（新课标）高三数学一轮复习 第8篇 第7节 曲线与方程课时训练 理.doc

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第8篇 第7节 曲线与方程课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程1直接法求轨迹(方程)4、9、12、13定义法求轨迹(方程)2、5、6、11、15、16、17相关点法求轨迹(方程)7、10、14参数法求轨迹(方程)3、8基础过关一、选择题1.方程(x2+y2-4)x+y+1=0的曲线形状是(c)解析:原方程可化为x2+y2-4=0,x+y+10或x+y+1=0.显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选c.2. abc的顶点a(-5,0),b(5,0),abc的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点c的轨迹方程是(c)(a)x29-y216=1(b)x216-y29=1(c)x29-y216=1(x3)(d)x216-y29=1(x4)解析:如图,|ad|=|ae|=8,|bf|=|be|=2,|cd|=|cf|,所以|ca|-|cb|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以a、b为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为x29-y216=1 (x3).3.平面直角坐标系中,已知两点a(3,1),b(-1,3),若点c满足oc=1oa+2ob(o为坐标原点),其中1,2r,且1+2=1,则点c的轨迹是(a)(a)直线(b)椭圆(c)圆(d)双曲线解析:设c(x,y),则oc=(x,y),oa=(3,1),ob=(-1,3),oc=1oa+2ob,x=31-2,y=1+32,又1+2=1,x+2y-5=0,表示一条直线.4.动点p为椭圆x2a2+y2b2=1 (ab0)上异于椭圆顶点(a,0)的一点,f1、f2为椭圆的两个焦点,动圆c与线段f1p、f1f2的延长线及线段pf2相切,则圆心c的轨迹为(d)(a)椭圆 (b)双曲线(c)抛物线(d)直线解析:如图所示,设三个切点分别为m、n、q.|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pm|+|f2n|=|f1n|+|f2n|=|f1f2|+2|f2n|=2a,|f2n|=a-c,n点是椭圆的右顶点,cnx轴,圆心c的轨迹为直线.5.已知点m(-3,0),n(3,0),b(1,0),动圆c与直线mn切于点b,过m、n与圆c相切的两直线相交于点p,则p点的轨迹方程为(a)(a)x2-y28=1 (x1)(b)x2-y28=1 (x0)(d)x2-y210=1 (x1)解析:设另两个切点为e、f,如图所示,则|pe|=|pf|,|me|=|mb|,|nf|=|nb|.从而|pm|-|pn|=|me|-|nf|=|mb|-|nb|=4-2=21).故选a.6.点p是以f1、f2为焦点的椭圆上一点,过焦点f2作f1pf2外角平分线的垂线,垂足为m,则点m的轨迹是(a)(a)圆 (b)椭圆(c)双曲线(d)抛物线解析:如图,延长f2m交f1p延长线于n.|pf2|=|pn|,|f1n|=2a.连接om,则在nf1f2中,om为中位线,则|om|=12|f1n|=a.点m的轨迹是圆.7.(2014瑞安十校模拟)点p(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(a)(a)(x-2)2+(y+1)2=1(b)(x-2)2+(y+1)2=4(c)(x+4)2+(y-2)2=4 (d)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任一点为q(x0,y0),pq的中点为m(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2,又(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.8.(2014东营模拟)已知正方形的四个顶点分别为o(0,0),a(1,0),b(1,1),c(0,1),点d,e分别在线段oc,ab上运动,且od=be,设ad与oe交于点g,则点g的轨迹方程是(a)(a)y=x(1-x)(0x1)(b)x=y(1-y)(0y1)(c)y=x2(0x1)(d)y=1-x2(0x1)解析:设d(0,),e(1,1-)(01),所以线段ad方程为x+y=1(0x1),线段oe方程为y=(1-)x(0x1) ,联立方程组x+y=1(0x1),y=(1-)x(0x1)(为参数),消去参数得点g的轨迹方程为y=x(1-x)(0x1).二、填空题9.已知m(-2,0),n(2,0),则以mn为斜边的直角三角形的直角顶点p的轨迹方程是.解析:设p(x,y),mpn为直角三角形,|mp|2+|np|2=|mn|2,(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.m,n,p不共线,x2,轨迹方程为x2+y2=4 (x2).答案:x2+y2=4 (x2)10.p是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的任意一点,f1、f2是它的两个焦点,o为坐标原点,oq=pf1+pf2,则动点q的轨迹方程是.解析:oq=pf1+pf2,如图,pf1+pf2=pm=2po=-2op,设q(x,y),则op=-12oq=-12(x,y)=(-x2,-y2),即p点坐标为(-x2,-y2),又p在椭圆上,则有(-x2)2a2+(-y2)2b2=1,即x24a2+y24b2=1.答案:x24a2+y24b2=111.设x,yr,i、j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,则点m(x,y)的轨迹方程为.解析:由已知得a=(x,y+2),b=(x,y-2),而|a|+|b|=8,故有x2+(y+2)2+x2+(y-2)2=8,由式知动点m(x,y)到两定点f1(0,-2),f2(0,2)的距离之和为一常数,满足椭圆的定义,故m点轨迹为以f1、f2为焦点的椭圆,椭圆的长半轴长a=4,所以短半轴长b=23,故其轨迹方程为x212+y216=1.答案:x212+y216=1三、解答题12.(2015长春高三调研)已知平面上的动点p(x,y)及两个定点a(-2,0),b(2,0),直线pa,pb的斜率分别为k1,k2且k1k2=-14.(1)求动点p的轨迹c方程;(2)设直线l:y=kx+m与曲线 c交于不同两点m,n,当omon时,求o点到直线l的距离(o为坐标原点).解:(1)设p(x,y),由已知得yx+2yx-2=-14,整理得x2+4y2=4,即x24+y2=1(x2).(2)设m(x1,y1),n(x2,y2)y=kx+m,x24+y2=1,消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,得4k2+1-m20.x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,omon,x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)4m2-44k2+1+km(-8km4k2+1)+m2=0,m2=45(k2+1)满足4k2+1-m20,o点到l的距离为d=|m|1+k2,即d2=m21+k2=45,d=255.13.(2013高考陕西卷)已知动圆过定点a(4,0),且在y轴上截得弦mn的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹c的方程;(2)已知点b(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p,q,若x轴是pbq的角平分线,证明直线l过定点.(1)解:如图所示,设动圆圆心o1(x,y),由题意,|o1a|=|o1m|,当o1不在y轴上时,过o1作o1hmn交mn于h,则h是mn的中点,|o1m|=x2+42,又|o1a|=(x-4)2+y2,(x-4)2+y2=x2+42,化简得y2=8x(x0).又当o1在y轴上时,o1与o重合,点o1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹c的方程为y2=8x.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k0),p(x1,y1),q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中=-32kb+640.由根与系数的关系得,x1+x2=8-2bkk2,x1x2=b2k2,因为x轴是pbq的角平分线,所以y1x1+1=-y2x2+1,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,将代入,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,k=-b,此时0,直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).能力提升14.在平行四边形abcd中,bad=60,ad=2ab,若p是平面abcd内一点,且满足:xab+yad+pa=0(x,yr).则当点p在以a为圆心,33|bd|为半径的圆上时,实数x,y应满足关系式为(d)(a)4x2+y2+2xy=1(b)4x2+y2-2xy=1(c)x2+4y2-2xy=1(d)x2+4y2+2xy=1解析:如图所示,以a为原点建立平面直角坐标系,设ad=2.据题意,ab=1,abd=90,bd=3.b、d的坐标分别为(1,0)、(1,3),ab=(1,0),ad=(1,3).设点p的坐标为(m,n),即ap=(m,n),则由xab+yad+pa=0,得:ap=xab+yad,m=x+y,n=3y.据题意,m2+n2=1,x2+4y2+2xy=1.15.有一动圆p恒过定点f(a,0)(a0)且与y轴相交于点a、b,若abp为正三角形,则点p的轨迹方程为.解析:设p(x,y),动圆p的半径为r,由于abp为正三角形,p到y轴的距离d=32r,即|x|=32r.而r=|pf|=(x-a)2+y2,|x|=32(x-a)2+y2.整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即(x+3a)212a2-y24a2=1.答案:(x+3a)212a2-y24a2=116.(2014高考广东卷)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆c的标准方程;(2)若动点p(x0,y0)为椭圆c外一点,且点p到椭圆c的两条切线相互垂直,求点p的轨迹方程.解:(1)依题意得,c=5,e=ca=53,因此a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆c的标准方程是x29+y24=1.(2)若两切线的斜率均存在,设过点p(x0,y0)的切线方程是y=k(x-x0)+y0,则由y=k(x-x0)+y0,x29+y24=1,得x29+k(x-x0)+y024=1,即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,因为直线与椭圆c相切,所以=18k(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,整理得(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0.又所引的两条切线相互垂直,设两切线的斜率分别为k1,k2,于是有k1k2=-1,即y02-4x02-9=-1,即x02+y02=13(x03).若两切线中有一条斜率不存在,则易得x0=3,y0=2或x0=-3,y0=2或x0=3,y0=-2或x0=-3,y0=-2.经检验知均满足x02+y02=1