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全国1993年初中数学联合竞赛试题(含解析)一、选择题(本题满分48分,每小题6分)1多项式x12x61除以x21的余式是( )a1 b1 cx1 dx12对于命题:.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形以下四个结论中正确的是( )a、都对 b对、错 c错、对 d、都错3设x是实数,y|x1|x1|,下列四个结论:. y没有最小值 . 只有一个x使y取到最小值. 有有限多个(不止一个)x使y取到最小值 . 有无究多个x使y取到最小值其中正确的是( )a b c d4实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组其中a1,a2,a3,a4,a5是常数,且a1a2a3a4a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是( )ax1x2x3x4x5 bx4x2x1x3x5cx3x1x4x2x5 dx5x3x1x4x25不等式x1(x1)23x7的整数解的个数( )a等于4 b小于4 c大于5 d等于56在abc中,a是钝角,o是垂心,aobc,则cos(obcocb)的值是( ) a.- b. c. d.-7锐角三角形abc的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么mnp等于( ) a.:babc ccosacosbcosc dsinasinbsinc8可以化简为( ) a. b. c. d.二、填空题(本题满分32分,每小题8分)9.当x变化时,分式的最小值是_.10放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有_个小球11若方程(x21)(x24)k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=_12锐角三角形abc中,a30,以bc边为直径作圆,与ab、ac分别交于d、e,边结de,把三角形abc分成三角形ade与四边形dbce,设它们的面积分别为s1、s2,则s1s2=_第二试一、设h是等腰三角形abc的垂心在底边bc保持不变的情况下,让项点a至底边bc的距离变小,这时乘积sabcshbc的值变小,变大,还是不变?证明你的结论二、在abc中,bc5,ac12,ab13在边ab,ac分别取点d、e,使线段de将abc分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度三、已知方程x2bxc0及x2cxb0分别各有两个整数根x1,x2和x1,x2,且x1x20,x1x20(1)求x10,x20,x10,x20;(2)求证:b1cb1;(3)求b、c所有可能的值1993年全国初中数学联合竞赛试题解答第 一 试 一选择题1多项式x12x61除以x21的余式是( )a1 b1 cx1 dx12对于命题:.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形以下四个结论中正确的是( )3设x是实数,y|x1|x1|,下列四个结论:. y没有最小值 . 只有一个x使y取到最小值. 有有限多个(不止一个)x使y取到最小值 . 有无究多个x使y取到最小值其中正确的是( )a b c d4实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组其中a1,a2,a3,a4,a5是常数,且a1a2a3a4a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是( )ax1x2x3x4x5 bx4x2x1x3x5cx3x1x4x2x5 dx5x3x1x4x25不等式x1(x1)23x7的整数解的个数( )a等于4 b小于4 c大于5 d等于56在abc中,a是钝角,o是垂心,aobc,则cos(obcocb)的值是( ) a.- b. c. d.-7锐角三角形abc的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么mnp等于( ) a.:babc ccosacosbcosc dsinasinbsinc8可以化简为( ) a. b. c. d.二、填空题9.当x变化时,分式的最小值是_. 当x=-1时,公式取最小值4.10放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有_个小球11若方程(x21)(x24)k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=_12锐角三角形abc中,a30,以bc边为直径作圆,与ab、ac分别交于d、e,边结de,把三角形abc分成三角形ade与四边形dbce,设它们的面积分别为s1、s2,则s1s2=_【答案】3【解析】如图,bc为圆的直径, ,第 二 试一、设h是等腰三角形abc的垂心在底边bc保持不变的情况下,让项点a至底边bc的距离变小,这时乘积sabcshbc的值变小,变大,还是不变?证明你的结论解法2 作图如解法1,再延长ad至g,使dg=dh,并分别连接bg,gc.由hbdgbd知, .二、在abc中,bc5,ac12,ab13在边ab,ac分别取点d、e,使线段de将abc分成面积相等的两部分,试求
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