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实验一 离散傅里叶变换的性质一、 实验目的1、 掌握离散傅里叶变换的性质，包括线性特性、时移特性、频移特性、对称性和循环卷积等性质；2、 通过编程验证傅里叶变换的性质，加强对傅里叶变换性质的认识。二、 实验原理和方法1. 线性特性2. 时移特性3. 频移特性4. 对称性设由x(n) 延拓成的周期序列为 则共轭对称序列共轭反对称序列将 和 截取主周期，分别得 则x(n)序列的实部和虚部的离散立叶变换 当x(n)为实数序列5. 循环卷积有限长序列线性卷积与循环卷积的关系x1(n)和x2(n)的线性卷积：将x1(n)和x2(n)延拓成以N为周期的周期序列 则它们的周期卷积为x1(n)和x2(n)周期延拓后的周期卷积等于他们的线性卷积的的周期延拓三、 实验内容和步骤x1n，x2n 为长度N=8的实序列，x1n=1 3 5 3 6 8 3 9，x2n=2 4 3 6 7 9 0 2 ， x3n，x4n 为长度N=8的随机复序列，x3n=1+2j 3+4j 5+3j 3+4j 6+j 8+2j 3+3j 9+2j，x4n=4+1j 6+4j 4+3j 3+4j 7+j 8+3j 3+4j 1+2j，采用MATLAB编程验证傅里叶变换的如下性质1. 线性特性a. 给出序列x1n的傅里叶变换X1k，并画出其幅度谱和相位谱程序如下：clear all;x1=1 3 5 3 6 8 3 9;n=0:length(x1)-1;X1=fft(x1);R1=real(X1);I1=imag(X1);M1=abs(X1);phase1=atan2(I1,R1);%angle(X);subplot(2,1,1),stem(n,M1,r*);title(幅度谱);subplot(2,1,2),stem(n,phase1,r*);title(相位谱);b. 给出序列x2n的傅里叶变换X2k ，并画出其幅度谱和相位谱程序如下：x2=2 4 3 6 7 9 0 2;n=0:length(x2)-1;X2=fft(x2);R2=real(X2);I2=imag(X2);M2=abs(X2);phase2=atan2(I2,R2);%angle(X);subplot(2,1,1),stem(n,M2,r);title(幅度谱);subplot(2,1,2),stem(n,phase2,r);title(相位谱);c. 给出序列Z=2*X1k+6*x2k,并与序列2*x1n+6*x2n的傅里叶变换比较，Z1=2*X1+6*X2;RZ1=real(Z1);IZ1=imag(Z1);MZ1=abs(Z1);phaseZ1=atan2(IZ1,RZ1);%angle(X);subplot(2,2,1),stem(n,MZ1,r*);title(幅度谱);subplot(2,2,2),stem(n,phaseZ1,r*);title(相位谱); z2=2*x1+6*x2;Z2=fft(z2);RZ2=real(Z2);IZ2=imag(Z2);MZ2=abs(Z2);phaseZ2=atan2(IZ2,RZ2);%angle(X);subplot(2,2,3),stem(n,MZ2,*);title(幅度谱);subplot(2,2,4),stem(n,phaseZ2,*);title(相位谱);2. 时移特性a. 给出序列x1n右移3位后的傅里叶变换的幅度谱和相位谱，并和原始序列的幅度谱和相位谱相比较clear all;x1=1 3 5 3 6 8 3 9;N=length(x1);xc=circshift(x1,1,3);% xcn= x1n-3;n=0:length(x1)-1;X=fft(x1);R=real(X);I=imag(X);M=abs(X);phase=atan2(I,R);%angle(X);Xc=fft(xc);Rc=real(Xc);Ic=imag(Xc);Mc=abs(Xc);phasec=atan2(Ic,Rc);%angle(X);subplot(2,2,1),stem(n,M,*);title(原序列幅度谱);subplot(2,2,2),stem(n,phase,*);title(原序列相位谱);subplot(2,2,3),stem(n,Mc,r*);title(移位序列幅度谱 );subplot(2,2,4),stem(n,phasec,r*);title(移位序列相位谱 );时域移位，频域上频谱幅度不变，但相位改变。即时域移位相当于频域调制。3. 对称性（1）利用x1n构造共轭对称序列和共轭反对称序列，讨论如下问题（a） 画出共轭对称序列的傅里叶变换的幅度谱和相位谱（b） 画出共轭对称序列的傅里叶变换的实部和虚部（c） 画出该共轭反对称序列的傅里叶变换的幅度谱和相位谱（d） 画出该共轭反对称序列的傅里叶变换的实部和虚部（整体的程序）clear all;x1=1 3 5 3 6 8 3 9;N=length(x1);x2(1)=x1(1);for i=2:N x2(i)=x1(N+2-i);endxe=(x1+conj(x2)/2;xo=(x1-conj(x2)/2;n=0:N-1;Xo=fft(xo);Ro=real(Xo);Io=imag(Xo);Mo=abs(Xo);phaseo=atan2(Io,Ro);%angle(X);figure(1),subplot(2,2,1),stem(n,Ro,r);title(共轭反对称序列的频谱实部);subplot(2,2,2),stem(n,Io,r);title(共轭反对称序列的频谱虚部);subplot(2,2,3),stem(n,Mo,r);title(共轭反对称序列的幅度谱);subplot(2,2,4),stem(n,phaseo,r);title(共轭反对称序列的相位谱);Xe=fft(xe);Re=real(Xe);Ie=imag(Xe);Me=abs(Xe);phasee=atan2(Ie,Re);%angle(X);figure(2),subplot(2,2,1),stem(n,Re,r*);title(共轭对称序列的频谱实部);subplot(2,2,2),stem(n,Ie,r*);title(共轭对称序列的频谱虚部);subplot(2,2,3),stem(n,Me,r*);title(共轭对称序列的幅度谱);subplot(2,2,4),stem(n,phasee,r*);title(共轭对称序列的相位谱);（2）当x(n)为复序列时，推导傅里叶变换公式，利用x3n构造共轭对称序列和共轭反对称序列，讨论如下问题（a）画出该共轭对称序列的傅里叶变换的幅度谱和相位谱（b）画出该共轭对称序列的傅里叶变换的实部和虚部（c）画出该共轭反对称序列的傅里叶变换的幅度谱和相位谱（d）画出该共轭反对称序列的傅里叶变换的实部和虚部clear all;x3=1+2j 3+4j 5+3j 3+4j 6+1j 8+2j 3+3j 9+2j;N=length(x3);x2(1)=x3(1);for i=2:N x2(i)=x3(N+2-i);endxe=(x3+conj(x2)/2;xo=(x3-conj(x2)/2; n=0:N-1; Xo=fft(xo);Ro=real(Xo);Io=imag(Xo);Mo=abs(Xo);phaseo=atan2(Io,Ro);%angle(X); figure(1),subplot(2,2,1),stem(n,Ro,r*);title();subplot(2,2,2),stem(n,Io,r*);title();subplot(2,2,3),stem(n,Mo,r*);title();subplot(2,2,4),stem(n,phaseo,r*);title(); Xe=fft(xe);Re=real(Xe);Ie=imag(Xe);Me=abs(Xe);phasee=atan2(Ie,Re);%angle(X);figure(2),subplot(2,2,1),stem(n,Re,r*);title();subplot(2,2,2),stem(n,Ie,r*);title();subplot(2,2,3),stem(n,Me,r*);title();subplot(2,2,4),stem(n,phasee,r*);title();（e）总结共轭对称和共轭反对称的实数序列和复数序列的傅里叶变换性质 偶对称实序列的傅立叶变换是偶对称实函数，奇对称实序列的傅立叶变换纯虚奇函数，共轭对称复序列的傅立叶变换是实函数，共轭反对称复序列的傅立叶变换是纯虚函数。4. 循环卷积(1) 计算序列x1n和x2n的线性卷积yn，计算x1n 和x2n的傅里叶变换X1k和X2k，Yk=X1k*X2k，求Yk的反傅里叶变换y2n（y2n即为x1n和x2n的循环卷积），比较yn与y2n的异同.程序如下：clear all;x1=1 3 5 3 6 8 3 9;x2=2 4 3 6 7 9 0 2;M=length(x1);N=length(x2); x10=x1,zeros(1,N-1);x20=x2,zeros(1,M-1);X10=fft(x10);X20=fft(x20);Y=X10.*X20;y=ifft(Y); y1=conv(x1,x2); m=0:length(x1)-1;n=0:length(x2)-1;ny=0:length(y)-1; figure(1),subplot(2,2,1),stem(m,x1,b*);title(序列1);subplot(2,2,2),stem(n,x2,b*);title(序列2);subplot(2,2,3),stem(ny,y,b*);title(圆周卷积);subplot(2,2,4),stem(ny,y1,b*);title(线性卷积);当N大于或等于N1+N2-1时，可以利用循环卷积直接求得线性卷积。5.补零用MATLAB计算如下N点序列的M点DFT： = （1）取N=8，M=8 （2）取N=8，M=16（3）取N=8，M=32clear all;N=8;M1=8;M2=24;x1=ones(1,N);x2=x1,zeros(1,M1);x3=x1,zeros(1,M2); X1=fft(x1);X2=fft(x2);X3=fft(x3); RX1=real(X1);IX1=imag(X1);MX1=abs(X1);phaseX1=atan2(IX1,RX1);%angle(X); RX2=real(X2);IX2=imag(X2);MX2=abs(X2);phaseX2=atan2(IX2,RX2);%angle(X); RX3=real(X3);IX3=imag(X3);MX3=abs(X3);phaseX3=atan2(IX3,RX3);%angle(X); m=0:length(x1)-1;n=0:length(x2)-1;k=0:length(x3)-1; subplot(2,3,1),stem(m,MX1,r*);title(原序列幅度谱);subplot(2,3,2),stem(n,MX2,r*);title(补8个零的幅度谱);subplot(2,3,3),stem(k,MX3,r*);title(补24个零的幅度谱);subplot(2,3,4),stem(m,phaseX1,r*);title(原序列相位谱);subplot(2,3,5),stem(n,phaseX2,r*);title(补8个零的相位谱);subplot(2,3,6),stem(k,phaseX3,r*);title(补24个零的相位谱);根据实验结果，分析延长序列的离散傅里叶变换的特点。 序列补零延长后，相当于在频域增加采样点，即改善了其栅栏效应。四、 实验报告要求1、 按照实验设计完成实验内容，要求保存对应实验内容的程序和图形；2、 记录实验过程中遇到的主要问题，并解释问题产生原因和解决办法；实验二 IIR滤波器设计一、 实验目的1、 掌握冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR滤波器的原理及具体设计方法，熟悉用双线性设计法设计低通IIR数字滤波器的计算机程序；2、 熟悉模拟Butterworth滤波器的设计，掌握冲激响应不变法和双线性变换法设计数字IIR滤波器的方法。二、 实验原理和方法IIR滤波器设计的过程可以首先设计模拟滤波器，然后采用冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器。Butterworth滤波器， 其中为3dB截止频率，N为滤波器阶次，均待定。模拟滤波器的设计步骤：首先根据数字滤波器设计要求计算模拟滤波器指标；其次要求出滤波器的阶次N和三、 实验内容1. 采样频率为1Hz，设计一个Butterworth低通数字滤波器，其中通带临界频率，通带内衰减小于1dB()，阻带临界频率，阻带内衰减大于25dB()。求这个数字滤波器的传递函数H(z)，输出它的幅频特性曲线。利用冲激响应不变法和双线性变换法实现该滤波器，并将结果进行比较。程序如下：(1) 脉冲响应不变法Wp=2*pi*0.2;Ws=2*pi*0.3;Rp=1;Rs=25;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)z,p,k=buttap(N)B,A=butter(N,Wn,s)f1=linspace(0,Wp,5);f2=linspace(Wp,Ws,15);f3=linspace(Ws,2*pi*10,30);h1=20*log10(abs(freqs(B,A,f1); h2=20*log10(abs(freqs(B,A,f2); h3=20*log10(abs(freqs(B,A,f3); plot(f1 f2 f3/(2*pi),h1,h2,h3); grid; xlabel(Frequency in Hz) ylabel(Gain in dB)fs=1;bz,az=impinvar(B,A,fs)脉冲响应不变法由实验得:（2）双线性不变法程序如下:Wp=2*pi*0.2;Rp=1;Ws=2*pi*0.3;Rs=25;T=1, Fs=1/T omegap=(2/T)*tan(Wp/2); omegas=(2/T)*tan(Ws/2); N,Wn=buttord(omegap,omegas,Rp,Rs,s) B,A=butter(N,Wn,s) b,a=bilinear(B,A,Fs)h,w=freqz(b,a,256);h1=20*log10(abs(h);plot(w/pi,h1); gridxlabel(Digital Frequency in pi units)ylabel(Gain in dB)axis(0 1 -80 10)四、 实验报告要求3、 按照实验设计完成实验内容，要求保存对应实验内容的程序和图形；4、 记录实验过程中遇到的主要问题，并解释问题产生原因和解决办法；实验三 FIR滤波器设计一、 实验目的1、 熟悉FIR滤波器设计的基本方法；2、 掌握窗函数法设计FIR滤波器的原理和方法；3