【参考答案】 第7节 三角函数.doc

【教师用】桐柏高级中学高三数学知识点梳理教学资料 第七节 三角函数 【高三数学】数学高考基础知识归纳整理及基本训练第七节 三角函数【基本知识点归纳】一、三角函数的图像及性质1、正弦函数：表达式： ；定义域： ；值域： ；图像：单调性：递增区间： ；递减区间： ；最值：X= ， 1 ；X= ； ；奇偶性： ；最小正周期 ；对称中心： ；对称轴： 。2、余弦函数：表达式： ；定义域： R ；值域： ；图像：单调性：递增区间： ；递减区间： ；最值：X= ， ；X= ； ；奇偶性： ；最小正周期 ；对称中心： ；对称轴： 。3、正切函数：表达式：；定义域：；值域： R ；图像：单调性：递减区间： ；奇偶性： ；最小正周期 ；对称中心： 。4、函数的图像与函数的图像的关系1、振幅变换：把函数的图像上所有各点 横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍 得的图像；2、周期变换：把函数的图像上所有各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 得的图像；3、相位变换：把函数的图像上所有各点 先向左平移个单位，（若0， 则向右平移个单位），然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得的图像。【基本例题】三角函数【例1】：作出下列函数的图像（1）， （2），（3）。【例2】：作出函数的图像。【例3】：利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合： ； 答案：（1）；（2）【例4】：求下列函数的定义域与值域 答案：；【例5】： 求证：是偶函数。证明：，且是偶函数。【例6】： 求证：既不是奇函数也不是偶函数。证明：且既不是奇函数也不是偶函数。【例7】：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.（1）； （2）；（3）答案：（1）当时，；当时，；（2）当时，；当时，；（3）当时，；当时，。【例8】：求下列函数的周期：（1） 、y=sin(x+) ； （2）、 y=cos2x ； （3）、 y=3sin(+)答案：（1）；（2）；（3）【例9】：（1）比较tan1670与tan1730的大小;（2）比较与的大小.答案：（1）tan1670【例10】： 讨论函数的性质.答案：定义域：；值域：；周期：；奇偶性：非奇非偶函数；递增区间：。【例11】：求函数的单调区间：答案：递增区间：【例12】：求函数的周期：（）【例13】：作出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的大致图像：（1）y=sinx；（2）y=sinx；（3）y=2sinx.【例14】：画出函数y3sin(2x)的图像解：(五点法)由T，得T 列表：x2x+023sin(2x+)03030描点画图：这种曲线也可由图像变换得到：纵坐标不变横坐标变为倍左移个单位即：ysinx ysin(x)纵坐标变为3倍横坐标不变变变ysin(2x) y3sin(2x)【例15】：已知如图是函数y2sin(x)其中的图像，那么A， B，C2， D2，选C【例16】：已知函数yAsin(x)在同一周期内，当x时函数取得最大值2，当x时函数取得最小值2，则该函数的解析式为( )（A）y2sin(3x)； （B）y2sin(3x)；（C）y2sin()； （D）y2sin()；答案：B【基本训练】三角函数1、不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.(1)sin()sin()； (2)cos()cos()2、函数ysin(x)在什么区间上是增函数?3、函数y3sin(2x)在什么区间是减函数?4、函数ysin4xcos4x的最小正周期为 5、比较与的大小;6、设A、都是常数，且求证是函数yAsin(x)的周期。7、求函数的单调区间，并指出单调性.8、求函数的最小正周期：9、设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大.（保留两位小数）参考答案：1、（1）大于0；（2）小于0.2、；3、；4、；5、；6、，是函数yAsin(x)的周期；7、函数在区间上单调递减；8、，9、二、反三角函数1、反正弦函数：表达式： ；图像：定义域： ；值域： ；单调性： ；奇偶性： ；恒等式： ； ； ；2、反余弦函数：表达式： ；图像：定义域： ；值域： ；单调性： ；奇偶性： ；恒等式： ； ； ；3、反正切函数：表达式： ；图像：定义域： ；值域： ；单调性： ；奇偶性： ；恒等式： ； ； ；三、最简单的三角方程（1）三角方程的定义：我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有的集合叫做三角方程的解集（2）最简三角方程的定义：形如的方程叫做最简三角方程（3）最简三角方程的解集：方程方程的解集【基本例题】反三角函数【例1】求下列反正弦函数的值：（1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）答案：（1）；（2）0；（3）【例2】用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：（1）sinx=，x-，；（2）sinx=-，x-，；（3）sinx=-，x-，0.答案：（1）；（2）；（3）或【例3】化简下列各式：（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；（3）arcsin（sin20070）答案：（1）；（2）；（3）【例4】求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x，则= arcsin2x，因为2x-1，1，arcsin2x-，所以x-，y-，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）= sin，定义域是-，值域是-，.【例5】求下列反三角函数的值：（1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0；（4）arctan1；（5）arctan（-）答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【例6】在ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示A、B、C.解：因为AC2=AB2+BC2，所以B是直角，于是有A= arcsin= arccos=arctan；B= arcsin1= arccos0；C= arcsin= arccos=arctan.【例7】化简下列各式：（1）arccos（cos）；（2）sinarccos；（3）cosarctan（-1）答案：（1）；（2）；（3）【例8】求下列函数的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.(1)f（x）=+arccos；（2）f（x）=3-arctan（2x-1）（1）；（2）。例9、求下列方程的解集.（1）； （2）； （3）.答案：（1）；（2）；（3）例10、根据下列条件，求方程的解.（1）为锐角； （2）为某三角形内角； （3）为第二象限角； （4）答案：（1）；（2）或；（3）；（4）例11、求方程的解集答案：例12、解方程答案：例13、解方程解法一： 两边平方，整理得 经检验，为增根原方程的解集为说明：产生增根的原因是“两边平方”事实上，所增的根正好是方程的根解法二： 移项得： 两边同除以，得 ，即解得，说明：这里出现失根，正好是除式的根解法三： 引入辅助角，化为 解得：， 原方程的解集为说明：解方程的核心是方程的同解性问题，形成检验的习惯和能力至关重要【基本训练】反三角函数1、判断下列各式是否成立?简述理由.（1）arcsin=； （2）arcsin=；（3）arcsin1=2k+，kZ；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=； （6）arcsin=.解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为-1，1；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为-，；（6）式不成立，因为与