数学人教版八年级上册11.3 多边形及其内角和.doc

11.3 多边形及其内角和李琳 三维目标 1经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理能力，养成主动探究的习惯 2能运用多边形内角和公式解决问题 3通过运用内角和公式解决问题，使学生认识到数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点 教学重点 多边形内角和与外角和定理 教学难点 多边形内角和公式的推导 教学过程 一、导入新课我们知道三角形的内角和等于180，正方形、长方形的内角和都等于360，那么其他四边形的内角和等于多少？如图1中的这两个漂亮的多边形的内角和又是多少呢？想信在本节课结束时，大家都会轻而易举地作出回答 二、探究新知 动手试一试，你会有收获 活动1问题： 任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和再画几个四边形，量一量、算一算你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180得出这个结论？ 设计意图：通过学生自己动手操作，让他们积极参加数学活动，主动思考、合作交流的“做数学”过程，让学生亲自体验数学发现的过程，增强动手能力、主动思考的能力师生活动：生任意一个四边形，它的四个内角和都为360 我们可以利用上节课学过的知识来解决 如图2，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360活动3问题： 从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：从五边形的一个顶点出发，可以引_条对角线，它们将五边形分为_个三角形，五边形的内角和等于180_ 从六边形的一个顶点出发，可以引_条对角线，它们将六边形分为_个三角形，六边形的内角和等于180_ 设计意图： 在得出任意四边形的内角和的求法后，再让学生思考五边形、六边形的内角和的求法，旨在让学生能从中找中规律，为后面求n边形的内角和打基础 师生活动： 师：从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于3180=540 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，因此六边形的内角和等于4180=720 师：由此我们可以看出，求多边形的内角和，可以把多边形用对角线分成若干个三角形，利用三角形的内角和求解，而分得的三角形的个数又与从一个顶点引出的对角线的条数有关 通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？ 一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空： 从n边形的一个顶点出发，可以引_条对角线，它们将n边形分为_个三角形，n边形的内角和等于180_多边形内角和定理：n边形内角和等于（n-2）180（n是大于等于3的整数） 师：利用刚才的思路，大家猜想一下，还有其他的方法吗？生：以五边形为例，可以在五边形内部任找一点，如图4，把这一点与各个顶点连接起来，把五边形分成五个三角形，这时多了一个周角，因此，五边形的内角和为：5180-360=540 师：大家思维敏捷，富有创新精神，很棒哪位同学来总结一下，如何推导多边形的内角和公式呢？ 生：数学中有一个重要的思想是转化思想，即把求多边形的内角和转化为求若干个三角形的内角和，关键是将n边形分割为三角形，分割的方法很好，上面给出了好多方。因此，可以得出结论：n边形的内角和公式为（n-2）180. 三、运用新知 1一个多边形的每个内角都等于140，那么这个多边形是几边形？ 2一个多边形有35条对角线，则这个多边形是几边形？ 答案：1九 2十活动3例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 设计意图： 利用多边形内角和解决问题 师生活动： 师：大家思考一下，应从哪儿入手？ 生：应从四边形内角和入手因为它只有一组对角互补，要求另一组对角之间的关系，而这两组对角和恰好构成四边形的内角和，是360，从而可以求出另一组对角间的关系 师：可以写出证明过程吗？ 生：解：如图7，四边形ABCD中，A+C=180 因为A+B+C+D=（4-2）180=360， 所以B+D=360-（A+C）=360-180=180这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 活动4例2：如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和等于多少？ 设计意图：利用内角和求外角和，从而得出n边形内角和 师生活动：师：请大家先分析题意，然后找出解决问题的方法 生：外角和是指每个顶点处各取一个外角，而每个顶点处的一个外角与它相邻的内角是互为邻补角，因此外角和与内角和之和就是6个平角再减去内角和，就是外角和 师：请大家把过程写出来 生：1+BAF=180，2+ABC=180； 3+BCD=180，4+CDE=180； 5+DEF=180，6+EFA=180；（1+2+3+4+5+6）+（BAF+ABC+BCD+CDE+DEF+AFE）=6180=1080 BAF+ABC+BCD+CDE+DEF+AFE=（6-2）180=720， 1+2+3+4+5+6=1080-720=360 六边形的外角和为360 师：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？ 生：还相同因为三角形、四边形、六边形的外角和都是360 生：那也不一定正确，这只能作为猜想，不能作为结论，还要经过证明才行 师：能证明出来吗？生：可以根据刚才的思路，n边形中，每个顶点处的内角和外角组成一个平角，n个顶点处有n个平角，它们的和180n即为多边形的内角和与外角和的和，而内角和为（n-2）180，所以外角和应为180n-（n-2）180=180n-n180+360=360 师：很好，还有其他的证明方法吗？ 生：有 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360如图9，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360 师：前面我们学习了n边形的内角和为（n-2）180，外角和为360，下面我们做一些巩固练习 练习 1一个多边形的内角和等于900，求它的边数 2一个多边形的每一个内角都等于140，求它的边数 3一个多边形的每一个外角都等于40，求它的边数 答案：17 29 39 四、总结提升 本节学习了以下主要内容： 1探索了n边形的内角和公式、外角和公式 2学会转化的数学思想方法 五、精留作业 必做： 习题73 4、5 选作： 1如图10，六边形ABCDEF的每个内角都是120，AF=AB=2，BC=CD=3求DE、EF的长 解：把边AB、CD、EF向两方延长，分别交于M、N、P 六边形的每个内角都是120，MNP是等边三角形，NAF、MBC、PDE也都是等边三角形 设EF=x，DE=y，则 x+2+y=3+3+y=2+2+3 x=4，y=1 2在一个凸n边形