复数及数系的扩充.doc

目标认知考试大纲要求：1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。重点、难点：复数的概念，复数的代数形式及其加减运算知识要点梳理:知识点一：复数的基本概念1.虚数单位:（1）它的平方等于，即；（2）与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4）的周期性：，（）.2. 概念形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数（），当且仅当时，复数是实数；当且仅当时，复数叫做虚数；当且仅当且时，复数叫做纯虚数；当且仅当时，复数就是实数0.所以复数的分类如下:（）5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果，那么.特别地: .应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。6.共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数和（）互为共轭复数。知识点二：复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。2.四则运算；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。知识点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。2.复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即.理解:（1）向量与点以及复数有一一对应；（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。3.复数加法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。4.复数减法的几何意义：两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。规律方法指导1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。经典例题精析类型一：复数的有关概念1. 求当实数取何值时，复数分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。思路点拨:利用复数的有关概念易求得。解析： （1）当即或时，复数为实数；（2）当即且时，复数为虚数；（3）当即m=-1时，复数为纯虚数.总结升华：复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：()；是纯虚数（）；.举一反三：【变式1】为何实数时，复数分别是 (1)实数； (2) 纯虚数； (3)零.【答案】： (1)当即或时，复数是实数； (2) 当即当时，复数是纯虚数； (3)当即时，复数是零。【变式2】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足： (1)是纯虚数； (2)对应的点位于复平面的第二象限。【答案】 (1)当即时，复数是纯虚数； (2)当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.【变式3】设,（）,且是纯虚数，求、应满足的条件。【答案】设()，则即即,消去参数即得：.【变式4】已知复数满足且,则复数（ ） A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数 C.必为实数 D.可能是实数也可能是虚数【答案】法1 设（），有,. 则，故应选C。法2 ,.法3 ， .类型二：复数的代数形式的四则运算2. 计算：思路点拨: 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。解析： 总结升华：复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。举一反三：【变式1】计算【答案】： 【变式2】【答案】：原式= 类型三：复数的几何意义3.已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.思路点拨: 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。解析： ，解得. 的取值范围为.总结升华：每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。举一反三：【变式1】若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B.C. D.【答案】：所对应的点在第二象限且，且，故选D。【变式2】已知是复数，和均为实数，且复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围。【答案】：设()，由题意得，由题意得，根据已知条件有，解得，实数的取值范围是.类型四：化复数问题为实数问题4.设，求满足且的复数.思路点拨: 设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。解析：设（），则 即，或（1）当时，或 当不合题意舍去，时（2）当时， 又，由，解得，综上，或总结升华：复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。举一反三：【变式1】设复数满足则（ ）。A、0 B、1 C、D、2【答案】：设（），则即，解得,， ，故选C。【变式2】已知复数，求实数使【答案】：, , ，解得或【变式3】令,求使方程成立的复数.【答案】：令()，则原方程化为:即， ，解之有或(舍去）当时，复数.【变式4】已知互为共轭复数，且,求. 【答案】设（），则, 代入原等式得：，解得：或或或， 或 或 或。5. 求使关于的方程至少有一个实根的实数.思路点拨: 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。解析：设为方程的一个实根，则有即，解得.总结升华：设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。 举一反三：【变式】已知方程有实根，求实数.【答案】：设实根为, 则,即 ，解得 为所求.【变式2】已知，方程的两根为、，求.【答案】：， 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。(1)当，即时，方程的根、为实数根， 由韦达定理 又 当时，, 当时，.(2)当,即时，方程的根、为虚根。 6. 已知，对于任意均有成立，试求实数的取值范围。思路点拨:求出及，利用问题转化为时不等式恒成立问题。解析：，对恒成立。当，即时，不等式成立；当时，解得综上，实数的取值范围：.总结升华：本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围。举一反三：【变式1】已知, (), 且，求的取值范围.【答案】：,., 解之得.【变式2】已知：。求实数.【答案】：即 或.【变式3】设是虚数，是实数，且.（1）求的值及的实部的取值范围；（2）设，求证：为纯虚数；（3）求的最小值。【答案】：（1）解：设（，)，则是实数， ，即， 即的实部的取值范围是：.（2）证明：， 为纯虚数.（3）解：， （当且仅当即时，上式取等号）的最小值1.1（2007湖南）复数等于（ ）A B C D2（2007江西）化简的结果是（） 3（2007全国II）设复数满足，则（ ）A B C D4.（2007四川）复数的值是（）（A）0 (B)1 (C)-1 (D)15.（2007天津）是虚数单位，（） 6.（2007安徽）若为实数，则等于（ ）A B C D7.（2007全国I）设是实数，且是实数，则（ ）A B C D8.（2007广东）若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=（）(A) -2 (B) - (C) (D) 29.（2007山西）在复平面内，复数z=对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限10.（2007山东）（1）若（i为虚数单位），则使的值可能是（ ）A B C D11.（2007北京）_12.（2007海南、宁夏）是虚数单位，_（用的形式表示，）13.（2007重庆）复数的虚部为_1