高考数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用课件 理 新人教B版.ppt

3 2导数的应用 高考理数 1 函数的单调性对于在 a b 内可导的函数f x 若f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 则f x 0 x a b f x 在 a b 上为增函数 f x 0 x a b f x 在 a b 上为减函数 2 函数的极值 1 设函数y f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 则f x0 是函数y f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 2 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在x x0处连续时 a 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 知识清单 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 先求f x 在 a b 内的极值 再将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 知识拓展 1 在确定函数的单调区间 求函数的极大 小 值时 都应首先考虑所给函数的定义域 函数的单调区间应是其定义域的子集 2 当求出函数的单调区间 如单调增区间 有多个时 不能把这些区间取并集 3 f x 0 或f x 0 在某一区间上成立是f x 在该区间上为增函数 或减函数 的充分不必要条件 4 极值点不一定是最值点 最值点也不一定是极值点 但如果连续函数在开区间 a b 内只有一个极值点 则极大值就是最大值 极小值就是最小值 5 在求可导函数的最值时 不必讨论导数为零的点是否为极值点 直接将导数为零的点与端点的函数值进行比较即可 6 对于一般函数而言 函数的最值必在下列各点中取得 导数为零的点 导数不存在的点 端点 1 利用导数的符号判断函数的增减性函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 2 求可导函数单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求出f x 令f x 0 解此方程 求出它在定义域内的所有实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义域分成若干个小区间 4 确定f x 在各个小区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小区间内的增减性 3 在研究含有参变量的函数f x 的单调性时 既要对方程f x 0的根是否在函数f x 的定义域内 突破方法 方法1利用导数研究函数的单调性 进行讨论 还要对方程f x 0的根与函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的大小进行讨论 4 已知函数单调性 逆向求参问题的转化方法 1 若函数y f x 在区间 m n 上单调递增 f x 0在 m n 上恒成立 即求f x min 2 若函数y f x 在区间 m n 上存在递增区间 x0 m n 使f x0 0成立 即求f x max 3 若函数y f x 在区间 m n 上不单调 导函数y f x 在 m n 上有零点 例1 2013天津 20 14分 已知函数f x x2lnx 1 求函数f x 的单调区间 2 证明 对任意的t 0 存在唯一的s 使t f s 3 设 2 中所确定的s关于t的函数为s g t 证明 当t e2时 有 解析 1 函数f x 的定义域为 0 f x 2xlnx x x 2lnx 1 令f x 0 得x 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以函数f x 的单调递减区间是 单调递增区间是 2 证明 当00 故存在唯一的s 1 使得t f s 成立 3 证明 因为s g t 由 2 知 t f s 且s 1 从而 其中u lns 要使e2时 若s g t e 则由f s 的单调性 有t f s f e e2 矛盾 所以s e 即u 1 从而lnu 0成立 另一方面 令f u lnu u 1 f u 令f u 0 得u 2 当10 当u 2时 f u 1 f u f 2 e2时 有0 f x x2 x 2a 2a f x 在区间上单调递减 只需f 0即可 由f 2a 0 解得a 所以 a的取值范围是a 2 由 1 知f x x2 x 2a 令f x 0 得x1 x2 所以f x 在 x1 x2 上单 调递减 在 x1 x2 上单调递增 当0 a 2时 有x1 1 x2 4 所以f x 在 1 4 上的最大值为f x2 又f 4 f 1 6a 0 即f 4 f 1 所以f x 在 1 4 上的最小值为f 4 8a 得a 1 所以x2 2 从而f x 在 1 4 上的最大值为f 2 1 利用导数研究函数的极值的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求f x 3 若求极值 则先求方程f x 0的全部实根 再检验f x 在方程根的左右侧值的符号 求出极值 当根中有参数时要注意讨论根是否在定义域内 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0的根的大小或存在情况 从而求解 2 求连续函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 3 已知函数极值的条件 逆向求参问题的转化方法 1 若x0为y f x 的极值点 则f x0 0 注意检验 2 若y f x 在区间 m n 上存在极值点x1 x2 xn 方程f x 0存在根x1 x2 xn 注意适用范围 方法2利用导数研究函数的极值和最值 例2 2013福建 17 13分 已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析函数f x 的定义域为 0 f x 1 1 当a 2时 f x x 2lnx f x 1 x 0 因而f 1 1 f 1 1 所以曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 2 由f x 1 x 0知 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 2 1 2015山东 21 14分 设函数f x ln x 1 a x2 x 其中a r 1 讨论函数f x 极值点的个数 并说明理由 2 若 x 0 f x 0成立 求a的取值范围 解析 1 由题意知函数f x 的定义域为 1 f x a 2x 1 令g x 2ax2 ax a 1 x 1 当a 0时 g x 1 此时f x 0 函数f x 在 1 单调递增 无极值点 当a 0时 a2 8a 1 a a 9a 8 a 当0时 0 设方程2ax2 ax a 1 0的两根为x1 x2 x1 x2 因为x1 x2 所以x1 由g 1 1 0 可得 10 f x 0 函数f x 单调递增 当x x1 x2 时 g x 0 f x 0 函数f x 单调递增 因此函数有两个极值点 当a0 由g 1 1 0 可得x10 f x 0 函数f x 单调递增 当x x2 时 g x 0 f x 0 函数f x 单调递减 所以函数有一个极值点 综上所述 当a 0时 函数f x 有一个极值点 当0 a 时 函数f x 无极值点 当a 时 函数f x 有两个极值点 2 由 1 知 当0 a 时 函数f x 在 0 上单调递增 因为f 0 0 所以x 0 时 f x 0 符合题意 当0 符合题意 当a 1时 由g 0 0 所以x 0 x2 时 函数f x 单调递减 因为f 0 0 所以x 0 x2 时 f x 0 所以h x 在 0 上单调递增 因此当x 0 时 h x h 0 0 即ln x 1 1 时 ax2 1 a x 0 此时f x 0 不合题意 综上所述 a的取值范围是 0 1 导数作为一种研究数学知识的工具 在求单调性 最值 切线等方面发挥着独特的作用 巧妙地构造函数 通过研究函数的单调性能解决一些不等式的证明和函数零点问题 利用导数证明不等式的方法 1 作差 构造函数 x 2 利用导数求函数 x 的单调区间 3 判断定义域内 x 与0的大小关系 证明不等式 利用导数研究函数零点的方法 方法一 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 根据函数f x 的性质作出其图象 3 判断函数零点的个数 方法二 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 分类讨论 判断函数零点的个数 例3 2013课标全国 21 12分 已知函数f x ex ln x m 方法3利用导数研究函数零点 证明不等式 1 设x 0是f x 的极值点 求m 并讨论f x 的单调性 2 当m 2时 证明f x 0 解析 1 f x ex 由x 0是f x 的极值点得f 0 0 所以m 1 于是f x ex ln x 1 定义域为 1 f x ex 函数f x ex 在 1 上单调递增 且f 0 0 因此当x 1 0 时 f x 0 所以f x 在 1 0 上单调递减 在 0 上单调递增 2 当m 2 x m 时 ln x m ln x 2 故只需证明当m 2时 f x 0 当m 2时 函数f x ex 在 2 上单调递增 又f 1 0 故f x 0在 2 上有唯一实根x0 且x0 1 0 当x 2 x0 时 f x 0 从而当x x0时 f x 取得最小值 由f x0 0得 ln x0 2 x0 故f x f x0 x0 0 综上 当m 2时 f x 0 3 1设函数f x x2 ax e x a r e为自然对数的底数 1 求证 f x 在r上不是单调函数 2 若f x 2在 0 1 内有解 求a的取值范围 解析 1 证明 f x x2 a 2 x a e x 若f x 0恒成立 则x2 a 2 x a 0恒成立 因为 a 2 2 4a a2 4 0 所以x2 a 2 x a 0恒成立是不可能的 若f x 0恒成立 则x2 a 2 x a 0恒成立 因为 a 2 2 4a a2 4 0 所以x2 a 2 x a 0恒成立是不可能的 所以f x 在r上不是单调函数 2 f x 2在 0 1 内有解 则g x x2 ax 2ex在 0 1 内有零点 易知g x 2x a 2ex 当0 x 1时 g x 2 2ex 0 所以g x 在 0 1 上单调递减 所以2 a 2e g x a 2 0 x 1 当a 2时 g x 0 00 a 2e 1 当20 所以存在x0 0 1 使g x0 0 所以g x 在 0 x0 上单调递增 在 x0 1 上单调递减 因为g x0 0 所以2x0 a 2 当00 所以g x0 2e 1 1 解答不等式恒成立 任意性和存在性等问题的方法 1 先分离参数 再转化为函数的最值问题 2 先转化为函数最值问题 再分类讨论 2 求相关参数的取值范围等问题 常常需要构造函数 并注意下列语句的等价转化 x m n f x c成立 x m n 时 f x min c x m n f x g x 成立 x m n 时 f x g x min 0 x1 x2 m n f x1 g x2 成立 x m n 时 f x min g x max x1 m n x2 m n f x1 g x2 成立 x m n 时 f x min g x min 例4 2015四川德阳二诊 21 14分 已知函数f x xlnx x x2 ax3 f x 为函数f x 的导函数 1 若f x f x b 函数f x 在x 1处的切线方程为2x y 1 0 求a b的值 2 若f x x ax恒成立 求实数a的取值范围 3 若曲线y f x 上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线 求实数a的取值范围 方法4利用导数研究任意性 存在性以及参数的取值问题 解析 1 f x f x b xlnx x x2 ax3 b f x lnx x ax2 易知切点为 1 1 切线的斜率为 2 解得 2 f x lnx x ax2 f x x ax恒成立 a x 0 恒成立 令g x 则a g x max g x 令g x x 1 lnx x 0 易知g x 在 0 上单调递增 且g 1 0 当x 0 1 时 g x 0 当x 1 时 g x 0 g x 0 h x 0 h x 在 0 上单调递增 不适合题意 舍去 当a 0时 1 8a 0 设方程u x 0的两根分别为x1 x2 x1x2 0 当x x2 时 h x 0 h x 在x 0 x2 上单调递增 在x x2 上单调递减 得到 由 可得a 将其代入 整理可得2lnx2 x2 1 0 函数v x 2lnx x 1在 0 上单调递增 v 1 0 x2 1 由 可得2a 0m 且nm 0时 若函数f x g x 在区间 m n 上都是单调函数 且单调性相反 求n m的最大值 解析 1 f x x3 nx2 n 6 x 则f x 3x2 2nx n 6 由 0得n