《数学分析》第三章 函数极限.doc

第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42681 函数极限概念 （ 4时 ）一、时函数的极限：1. 以时和为例引入.2. 介绍符号: ,的意义,的直观意义.3. 函数极限的“”定义(,).4. 几何意义: 介绍邻域,其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义5. 函数在与,极限的关系: Th1 例1 验证证明格式：（不妨设 ）（不妨设或，） 要使化简附加条件逐次放大不等式， 只须（）或（），（）. 于是,，当（或，）时，有. 根据函数极限的“”定义知 = （或 = ， = ）.例2 验证：1）； 2）.例3 验证证 6. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.7. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其大的一面. 二时函数的极限：1. 由 考虑时的极限引入.2. 函数极限的“”定义.3. 几何意义.4. 用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证 例5 验证 例6 验证 证 由 = 为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有 证明格式：（不妨设 ）（不妨设或，,则） 要使化简附加条件逐次放大不等式， 只须（）或（），（）. 于是,，当（或，）时，有: . 根据函数极限的“”定义知 = （或 = ， = ）.例7 验证 例8 验证 ( 类似有 5. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.6. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其小的一面.7. 存在并不意味着在有定义,即就是有定义也并不意味着(如例6).例9 证明 . 三.单侧极限:1. 定义： 单侧极限的定义及记法.2. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义.例9 验证 证 考虑使 的3. 单侧极限与双侧极限的关系:Th2 例10 证明: 极限 不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= Ex 1P47 17. 2 函数极限的性质（ 2时 ）我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证. 一.函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1. 唯一性: 2. 局部有界性:3. 局部保号性:4. 单调性( 不等式性质 ):Th 4 若和都存在, 且存在点的空心邻域, 使都有证 设= ( 现证对 有)註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”,未必就有以 举例说明.5. 迫敛性( 双逼原理 ):例1 求.6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“”)Ex 1P51 57. 二 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ( 利用极限和 )例2 例3 註:关于的有理分式当时的极限.例4 利用公式 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求 和 Ex 1P51 14.补充题: 已知 求和 () 3 函数极限存在的条件（ 2时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例.一、 Heine归并原则 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在对任何且都存在且相等. ( 证 )Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅1P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明例3 证明不存在.Th 2 设函数在点的某空心右邻域有定义.则对任何以为极限的递减数列,有.Th 3 设函数为定义在上的单调有界函数.则存在.二、Cauchy准则:Th3 (Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,证 ( 利用Heine归并原则 )Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.例4 用Cauchy准则证明极限不存在.证 取 例5 设在 上函数. 则极限存在在上有界. ( 简证, 留为作业 ). Ex 1P55 14.4 两个重要极限（ 2时 ）一 （证） （同理有 ）例1 例2 .例3 例4 例5 证明极限 不存在.二. 证 对 有 例6 特别当 等.例7 例8 例9 Ex 1P58 14. 5 无穷小量与无穷大量 阶的比较（2时 ）一、无穷小量: 1. 定义. 记法.2.无穷小的性质: 性质1 (无穷小的和差积)性质2 (无穷小与有界量的积)例1 3. 无穷小与极限的关系:Th 1 ( 证 )二、无穷小的阶: 设时 1 高阶（或低阶）无穷小：2 同阶无穷小：3 等价:Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) .几组常用等价无穷小: 设 以作为基本无穷小, 有等价关系: 当时, , , , , , , .再加上时 (或 时)的(或的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3 求.例4 三. 无穷大量:1. 定义:例5 验证.例6 验证.2. 性质:性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3. 无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小, 非零无