k下的坐标为()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)【解析】选A.8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,所以点A在基底i,j,k下的坐标为(12,14,10).5.(2014西安高二检测)已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN为()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12c【解析】选C.如图所示,连接ON,AN,则ON=12(OB+OC)=12(b+c),新 课 标 第 一 网AN=12(AC+AB)=12(OC-2OA+OB)=12(-2a+b+c)X K B 1.C O M=-a+12b+12c,所以MN=12(ON+AN)=-12a+12b+12c.【变式训练】如图所示,空间四边形OABC中,G是ABC的重心,D为BC的中点,H为OD的中点.设OA=a,OB=b,OC=c,试用向量a,b,c表示向量GH.【解析】GH=OH-OG.因为OH=12OD=12(OB+OC)=12(b+c),OG=OA+AG=OA+23AD=OA+23(OD-OA)=13OA+2312(OB+OC)=13a+13(b+c),所以GH=12(b+c)-13a-13(b+c)=-13a+16b+16c,即GH=-13a+16b+16c.6.已知e1,e2,e3为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3, d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,则,分别为()A.52,-1,-12B.1,2,3C.1,1,1D.1,-1,1【解析】选A.因为d=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)e1+(+-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3,所以+=1,+-=2,-+=3,解得=52,=-1,=-12.【拓展延伸】用基底表示向量的三个关注点(1)若a,b,c不共面,则对空间任一向量p=xa+yb+zc,(x,y,z)是惟一的.(2)用基底表示向量,可从要表示的向量入手,运用向量线性运算的法则,结合图形逐步向基向量转化.(3)求a在单位正交基底下的坐标,关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系,将a表示为a=xe1+ye2+ze3.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014南昌高二检测)设i,j,k是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别是.【解析】a的坐标为(2,-4,5),b的坐标为(1,2,-3).答案:(2,-4,5),(1,2,-3)8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用AC,AB1,AD1作为基向量,则AC1=.【解析】2AC1=2AA1+2AD+2AB=(AA1+AD)+(AA1+AB)+(AD+AB)=AD1+AB1+AC,所以AC1=12(AD1+AB1+AC).答案:12(AD1+AB1+AC)9.(2014长春高二检测)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记AB=a,AC=b,AA1=c,则DE=(用a,b,c表示).【解析】DE=DA1+A1E=12AA1+12(A1B1+A1C)=12AA1+12(AB+AC-AA1)=12c+12(a+b-c)=12a+12b.答案:12a+12b【一题多解】在三角形B1DC中,因为E为B1C的中点,利用平行四边形法则有DE=12(DB1+DC),DB1=DA1+A1B1=12AA1+A1B1=12AA1+AB=12c+a,DC=DA+AC=12A1A+AC=-12c+b.所以三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014安庆高二检测)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O,分别以射线OB,OC,AA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体顶点A1,B1,C1,D1的坐标.【解析】设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.因为底面正方形的中心为O,边长为2,所以OB=2.由于点B在x轴的正半轴上,所以OB=2i,即点B的坐标为(2,0,0).同理可得C(0,2,0),D(-2,0,0),A(0,-2,0).又OB1=OB+BB1=2i+2k,所以OB1=(2,0,2).即点B1的坐标为(2,0,2).同理可得C1(0,2,2),D1(-2,0,2),A1(0,-2,2).11.如图所示,在平行六面体ABCD-ABCD中,AB=a,AD=b,AA=c,P是CA的中点,M是CD的中点,N是CD的中点,点Q在CA上,且CQQA=41,用基底a,b,c表示以下向量:(1)AP.(2)AM.(3)AN.(4)AQ.【解题指南】利用空间图形中的平面图形如三角形、平行四边形建立目标向量与已知向量间的关系.【解析】连接AC,AD.(1)AP=12(AC+AA)=12(AB+AD+AA)=12(a+b+c).x k b 1 . c o m(2)AM=12(AC+AD)=12(AB+2AD+AA)=12(a+2b+c).(3)AN=12(AC+AD)=12(AB+AD+AA)+(AD+AA)=12(AB+2AD+2AA)=12a+b+c.(4)AQ=AC+CQ=AC+45(AA-AC)=15AC+45AA=15AB+15AD+45AA=15a+15b+45c.【变式训练】(2014牡丹江高二检测)如图,已知正方体ABCD-ABCD,点E是上底面ABCD的中心,分别取向量AB,AD,AA为基向量,若(1)BD=xAD+yAB+zAA,试确定x,y,z的值.(2)AE=xAD+yAB+zAA,试确定x,y,z的值.【解析】(1)因为BD=BD+DD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA,又BD=xAD+yAB+zAA,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE=AA+AE=AA+12AC=AA+12(AB+AD)=AA+12AB+12AD=12AD+12AB+AA,又AE=xAD+yAB+zAA,所以x=12,y=12,z=1.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014南宁高二检测)有以下命题:如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;O,A,B,C为空间四点,且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底,则点O,A,B,C一定共面;已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是()A.B.C.D.【解析】选C.如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是共线的;如果a,b有一个向量为零向量,共线但不能构成空间向量的一组基底,所以不正确.O,A,B,C为空间四点,且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面,这是正确的.已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底;因为三个向量非零且不共线,正确.故选C.2.(2014广州高二检测)在三棱锥S-ABC中,G为ABC的重心,则有()A.SG=12(SA+SB+SC)B.SG=13(SA+SB+SC)C.SG=14(SA+SB+SC)D.SG=SA+SB+SC【解析】选B.SG=SA+AG=SA+13(AB+AC)=SA+13(SB-SA)+13(SC-SA) =13(SA+SB+SC).3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若AB=a,AA1=c,BC=b,则下列向量与BM相等的是() 新|课 |标 |第 | 一| 网A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c【解析】选A.BM=BB1+B1M=AA1+12(B1A1+B1C1)=AA1+12(BA+BC)=12(-a+b)+c=-12a+12b+c.4.(2014泰安高二检测)已知向量a,b,c是空间的一基底,向量a+b,a-b,c是空间的另一基底,一向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为()A.12,32,3B.32,-12,3C.3,-12,32D.-12,32,3【解析】选B.设p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,故p在基底a+b,a-b,c下的坐标为32,-12,3.【举一反三】若把题目中的“基底a,b,c”与“基底a+b,a-b,c”互换,结果如何? http:/ww w.xkb1. com【解析】设p在基底a,b,c下的坐标为(x,y,z),由向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(1,2,3),得p=(a+b)+2(a-b)+3c=3a-b+3c=xa+yb+zc,所以x=3,y=-1,z=3,故p在基底a,b,c下的坐标为(3,-1,3).二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014福州高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若AC1=xAB+2yBC+3zC1C,则x+y+z=.【解析】如图所示,有AC1=AB+BC+CC1=AB+BC+(-1)C1C.又因为AC1=xAB+2yBC+3zC1C,所以x=1,2y=1,3z=-1,解得x=1,y=12,z=-13.w w w .x k b 1.c o m所以x+y+z=1+12-13=76.新 课 标 第 一 网答案:766.设a,b,c是三个不共面的向量,现从a+b;a-b;a+c;b+c;a+b-c中选出一个,使其与a,b构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量有 .【解题指南】判断a,b,c可否作为空间的一个基底,即判断a,b,c是否共面,若不共面则可以作为基底,否则不能作为基底,实际判断时,假设a=b+c,运用空间向量基本定理建立,的方程组,若有解则共面,否则不共面.【解析】a+b,a-b均与a,b共面.事实上以a,b为邻边作平行四边形OACB,令OA=a,OB=b,OC=a+b,BA=a-b,而共面向量不可以作为空间向量的基底.x k b 1 . c o m答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EFA1D,EFAC,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).(1)试求向量EF的坐标.(2)求证:EFBD1.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量EF,BD1,从而使问题得解.【解析】(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,根据题意知DA,DC,DD1为单位正交基底,设DA=i,DC=j,DD1=k,所以向量EF可用单位正交基底i,j,k表示,因为EF=ED+DC+CF,ED与DA1共线,CF与CA共线,