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公司订购管理的优化模型 组员：曹珍 欧阳依凡 王威 摘 要 本文考虑的是某公司订货管理的最优化问题。我们假定公司所有物资订货周期相同，每种物资每次的订货方式相同，并且考虑到公司的长远利益，我们假设公司订货时恰好满足需求，在此基础上我们建立了线性规划模型，然后求解出满足各条件的总花费最小的各种物资的订货量及运输方案。接着分析了当A1工厂有订购优惠活动时公司新的订货方案，最后我们联系实际情况改变了一些条件，进而对问题进行了分析。首先，考虑到此问题是运输和存储的结合问题，即从三个工厂运输到五个仓库并存储，然后当分店有需求时再从仓库运输到分店。最终的总花费由四部分构成，第一部分是进货的费用，第二部分是从工厂运输到仓库的运费，第三部分是仓库的存储费用，第四部分是从仓库运输到分店的运输费。为了分析问题方便，我们假设公司每次订购方案相同，通过对八个分店十种物资年需求量的体积之和及五个仓库总容量的数据进行分析后，我们得出了在不考虑任何资金需求的情况下，为了满足分店的需求，至少需订购货物11.41次。其次，考虑到四部分花费之间联系较为紧密，比如说一旦订购的方案决定了在仓库的存储费用及仓库运输到各个分店的最优运费就决定了。题目所给的变量众多，一次性全部考虑求最优解较为复杂。为了分析解决问题，我们决定采用多次演算挑选最优解的方法，分别取值计算出在给定的订货次数t=12,13,14，15的条件下的订购费用,先假定货物是完全可分的，经比较分析得出每年的最小订购总花费为1139，115万元。考虑到货物为整数，我们进行局部微调后得出最优订购及运输方案按同样的方法算出进货次数分别为15，16，17，18次时每年所需的总费用，发现之后随着进货次数增加，订货费用的增加量已经超过了存储费用的减少量从而造成总成本的增加。以此推断我们所得的订货次数t=15是在所在假设条件下的最优解。针对A1工厂订购有优惠活动我们对模型进行了一些改进，分别针对不同的优惠方案我们分三个阶段讨论，分别是优惠五元，十元以及十五元。针对这三个阶段增加约束条件分别求解最优解，然后比较三种情况下最优解的值，最终取最优解值最小的订购方案即为公司新的订购方案。通过lingo计算，我们发现在A1工厂订购量增加120件以上是最优的，即单价降低15元。全文至此我们讨论都是考虑仓库充分利用的情况下求解的，但是实际情况中，因为货物的体形摆放等问题仓库的体积不可能充分利用，考虑到此情况，我们给定一个仓库体积利用的百分比对模型进行了一些调整。本文所建立的模型是为了计算简便，假定每次订购的方案相同，并且从长远考虑公司不出现缺货，但是在实际操作问题中，可能由于市场需求或者工厂不能及时供给等原因不能按此进行，此时需要不断调整，逐步优化。关键词：优化问题 线性规划 运输问题 整数约束 一、问题的提出某个公司管理着个仓库（B1B5）和8个分店（C1C8），主要经营10种物资，而这些物资全部向3个工厂(A1A3)进货。公司的工作流程是根据8个分店的销售需要，先向工厂订货，然后将各种物资运送到仓库，再由仓库运送到分店进行销售。分店只消耗物资，不储存物资。各个工厂生产10种物资的全部或部分物资，而同种物资单价在不同工厂购买单价也是有差异的。每个工厂到每个仓库由于距离等原因的运输单价也不同。每个仓库的容量有限制，同种物资在不同的仓库的库存费一样，而不同物资的库存费是不同的，另外每种物资有着自己的体积。5个仓库到8个分店的运输单价也是有差异的。公司每次订货都会有其它的各种花费，不妨称为订货费，设公司每次的订货费为1万元，另外，一次订货可使用的流动资金上限为100万元，如果进行销售时允许缺货，但是缺货的损失费是存储费的2倍。需要解决的问题有： 公司的订货方案使得一年内的总花费最小，订购方案包括各种物资的订货次数和货数量以及运输方案。如果A1工厂有订购优惠活动，物资订购量每增加30件订购单价就会降低5元，最多优惠15元，此时公司的订货方案应该如何改变。若将该问题改为更加接近实际些，适当变动一些条件可以针对问题二进行进一步讨论。 二、问题的分析对问题一，我们认识到这是一个优化问题，要求能给出各种物资的订货次数与订货量以及运输方案使得总的花费最少。经过分析得出总的花费是由四部分组成：第一部分是进货的费用等于进货成本加上每次的订购费用；第二部分是从工厂运输到仓库的运费；第三部分是仓库的存储费用以及由此可能出现的缺货导致的缺货费；第四部分是从仓库运输到分店的运输费。需要决策的变量是要决定从哪个工厂订货，定多少，如何运输到各个仓库，及如何从仓库运输到各个分店满足需求，其中每次的订货费用有上限，仓库的容积也是有限定的。变量之间联系较为紧密，比如说订购的方案决定了之后从仓库的存储费用以及仓库运输到各个分店的最优运费就决定了。如果想通过设变量整体一步达到最优变量较多而且所涉及的约束条件也较多，方程的求解就比较麻烦。为了分析解决我们决定采用多次演算挑选满意解的方法，分别取值计算出在给定的订货次数t=12,13,14的条件下的订购费用。随后我们证明随着订货次数的增加订货费用的增加量已经超过了存储费用减少量造成总成本的增加。以此证实我们所得的解是在所在假设条件下的最优解。对问题二发现随着订货量的增加量不同，价格变化不同，为此我们想分价格变化的三个阶段考虑问题，希望通过比较三种情况下的最优解值的大小来确定此时的方案。对问题三，在前面两个问题中我们讨论都是考虑仓库充分利用的情况下求解的，但是实际情况中，因为货物的体形摆放等问题仓库的体积不可能充分利用，针对这种实际情况，我们给定一个仓库体积利用的百分比率重新计算。三、模型的假设1、 公司为了方便管理，决定每次订购方案一样。2、 每个分店的每种物资的需求是均匀连续的。3、 公司认为市场需求的数据比较准确，因此订货时不会多订。4、 由于缺货导致的缺货费和以及隐藏的信用损失，一般公司不希望出现缺货现象的出现。5、 充分利用仓库的体积，不考虑货物的形状和堆放之间的间隙。6、 货物运输是瞬时的，不考虑其花费的时间，每次分店货完时才从仓库运货。 四、定义与符号说明物资用表示，其中=1,2,3,10工厂用表示，其中=1,2,3仓库用表示，其中=1,2,5分店用表示，期中用表示第h个仓库的最大容量用表示第i种货物的单位体积用表示第j个工厂生产第i种物资的单价用表示从第h个仓库运到第k个分店的运输单价用表示第k个分店对第i种物资的年需求用表示第j个工厂的第i种物资的年产量用表示从第j个工厂到第h个仓库的运输单价用表示第i种物资每次从第j个工厂运到第h个仓库的数量用表示第i种物资每次从第h个仓库运到第k个分店的数量用表示第i种物资的存储费用用表示每次的进货成本用表示每次的订货运费，其中表示从工厂运输到仓库的的运费，表示从仓库运输到分店的运费。用表示一次订货期间的存储费用t表示进货次数用表示一次订货的总花费 五、模型的建立与求解51针对问题一目标函数建立 最终的总费用由四部分组成，第一部分是进货的费用等于进货成本加上每次的订购费用，第二部分是从工厂运输到仓库的运费，第三部分是仓库的存储费用D表示，第四部分是从仓库运输到分店的运输费。这四部分花费之间联系较为紧密，比如说一旦订购的方案决定了之后从仓库的存储费用以及仓库运输到各个分店的最优运费就决定了。题目所给的变量众多，一次性全部考虑求得最优解较为复杂。为了分析解决问题我们决定采用多次演算挑选最优解的方法，分别取值计算出在给定的订货次数t=12,13,14，15的条件下的订购费用,先假定货物是完全可分的。对于本问题的求解，我们考虑的是简单的单一订货问题（如下图表示）。由于我们假定从公司的长远考虑不存在缺货问题，提前期固定、每次订货手续费不变，单位时间内的储存费不变。需求速率D 为均匀连续的。每次订货量不变，以周期循环订货。考虑提前期为零（即当存量降至零时，可以立即得到订货量）的情形。表示第i种物资每次从第j个工厂运到第h个仓库的数量, 用表示第i种物资的存储费用,那么存储费用为 。 用表示第j个工厂生产第i种物资的单价,总共有十种物资，三个工厂，五个仓库，则每次的进货成本为，用表示从第j个工厂到第h个仓库的运输单价，则从工厂运输到仓库的运费，表示从第h个仓库运到第k个分店的运输单价，用表示第i种物资每次从第h个仓库运到第k个分店的数量则从仓库运输到分店的运输费。 故此，列出目标函数：52针对问题一约束条件建立 首先每个仓库装载的所有物资的体积不超过其最大容量，； 其次我们认为从公司的长远考虑，缺货对公司的影响很大，所以我们在给定的订货方案中从工厂运到每个仓库中的货物能满足每个分店的需求量，即，； 然后从每个工厂运输到五个仓库的各种物资的总量之和不能超过工厂的年产量，。 至此，我们得出模型： 5.3 问题一的求解在lingo中编程求解结果如下：（具体编程见附录1）从工厂运输到五个仓库：B1：M1M7M8A233.3389.7815.33B2：M1M3M5M6M8M9M10A110.00 82.67 86.00 40.00 96.33 79.33 80.00 B3：M2M3M4M6M7M9M10A3106.67 53.33 100.00 66.67 76.00 166.67 100.00 B4：M1M2M4M6M7M8M10A2100.00 73.33 66.67 89.33 43.56 66.67 80.00 A360.00 B5：M1M3M4M5M6M9A1110.00 106.67 50.00 123.33 26.67 3.33 从五个仓库运输到八个分店：B1：M1M7M8c123.11c633.3366.6715.33B2：M1M3M5M6M8M9M10c224.00 53.33 33.33 c310.00 40.00 53.33 c510.00 13.33 6.00 40.00 c666.67 26.67 10.00 43.00 13.33 6.67 c76.00 6.67 c86.00 B3:M2M3M4M6M7M9M10c120.00 13.33 3.56 6.67 40.00 c333.33 26.67 53.33 53.33 26.67 c426.67 13.33 9.11 100.00 26.67 c553.33 c613.33 20.00 c813.33 26.67 33.33 10.00 33.33 13.33 B4:M1M2M4M6M7M8M9M10c13.33 c26.00 53.33 50.00 2.67 13.33 6.67 c414.00 24.22 c526.67 6.67 20.00 26.67 13.33 c780.00 10.00 66.67 6.00 33.33 66.67 c86.00 B5:M1M3M4M5M8c14.00 53.33 6.67 13.33 5.33 c233.33 30.00 33.33 c46.00 13.33 13.33 10.00 10.00 c68.33 c8100.00 6.67 66.67 13.33 此时每次的花费W=949262.51000000满足题设中流动资金为100万的限定。 对原结果进行整数调整后的结果为： 从工厂运输到五个仓库：B1：M1 M7M8A2338915B2:M1M3M5M6M8M9M10A110 82 86 40 96 79 80 B3:M2M3M4M6M7M9M10A3106 53 100 66 76 166 100 B4:M1M2M4M6M7M8M10A2100 73 66 89 43 66 80 A360 B5:M1M3M4M5M6M9A1110 106 50 123 26 3 从五个仓库运输到八个分店B1:M1M7M8c123c6336615B2:M1M3M5M6M8M9M10c224 53 33 c310 40 53 c510 13 6 40 c666 26 10 43 13 6 c76 6 c86 B3:M2M3M4M6M7M9M10c120 13 3 6 40 c333 26 53 53 26 c426 13 9 100 26 c553 c613 20 c813 26 33 10 33 13 B4:M1M2M4M6M7M8M9M10c13 c26 53 50 2 13 6 c414 24 c526 6 20 26 13 c780 10 66 6 33 66 c86 B5M1M3M4M5M8c14 53 6 13 5 c233 30 33 c46 13 13 10 10 c68 c8100 6 66 13 采用同样的方法我们求得t=16次的总花费为W=11391400,t=17次的总花费为W=11392740，t=18次的总花费W=11394960。通过计算所得的结果，我们发现之后随着进货次数增加，订货费用的增加量已经超过了存储费用的减少量从而造成总成本的增加。以此推断我们所得的订货次数t=15是在所在假设条件下的最优解。5.4 问题二的求解 设由第一问中求解得的工厂1中订购的物资的总量为为S，新增订购量为，对A1工厂订购有优惠活动我们对模型进行了一些改进，分别针对不同的优惠方案我分三个阶段讨论，分别是:针对这三个阶段增加约束条件分别求解最优解，然后比较三种情况下最优解的值，最终取最优解值最小的订购方案即为公司新的订购方案。（1） 当单价下降五元时，我们新增约束条件。使用lingo中编程求解结果为W=11320090元；（具体编程见附录2）（2） 当单价下降十元时，我们新增约束条件。使用lingo中编程求解结果为W=112471600元； （3） 当单价下降十五元时，我们新增约束条件。使用lingo中编程求解结果为W=1117349元； （具体编程见附录3） 通过分析比较我们发现当单价下降15元时候花费是最小的，此时的最优解为：从工厂到仓库B1：M1M7M8A2338915B2：M1M3M5M6M8M9M10A110828640919080B3：M2M3M4M6M7M9M10A310642836676149100B4：M1M2M4M6M7M8M9A2100736689436680A306000000B5：M1M3M4M5M6M8M9A111011766123264210 从仓库到分店：B1：M1M7M8c123c6336615B2：M1M3M5M6M8M9M10c2245333c3104053c513640c666261037136c7666c8610B3：M2M3M4M6M7M9M10c12013340c33326535326c4262653910026c61320c813163102213B4：M1M2M4M6M7M8M10c2653502136c41424c5266202613c75380106663366B5：M1M3M4M5M6M8M9c145361326510c2333033c46131010c613c810017306613 5.4 问题三的求解至此我们讨论都是考虑仓库充分利用的情况下求解的，但是实际情况中，因为货物的体形摆放等问题仓库的体积不可能充分利用，我们考虑此情况，给定一个仓库体积利用的百分比率重新计算。 此时约束条件变为。6、 模型的评价和改进1、对于题目本身，我们认为不管是从工厂到仓库抑或是从仓库到分店，以元/件作为运输单价欠妥。实际情况是对于运输工具，它一次运货满载（撇开由于货物重量带来的汽油费的增加不谈）最为划算，所以运输费不可能只与物资的件数有关而与运输工具在两地点之间来往次数无关。因此在设计数据时应是运输工具（譬如汽车）来往一趟的运输费，另外对于运输工具应该有运货件数的上限。2、如果将库存的变化曲线单纯看成是直线下降的话，这样跟据上述分析，当一个周期结束时，必然有某种物品的数量降为0，但是此时其他物品的数量就不是整数了，这显然是不符合实际的，这是由于在单一物品订货模型中，我们采取了一个库存均匀下降的模型，如果完全按照实际考虑，将时间轴变成以天计数的离散的时间轴的话，库存的变化就可以看成为周期下降的一个阶梯的变化，这虽然符合实际，但是在模型求解过程中就会变得极其繁杂，且对于结果的影响并不大，这里面的整数问题也就不必去细究了。3、由于我们为了分析问题方便及时间等方面限制，我们没有考虑缺货的费用，但是可以通过在本模型的基础上进行一些局部调整即可逐步优化获得缺货条件下的最优解，至此本文没有深入讨论与研究。 七、参考文件1 陈恩水王峰编，数学建模与实验，科学出版社，2008，6；2 韩中庚主编，实用运筹学，清华大学出版社，2007，123 杨益民付必胜仓库容量有限条件下的生产销售存贮模型期刊论文系统工程2000，(1)：1823 八、附录附录1：model:sets:good/1.10/:B,D;!B表示第i种货物的单位体积;factory/1.3/:;warehouse/1.5/:v;!H表示第h个仓库的最大容量;shop/1.8/:;link1(good,factory):C,G;!C表示工厂j生产物资i的单价 , G表示工厂j生产物资i的年产量; link3(warehouse,shop):E;!E表示从第h个仓库运到第k个分店的运输单价;link4(good,shop):F;!F表示第k个分店对第i种物资的年需求;link5(factory,warehouse):M;!M表示从第j个工厂到第h个仓库的运输单价;link6(good,factory,warehouse):X;!X表示第i种物资每次从第j个工厂运到第h个仓库的数量;link7(good,warehouse,shop):Y;!Y表示第i种物资每次从第h个仓库运到第k个分店的数量;endsetsdata:D=40 70 90 100 120 120 150 160 180 200;G=2000 2000 0 0 1300 2500 3000 0 800 1000 1000 1500 3200 0 0 1000 1500 1000 0 2000 1400 2000 1500 0 1500 0 2500 1500 1200 1500;C=100 90 100000 100000 180 170 210 100000 210 250 240 245 290 100000 10