小肖的直线方程.doc

直线方程的几种形式学法关键1直线是点的集合，求直线方程实际上是求直线上点的坐标之间满足的一个等量关系；2求直线方程的过程中，既要说明直线上的点的坐标满足方程，也要说明以方程的解为坐标的点在直线上，只有满足了这两点，我们才可以说这个方程是直线的方程或直线是这个方程的直线；知识点1直线的点斜式方程1点斜式方程 设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为yy0=k(xx0)，由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l的倾斜角=90时，斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线l上每个点的横坐标都等于x0，所以此时的方程为x=x0.（2）当直线l的倾斜角=0时，k=0，此时直线l的方程为y=y0，即yy0=0.（3）当直线l的倾斜角不为0或90时，可以直接代入方程求解.直线点斜式方程的理解1由于点斜式方程是由斜率公式推出的，因此 表示的直线上缺少一个点P(x0，y0)，yy0=k(xx0)才是整条直线；2经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：斜率存在时，直线方程yy0=k(xx0)；斜率不存在时，直线方程为x=x0.3直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4从函数的角度来看，当斜率k存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k不存在时，直线方程为x=x0，它不是函数解析式。题型1直线的点斜式方程例1一条直线经过点M(2，3)，倾斜角=135，求这条直线的方程。例2求斜率为，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点M(，1)；（2）在x轴上的截距是5.2斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b)且斜率为k，则直线的点斜式方程为y=kx+ b 其中k为斜率，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x=2在y轴上就没有截距，即只有不与y轴平行的直线在y轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的函数，当k=0时，该函数为常量函数.x=b；当k0时，该函数为一次函数，且当k0时，函数单调递增，当k0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.题型2直线的斜截式方程例3若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（ ）（A）A、B、C同号 （B）AC0，BC0 （C）C=0，AB0 （D）A=0，BC0例4直线y=ax+b (a+b=0)的图象是（ ）知识点2直线的两点式方程若直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1x2)，则直线l的方程为，这种形式的方程叫做直线的两点式方程.两点式方程的理解：（1）当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时，不能用两点式的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x2x1)(yy1)= (y2y1)(xx1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A(1，2)，B(1，3)的直线方程可以求得x=1，过两点A(1，3)，B(2，3)的直线方程可以求得y=3.（3）需要特别注意整式(x2x1)(yy1)= (y2y1)(xx1)与两点式方程的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。题型3 直线的两点式方程例5写出过下列两点的直线方程，再化成斜截式方程. （1）P1(2，1)，P2(0，3)；（2）P1(2，0)，P2(0，3)。例6 三角形的顶点是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.知识点3直线的截距式方程若直线l在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b，且a0，b0，则直线l的方程为，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：（1）方程的条件限制为a0，b0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；（2）用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；（3）要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，但不可为零。截距式方程的应用 （1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a|+|b|+；（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S= ；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k=1或直线过原点，常设此方程为x+y=a或y=kx.题型4直线的截距式方程例7已知直线的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程。例8过点A(1，4)且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4知识点4直线方程的一般形式方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做直线的一般式方程.直线的一般式方程的理解1两个独立的条件可求直线方程：求直线方程，表面上需求A、B、C三个系数，由于A、B不同时为零，若A0，则方程化为，只需确定的值；若B0，同理只需确定两个数值即可；因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；2直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。3在一般式Ax+By+C=0（A、B不全为零）中，若A=0，则y=，它表示一条与y轴垂直的直线；若B=0，则，它表示一条与x轴垂直的直线.题型5直线的一般式方程例9已知直线经过点A(6，4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.例10把直线l的方程x2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.知识点5直线方程的选择（1）待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法，但要注意选择形式，一般地已知一点，可以待定斜率k，但要注意讨论斜率k不存在的情形，如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等；（2）直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵活选用恰当的直线形式求直线方程。请参看下表：直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线已知一个定点和斜率k 已知一点，可设点斜式方程斜截式不能表示与x轴垂直的直线已知在y轴上的截距 已知斜率，可设斜截式方程两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线已知两个定点已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y 轴垂直、过原点的的直线已知两个截距已知直线与坐标轴围成三角形的面积问题可设截距式方程一般式能表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程例11已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2，3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程.例12过点P(1，2)作直线l，交x，y轴的正半轴于A、B两点，求使OAB面积取得最小值时直线l的方程.【教考动向演练】1下列说法中不正确的是（）（A）点斜式yy0=k(xx0)适用于不垂直于x轴的任何直线 （B）斜截式y=kx+b适用于不垂直x轴的任何直线 （C）两点式适用于不垂直于坐标轴的任何直线 （D）截距式适用于不过原点的任何直线2直线3x2y=4的截距式方程为（ ） （A） （B） （C） （D）3过点(3，4)且平行于x轴的直线方程是 ；过点(5，2)且平行于y轴的直线方程是