数学问题解决教学与高中生创造性思维能力培养的研究.doc

数学问题解决教学与高中生创造性思维能力培养的研究椭圆内三角形面积最值问题的研究 数学科 谢振宇【摘 要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，通过问题解决教学培养高中生创造性思维能力，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。【关键词】：椭圆 三角形面积 问题解决 创造性思维先来看一下两道高考题：1（2008年高考数学山东卷（文史类）第22题） 已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆。（1）求椭圆的标准方程；（2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点.若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；若是与椭圆的交点，求的面积的最小值.2（2008年普通高考数学全国卷（文史类）第22题）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与 相交于点，与椭圆相交于两点。（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值。两道高考题的最后一个问，都考察到了椭圆内三角形或四边形（也可转化为三角形）的面积问题，笔者觉得这个问题值得思考与探究。下面通过问题解决教学，达到培养学生创造性思维能力，提高学生的数学修养。例 在椭圆上有两点，椭圆的中心为，求的最大值和最小值.（见1）1.常规法的反思提升分析：,为求的最大值和最小值，必须把写成函数式，如果设，那么，这是个四元函数，其中显然，要将其转化为一元函数再求最大、最小值，表达式并不容易求出来，所以此法略。可考虑用直线斜率这个工具，将的表达式写成关于斜率的一元函数式.解法1：设直线的斜率存在且不为，其方程为，设，解方程组得，所以 （1）设，因直线的方程为，所以将（1）式中的换成得 （2）（反思：由于求解时，与解法一致，差别在于斜率的变化，因此可直接代入简化计算,在计算上的创新，可节省时间，减少错误）所以（当且仅当，即时取等号）所以，当直线斜率存在时的最小值为。当或不存在时， 由此得的最小值为（反思：利用基本不等式只能求出的最小值，虽然思路简单，但并不能解决题目所给所有问题，所以要另辟途径求出最大值） 另一方面，设，则， ，所以，即 所以当或不存在时，的最大值为 综上所述，的最小值为，的最大值为。评注：利用直线斜率解题时，要注意斜率不存在的情况，因此分类讨论不可避免。求解过程可发现的表达式可写成关于斜率的一元函数式，利用基本不等式比较容易得到最小值，但求最大值时则要借用二次函数才可得知，在斜率不存在或为0处取得，过程稍为复杂，但也可发现最小值也可由处得到，有意想不到的收获。2.参数法困境的突破分析：利用椭圆参数方程，设，点坐标用一个参数就可以确定，这时，也只与有关，看起来这种坐标形式较好。但是，由于椭圆的参数方程中，离心角与参数不一致，所以设后，点坐标不是，只能设，而与关系不明显，这就使的表达式中，仍然出现两个变量（与），利用椭圆参数方程设点的坐标不利于求的最大值，最小值。（见1）（困境：由于椭圆的参数方程中，离心角与参数不一致，硬要往下做似乎是死路一条，但参数法由于标点的方便，又让我们不甘心就此放弃，两难之际急需创新思维解决问题）解法2：利用几何意义明显的坐标形式，就有，另一方面由于（垂直条件）可知，即，不妨取，则有：，利用点在椭圆上的条件知：，可见，根据，由，即，得，可见不等式中的等号可以成立，这表明的最小值是另一方面，由，当，即时，这表明的最大值是综上所述，的最小值是，的最大值是评注：的几何意义明显（各有明确意义），因此，在能充分发挥的几何意义的场合下，用较好。在本题中，由于采用了这种坐标形式，使两点的角参数统一为，同时，使较方便地表示为关于的一元函数,利于求最大值，最小值。3.伸缩变换的神奇应用分析：伸缩变换是在三角函数到图像变换学习时出现的，怎么会把这两者看上去牛马不相及的工具联想到一起呢？这就是创造性思维的神奇之处，我们知道圆是椭圆的特殊形式，如能将椭圆问题转化为圆的问题来解决，显然是一个理想的化归途径，毕竟我们对圆的性质比椭圆熟悉得多。运用“伸缩变换”可实现此想法，下面简单介绍一下此法。（见2）设椭圆方程为，圆的方程为，可以看到，假如我们希望，把椭圆压缩为以它的短轴为直径的圆，只须将其各点横坐标压缩，而纵坐标不变。所以可作变换代入椭圆方程得实现此想法。例如，求内接于椭圆的三角形面积的最大值。由于求圆的内接三角形面积之最大值是很容易解决的，所以令代入椭圆方程得，我们知道，内接于圆的三角形面积的最大值为（正三角形），由于在压缩过程中椭圆各点的纵坐标没有变化，因而其内接三角形之高不会变，只是三角形之底边长度短了，因此，当我们回过头去求椭圆内接三角形面积之最大值时，应将乘以，故椭圆内接三角形面积的最大值是。非常巧妙的方法！（椭圆的面积也可由圆的面积变换得到）。现在，我们再用此工具解决一下刚才的问题。解法3：对椭圆作伸缩变换，设，代入椭圆方程得，相应的变为，其中为圆的圆心，是圆上两点，所以的面积为，易知当时，取最大值，所以的面积的最大值为。评注：最小值不好求，主要是因为伸缩变换的过程中垂直关系会发生变化，最小可变为多少，不容易求出，所以此法在求最小值时，优势不明显。但最大值的得到却是轻而易举的。事实上，当分别落在坐标轴时，伸缩变换没有改变的大小，即，此时可得的最大值。所以最小值可猜想为当在两坐标轴中间时取得，即，当然这个结论需要严格验证。 通过伸缩变换，实际上我们已经解决了椭圆内接三角形面积的最大值问题，没有最小值。另外椭圆内过焦点的三角形的面积的最大值也是固定的，没有什么研究的价值，没有最小值，这样椭圆内常见的三角形的面积的最值问题我们也就都做了一定的研究。在此过程中，通过常规法，参数法，伸缩变换法等方法的研究，可以充分享受数学带给我们的乐趣，也可以发现数学