三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.4 直线、平面平行的判定与性质课件.ppt

7 4直线 平面平行的判定与性质 1 直线与平面的位置关系 2 直线和平面平行 1 定义 直线l与平面 没有公共点 则称直线l与平面 平行 记作l 2 判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 简记为 3 性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线就和交线平行 简记为 3 两个平面平行 1 定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面 符号表示 平面 平面 若 则 线线平行 线面平行 线面平行 线线平行 2 判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行 面面平行 3 性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行 线线平行 4 线线平行 线面平行 面面平行的转换 5 解答或证明线面平行 面面平行的有关问题 常常要作辅助线或辅助面 1 2015浙江五校第一次联考 设m n表示两条不同的直线 表示两个不同的平面 则下列结论中正确的是 a 若m m n 则n b 若m n m n 则 c 若 m m n 则n d 若 m n m n 则n 答案da选项不正确 n还有可能在平面 内 b选项不正确 还有可能平面 与平面 相交 c选项不正确 n还有可能在平面 内 d选项正确 c 2 为平面 m n是两条不同的直线 则m n的一个充分条件是 a m 且n b m n与平面 所成的角相等c m 且n d m n到平面 的距离相等答案c若m 且n 则m n 反之 不成立 故选c c 3 已知三条不重合的直线m n l 两个不重合的平面 给出下列命题 若m n n 则m 若l m 且l m 则 若m n m n 则 若 m n n m 则n 其中真命题的个数是 a 0b 1c 2d 3答案cm可能在 内 错 由l m m 得l 由l l 得 对 只有当m与n相交时 才有 错 根据面面垂直的性质定理知 对 故选c c 4 在空间中 有如下命题 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 平面 则平面 内任意一条直线m 平面 若平面 与平面 的交线为m 平面 内的直线n 直线m 则直线n 平面 若平面 内的三点a b c到平面 的距离相等 则 其中正确命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 中 若平面 内的三点a b c在同一条直线上 则平面 与平面 可以相交 所以 错误 综上 只有命题 正确 答案a 中 互相平行的两条直线的射影可能重合 也可能为两个点 正确 中 平面 与平面 不一定垂直 所以直线n不一定垂直于平面 5 如图所示 在四面体abcd中 m n分别是 acd bcd的重心 则四面体的四个面中与mn平行的是 答案平面abc 平面abd解析连结am并延长 交cd于e 连结bn并延长 交cd于f 由重心性质可知 e f重合为一点 且该点为cd的中点 由 得mn ab 又mn 平面abc mn 平面abd ab 平面abc ab 平面abd 因此 mn 平面abc mn 平面abd c 6 2015浙江杭州西湖高级中学月考 如图所示 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 e f g h分别是棱cc1 c1d1 d1d dc的中点 n是bc的中点 点m在四边形efgh及其内部运动 则m满足条件时 有mn 平面b1bdd1 答案m 线段fh解析连结fh hn fn 由题意易得平面hnf 平面b1bdd1 故当m点在 线段fh上时 有mn 平面b1bdd1 c 直线与平面平行的判定与性质典例1 2014北京 17 14分 如图 正方形amde的边长为2 b c分别为am md的中点 在五棱锥p abcde中 f为棱pe的中点 平面abf与棱pd pc分别交于点g h 1 求证 ab fg 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 解析 1 证明 在正方形amde中 因为b是am的中点 所以ab de 又因为ab 平面pde de 平面pde 所以ab 平面pde 因为ab 平面abf 且平面abf 平面pde fg 所以ab fg 2 因为pa 底面abcde 所以pa ab pa ae 建立空间直角坐标系a xyz如图 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 2 1 0 p 0 0 2 f 0 1 1 1 1 0 设平面abf的法向量为n x y z 则即令z 1 则y 1 所以n 0 1 1 设直线bc与平面abf所成角为 则sin cos 因此直线bc与平面abf所成角的大小为 设点h的坐标为 u v w 因为点h在棱pc上 所以可设 0 1 即 u v w 2 2 1 2 所以u 2 v w 2 2 因为n是平面abf的法向量 所以n 0 即 0 1 1 2 2 2 0 解得 所以点h的坐标为 所以ph 2 线面平行的判定方法 1 定义法 证明直线与平面没有公共点 通常要借助于反证法来证明 2 判定定理法 在平面内找到一条直线与已知直线平行 3 利用面面平行的性质定理证明直线为一平面与两平行平面的交线 4 向量法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 或证明直线的方向向量能被平面上的两个不共线向量线性表示 1 1 2015浙江深化课程改革协作校期中 20 1 7分 已知三棱柱abc a1b1c1 o为bc的中点 求证 a1b 平面aoc1 证明证法一 连结a1c 交ac1于d 连od 则d为a1c的中点 又o为bc的中点 a1b od 又a1b 平面aoc1 od 平面aoc1 a1b 平面aoc1 证法二 取b1c1的中点e 连结be a1e oe o为bc的中点 且四边形bcc1b1为平行四边形 bo ec1 四边形boc1e为平行四边形 be oc1 又oc1 平面aoc1 be 平面aoc1 be 平面aoc1 o为bc的中点 e是b1c1的中点 oe bb1 且oe bb1 又aa1 bb1 oe aa1 且oe aa1 则四边形aa1eo为平行四边形 a1e ao 又ao 平面aoc1 a1e 平面aoc1 a1e 平面aoc1 a1e be e 平面a1be 平面aoc1 又a1b 平面a1be a1b 平面aoc1 证法三 又a1b 平面aoc1 oa 平面aoc1 oc1 平面aoc1 oa oc1 o a1b 平面aoc1 1 2 2014安徽 19 13分 如图 四棱锥p abcd的底面是边长为8的正方形 四条侧棱长均为2 点g e f h分别是棱pb ab cd pc上共面的四点 平面gefh 平面abcd bc 平面gefh 解析 1 证明 因为bc 平面gefh bc 平面pbc 且平面pbc 平面gefh gh 所以gh bc 同理可证ef bc 因此gh ef 2 连结ac bd交于点o bd交ef于点k 连结op gk 1 证明 gh ef 2 若eb 2 求四边形gefh的面积 c 因为pa pc o是ac的中点 所以po ac 同理可得po bd 又bd ac o 且ac bd都在底面内 所以po 底面abcd 又因为平面gefh 平面abcd 且po 平面gefh 所以po 平面gefh 因为平面pbd 平面gefh gk 所以po gk 且gk 底面abcd 从而gk ef 所以gk是梯形gefh的高 由ab 8 eb 2得eb ab kb db 1 4 从而kb db ob 即k为ob的中点 再由po gk得gk po 即g是pb的中点 且gh bc 4 由已知可得ob 4 po 6 所以gk 3 故四边形gefh的面积s gk 3 18 平面与平面平行的判定与性质典例2 2015浙江杭州模拟 18 15分 如图所示 棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd为菱形 平面aa1c1c 平面abcd 1 求证 平面ab1c 平面da1c1 2 在直线cc1上是否存在点p 使bp 平面da1c1 若存在 求出点p的位置 若不存在 说明理由 解析 1 证明 由棱柱abcd a1b1c1d1的性质知ab1 dc1 a1d b1c 又ab1 b1c b1 a1d dc1 d 所以平面ab1c 平面da1c1 2 存在这样的点p满足题意 a1b1 ab dc 四边形a1b1cd为平行四边形 a1d b1c 在c1c的延长线上取点p 使c1c cp 连结bp b1b cc1 bb1 cp 四边形bb1cp为平行四边形 bp b1c bp a1d 又bp 平面da1c1 a1d 平面da1c1 bp 平面da1c1 证明面面平行的方法 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 面面平行的性质的应用有两个 一是转化为线线平行 一般是找到 或作出 第三个平面 使它与两已知平面相交 从而转化为线线平行 二是转化为线面平行 2 1 2013陕西 18 12分 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd是正方形 o是底面中心 a1o 底面abcd ab aa1 1 证明 平面a1bd 平面cd1b1 2 求三棱柱abd a1b1d1的体积 解析 1 证明 由题设知 bb1 dd1 四边形bb1d1d是平行四边形 bd b1d1 又bd 平面cd1b1 bd 平面cd1b1 a1d1 b1c1 bc 四边形a1bcd1是平行四边形 a1b d1c 又a1b 平面cd1b1 a1b 平面cd1b1 又 bd a1b b 平面a1bd 平面cd1b1 2 a1o 平面abcd a1o是三棱柱abd a1b1d1的高 又 ao ac 1 aa1 a1o 1 又 s abd 1 s abd a1o 1 平行关系的综合应用典例3 2015浙江丽水调研 18 15分 一个多面体的直观图和三视图如图所示 其中m是ab的中点 g是df上的一动点 1 求该多面体的体积与表面积 2 当fg gd时 在棱ad上确定一点p 使得gp 平面fmc 并给出证明 解析 1 由题图可知该多面体为直三棱柱 在 adf中 ad df df ad dc a 所以该多面体的体积为a3 表面积为a2 2 a2 a2 a2 3 a2 2 解法一 点p与点a重合时 gp 平面fmc 如图 取fc的中点h 连结gh ga mh g是df的中点 gh cd 又m是ab的中点 am cd gh am且gh am 四边形ghma是平行四边形 ga mh 又 mh 平面fmc ga 平面fmc ga 平面fmc 即当点p与点a重合时 gp 平面fmc 解法二 当点p与点a重合时 gp 平面fmc 取cd的中点i 连结gi ag 则gi cf 又gi 平面cmf cf 平面cmf 所以gi 平面cmf 连结ia 则 ia cm 同理可证ia 平面cmf 所以平面gia cmf 又ga 平面gia 所以ga 平面cmf 因此当点p与点a重合时 gp 平面fmc 解法三 当点p与点a重合时 gp 平面fmc 若gp 平面fmc 则可以用平面fmc内不共线的两个向量线性表示 设 则 当 1时 所以gp 平面fmc 此时 p在a处 当 1时 不在平面fmc内 不能满足gp 平面fmc 3 1 2015