08级-研-矩阵论试题与答案.doc

一 一 15 分 分 计算 1 已知可逆 求 用矩阵或其逆矩阵表示 A 1 0 d At et A 2 设是给定的常向量 是矩阵变量 求 1234 Ta a a a 42 ij xX T d d X X 3 设 3 阶方阵的特征多项式为 且可对角化 求 A 2 6 IA A k k A A lim 二 二 15 分 分 设微分方程组 0 d d 0 x Ax t xx 508 316 203 A 0 1 1 1 x 1 求的最小多项式 3 求 3 求该方程组的解 A A m At e 三 三 15 分 分 对下面矛盾方程组bAx 3 123 12 1 1 1 x xxx xx 1 求的满秩分解 2 由满秩分解计算 AFGA A 3 求该方程组的最小 2 范数最小二乘解 LS x 四 四 10 分 分 设 11 2 13 A 求矩阵的 QR 分解 要求的对角元全为正数 方法不限 AR 五 五 10 分 分 设 0 2 Tn ARn 1 证明的最小多项式是 2 求的 Jordan 形 需要讨论 A 2 tr mA A 六 六 10 分 分 设 m n r AR 1 1 证明 2 的通解是 rank n IA Anr 0Ax n n xIA A yyR 七 七 10 分 分 证明矩阵 21 21 21 23 111 2 222 222 4 333 333 6 444 2 1 1 1 n n n nnn n nnn A 1 能与对角矩阵相似 2 特征值全为实数 八 八 15 分 分 设是可逆矩阵 这里矩阵范数都是算子范数 A 1 1 BA A 如果 证明 1 是可逆矩阵 2 3 B 1 1 B 11 BA 一 一 15 分 分 计算 1 已知可逆 求 用矩阵或其逆矩阵表示 A 1 0 d At et A 2 设是给定的常向量 是矩阵变量 求 1234 Ta a a a 42 ij xX T d d X X 3 设 3 阶方阵的特征多项式为 且可对角化 求 A 2 6 IA A k k A A lim 解 1 11 1 00 At At de e dtAdt dt 1 A AeI 2 2 由 得 4 1 2 4 1 1 j jj j jj ax ax X 4 1 2 4 1 1 j jj j jj T axaxX 24232221 14131211 x X x X x X x X x X x X x X x X dX Xd TTTT TTTT T 4321 4321 0000 0000 aaaa aaaa 3 的特征根为 由于可对角化 即存在可逆矩阵 使A 123 6 0 6A AC 从而 故 1 6 0 0 ACC 1 1 0 0 A CC A 11 11 1 limlim00 6 00 k k kk A CCCCA A 二 二 15 分 分 设微分方程组 0 d d 0 x Ax t xx 508 316 203 A 0 1 1 1 x 1 求的最小多项式 3 求 3 求该方程组的解 A A m At e 解 1 3 1 IA 2 1 A m 2 1 t rabe tt 1408 316 201 4 Att tt er Aett tt 3 3 0 1 12 1 9 1 6 Att t x te xet t 三 三 15 分 分 对下面矛盾方程组bAx 3 123 12 1 1 1 x xxx xx 1 求的满秩分解 2 由满秩分解计算 AFGA A 3 求该方程组的最小 2 范数最小二乘解 LS x 解 1 不唯一 00101 110 11111 001 11010 AFG 2 112 1 112 6 422 A 3 1 1 1 3 2 LS xA b 四 四 10 分 分 设 11 2 13 A 求矩阵的 QR 分解 要求的对角元全为正数 方法不限 AR 解 111124 1 2 1311022 A 4 五 五 10 分 分 设 0 2 Tn ARn 1 证明的最小多项式是A 2 tr mA 2 求的 Jordan 形 需要讨论 A 1 易知 故rank 1A tr T A 2 tr TT m AAA AAAO 又对任意的一次多项式 反证 如果 gc g AAcIO AcIO 当时 矛盾 当时 矛盾 0c AO 0c rank rank 2AcIn 2 由根知 的特征值只能是或 tr 0mA A0tr T A 当时 无重根 可对角化 再由知tr 0 T A m Arank 1A 0 0 T AJ 当时 的特征值全是 由tr 0 T A A 0 0 0 rank 1nIAn 知对应的特征向量只有的线性无关的 从而 0 0 1n 0 01 0 AJ 六 六 10 分 分 设 m n r AR 1 证明 rank n IA Anr 2 的通解是 0Ax n n xIA A yyR 5 证 1 1 rrTTT r nnn OIOO IA AIVU UVIVV OOOOOO rTT n r OOIO VIVVV OIOO 所以 rank n IA Anr 2 由 知的列都是的解 n A IA AAAA AAAO n IA A 0Ax 其中又有个线性无关的 故其线性组合就是通解 nr n n IA A yyR 0Ax 七 七 10 分 分 证明矩阵 21 21 21 23 111 2 222 222 4 333 333 6 444 2 1 1 1 n n n nnn n nnn A 1 能与对角矩阵相似 2 特征值全为实数 证 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n i i k kk k R 互不交 说明有个不同的特征值 从而可对角化 k GAn 2 关于实轴对称 如果有复特征值必成对共轭出现 而中只有一个特征值 所以 k GA k G 必为实数 八 八 15 分 分 设是可逆矩阵 这里矩阵范数都是算子范数 A 1 1 BA A 6 如果 证明 1 是可逆矩阵 2 3 B 1 1 B 11 BA 证 方法一 1 11 1 xA AxAAxAB xBx 1 AB xBx 1 xBx xBx 因此 说明可逆 00 xBx B 2 由式 取 1 xB y 111 1 B yBB yyB yy 由算子范数的定义得 1 1 B 3 111111 11 BABAB ABABA 方法二 引理