湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.3等差数列的前n项和导学案（含解析）新人教版必修5 (2).doc

第二章 第三节 等差数列前n项和目标定位：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等数列的五个基本量之间的关系。 2.掌握等差数列前n项和公式，性质及其应用。（重点） 3.能熟练应用公式解决实际问题并体会方程思想。（难点）数列的前n项和导入新知数列的前n项和对于数列an，一般地称a1a2an为数列an的前n项和，用sn表示，即sna1a2an.化解疑难数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.等差数列的前n项和提出问题如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层，等腰梯形问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？提示：(49)678.问题3：原来有多少根钢管？提示：7839.问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式sna1a2an?提示：sna1a2an，snanan1a1，相加：2sn(a1an)(a2an1)(ana1)n(a1an)，sn.问题5：试用a1，d，n表示sn.提示：ana1(n1)d，snna1d.导入新知等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式snsnna1d化解疑难等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及到a1，d，n，an及sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好等差数列前n项和的有关计算例1(2012北京高考)(1)已知an为等差数列，sn为其前n项和，若a1，s2a3，则a2_；sn_.(2)在等差数列an中，已知d2，an11，sn35，求a1和n.(1)解析设公差为d，则由s2a3得2a1da12d，所以da1，故a2a1d1，snna1d.答案1(2)解由得解方程组，得或类题通法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用活学活用1已知等差数列an(1)a1，a15，sn5，求n和d；(2)a14，s8172，求a8和d.解：a15(151)d，d.又snna1d5，解得n15，n4(舍)(2)由已知，得s8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.已知sn求通项公式an例2已知数列an的前n项和sn2n2n2.(1)求an的通项公式；(2)判断an是否为等差数列？解(1)sn2n2n2，当n2时，sn12(n1)2(n1)22n25n1，ansnsn1(2n2n2)(2n25n1)4n3.又a1s11，不满足an4n3，数列an的通项公式是an(2)由(1)知，当n2时，an1an4(n1)3(4n3)4，但a2a15164，an不满足等差数列的定义，an不是等差数列类题通法已知数列an的前n项和公式sn，求通项公式an的步骤：(1)当n1时，a1s1.(2)当n2时，根据sn写出sn1，化简ansnsn1.(3)如果a1也满足当n2时，ansnsn1的通项公式，那么数列an的通项公式为ansnsn1；如果a1不满足当n2时，ansnsn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为an(如本例)活学活用2已知下面各数列an的前n项和sn的公式，求an的通项公式(1)sn2n23n；(2)sn3n2.解：(1)当n1时，a1s1212311；当n2时，sn12(n1)23(n1)2n27n5，则ansnsn1(2n23n)(2n27n5)2n23n2n27n54n5.此时若n1，an4n54151a1，故an4n5.(2)当n1时，a1s13121；当n2时，sn13n12，则ansnsn1(3n2)(3n12)3n3n133n13n123n1.此时若n1，an23n123112a1，故an等差数列前n项和的性质例3(1)(2012辽宁高考)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11()a58b88c143 d176(2)等差数列an中，s10100，s10010，求s110.(1)解析利用等差数列的性质及求和公式求解因为an是等差数列，所以a1a11a4a82a616a68，则该数列的前11项和为s1111a688.答案b(2)解数列an为等差数列，s10，s20s10，s30s20，s110s100也成等差数列设其公差为d，则s10(s20s10)(s30s20)(s100s90)s100，即10s10ds10010.又s10100，代入上式，得d22，s110s100s10(111)d10010(22)120，s110120s100110.类题通法等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，sk，s2ksk，s3ks2k组成公差为k2d的等差数列(2)数列an是等差数列snan2bn(a，b为常数)数列为等差数列(3)若s奇表示奇数项的和，s偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数2n时，s偶s奇nd，；当项数为奇数2n1时，s奇s偶an，.活学活用3(1)等差数列an中，a2a7a1224，则s13_.解析：因为a1a13a2a122a7，又a2a7a1224，所以a78.所以s13138104.答案：104(2)在等差数列an中，若s41，s84，则a17a18a19a20的值为()a9 b.12c16 d17解析：选a由等差数列的性质知s4，s8s4，s12s8，也构成等差数列，不妨设为bn，且b1s41，b2s8s43，于是可求得b35，b47，b59，即a17a18a19a20b59.等差数列前n项和的最值例4在等差数列an中，a125，s17s9，求前n项和sn的最大值解法一：由s17s9，得2517d259d，解得d2，sn25n(2)(n13)2169.由二次函数性质得，当n13时，sn有最大值169.法二：先求出d2(同法一)，a1250，由，得即12n13.当n13时，sn有最大值169.类题通法求等差数列的前n项和sn的最值通常有两种思路(1)将snna1dn2(a1)n配方转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数n使sn取最大值当a10时，满足的项数n使sn取最小值活学活用4已知an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和sn的最大值解：(1)设an的公差为d，由已知条件，得解得a13，d2.所以ana1(n1)d2n5.(2)snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，sn最大，且最大值为4.随堂即时演练1若等差数列an的前5项和s525，且a23，则a7等于()a12b13c14 d15解析：选b由s55a325，a35.da3a2532.a7a25d31013.2设sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则s7等于()a13 b.35c49 d63解析：选c法一：设数列an公差为d，解得于是s771249.法二：由等差数列前n项和公式及性质知s749.3已知数列的通项公式an5n2，则其前n项和sn_.解析：an5n2，数列an是等差数列，且a13，公差d5，sn.答案：4在数列an中，a132，an1an4，则当n_时，前n项和sn取最大值，最大值是_解析：dan1an