高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第3讲 几何概型课件 文.ppt

第3讲几何概型 1 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称 为 几何概型 2 几何概型中 事件a的概率计算公式 p a 构成事件a的区域长度 面积或体积 区域的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 3 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 注意 几何概型的试验中 事件a的概率p a 只与子区域a的几何度量 长度 面积或体积 成正比 而与a的位置和形状无关 求试验中几何概型的概率 关键是求得事件所占区域和 整个区域 的几何度量 然后代入公式即可求解 1 如图9 3 1 四个可以自由转动的转盘被平均分成若干个扇形 转动转盘 转盘停止转动后 有两个转盘的指针指向白色 c 区域的概率相同 则这两个转盘是 图9 3 1 a 转盘1和转盘2c 转盘2和转盘4 b 转盘2和转盘3d 转盘3和转盘4 2 一只蚂蚁在三边边长分别为3 4 5的三角形的边上爬行 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 d 1 3 如图9 3 2 一只蚂蚁在边长分别为3 4 5的三角形区域内随机爬行 则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率 为 d 图9 3 2 a 12 b 1 3 c 1 6 12 4 取一根长度为4m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那 么剪得的两段都不少于1m的概率是 c a 14 b 13 c 12 d 23 解析 把绳子4等分 当剪断点位于中间两部分时 两段 考点1 与长度 角度 有关的几何概型 例1 1 2013年福建 利用计算机产生0 1之间的均匀随机数a 则事件 3a 1 0 发生的概率为 解析 事件 3a 1 0 发生的概率可转化为长度之比 则 答案 23 2 2014年湖南 在区间 2 3 上随机选取一个数x 则x 1 的概率为 a 45 b 35 c 25 d 15 解析 在区间 2 3 上符合x 1的区间为 2 1 因为区间 2 3 的长度为5 区间 2 1 的长度为3 根据几何概型的35答案 b 概率计算公式可得p 规律方法 应用几何概型求概率的步骤 把每一次试验当作一个事件 看事件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个 若是 则考虑用几何概型 将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形 并加以度量 将几何概型转化为长度 面积 体积之比 应用几何概 型的概率公式求概率 面积不小于的概率是 互动探究 1 在面积为s的 abc的边ab上任取一点p 则 pbc的 a a 23 b 13 c 34 d 14 解析 如图d53 取ab的三等分点p 如 概率为p ap2ab3 图d53 果在线段bp上取点 pbc的面积小于 如果 在线段ap上取点 pbc的面积不小于 所以 考点2 与面积 或体积 有关的几何概型 例2 1 如图9 3 3 向面积为s的 abc内任投一点p 图9 3 3 则 pbc的面积小于的概率为 答案 34 图d51 2 如图9 3 4 在长方体abcd a1b1c1d1中 有一动点在此长方体内随机运动 则此动点在三棱椎a a1bd内的概率为 图9 3 4 答案 16 1 2 3 图d52 答案 b 规律方法 如果试验结果构成的试验区域的几何测度可用面积或体积表示 那么概率的计算公式为p a 构成事件a的区域长度 面积或体积 区域的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 互动探究 2 2014年辽宁 若将一个质点随机投入如图9 3 5所示的长方形abcd中 其中ab 2 bc 1 则质点落在以ab为直径 的半圆内的概率是 图9 3 5 a 2 b 4 c 6 d 8 b 考点3 与线性规划有关的几何概型 例3 甲 乙两人约定上午9时至12时在某地点见面 并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过1小时 1小时之内若对方不来 则离去 如果他们两个人在9时到12时之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的 求他们见到面的概率 思维点拨 1 考虑甲 乙两人分别到达某地点的时间 我们以9时为起时 在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约定地点的时间 y轴表示乙到达约定地点的时间 用0时到3时表示9时至12时的时间段 则横轴0时到3时与纵轴0时到3时的正方形中任一时的坐标 x y 就表示甲 乙两人分别在9时至12时时间段内到达的时间对 2 两人能会面的时间必须满足 x y 1 这就将问题化归为几何概型问题 32 2 22 32 解 设9时后过了x小时甲到达 9时后过了y小时乙到达 取点q x y 则0 x 3 0 y 3 两人见到面的充要条件是 x y 1 如图9 3 6 其概率是 p 9 图9 3 6 规律方法 将随机事件转化为面积之比时 要注意哪部分代表总的基本事件表示的区域 哪部分是所求事件所表示的区域 5 互动探究 3 2014年重庆 由人教版教材必修3p137 例2改编 某校早上8 00开始上课 假设该校学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 用数字作答 解析 如图d54 用x表示小张到校的时间 30 x 50 用y表示小王到校的时间 30 y 50 则所有可能的结果对应平面直角坐标系的正方形abcd区域 小张比小王至少早5分钟到校 即y x 5 所对应的区域为 def 图d54 所以p 小张比小王至少早5分钟到校 12 15 1520 20 932 答案 932 易错 易混 易漏 几何概型中容易混淆几何量的比例题 1 在rt abc中 a 30 过直角顶点c作射 线cm交线段ab于点m 则使 am ac 的概率为 正解 如图9 3 7 取ad ac a 30 此时 acd 75 欲使 am ac cm必须在 bcd内 其概率为 图9 3 7答案 b 2 在rt abc中 a 30 在斜边ab上任取一点m 则使 am ac 的概率为 a 13 b 16 c 2 2 d 34 正解 如图9 3 8 取ad ac am ac 欲使 am ac 点m必须在线段bd内 其概率为 2 2 图9 3 8答案 c 失误与防范 请注意两题的区别 过直角顶点c作射线cm交线段ab于点m 在斜边ab上任取一点m 前者cm在直角内等可能 结果应该为角度的比 后者m为斜边ab上任一点 结果应该为斜边ab上的长度比 1 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型 二者的共同点是基本事件都是等可能的 不同点是基本事件的个数一个是无限的 一个是有限的 基本事件可抽象为点 对于几何概型 这些点尽管是无限的 但它们与所占据的区域却是有限的 根据等可能性 这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比 而与该区域的位置和形状无关 2 对一个具体问题 可以将其几何化 如建立坐标系将试 验结果和点对应 然后利用几何概型概率公式 1 一般地 一个连续变量可建立与长度有关的几何概型 只需