三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6 抛物线课件.ppt

8 6抛物线 1 抛物线的定义到一定点f和定直线l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 注意 到一定点f和定直线l f l 距离相等的点的轨迹是过点f且垂直于l 的直线 f l 2 抛物线的标准方程焦点在x轴上 标准方程为y2 2px p 0 焦点在y轴上 标准方程为x2 2py p 0 要根据一次项来判断焦点的位置 若x为一次项 则 若y为一次项 则焦点在y轴上 一次项系数大于0时 焦点在正半轴 一次项系数小于0时 焦点在 焦点在x轴上 负半轴 3 抛物线的几何性质 c 4 点p x0 y0 和抛物线y2 2px p 0 的位置关系 1 p在抛物线内 含焦点 2px0 5 焦点弦ab为抛物线y2 2px p 0 的焦点弦 a x1 y1 b x2 y2 1 x1x2 2 y1y2 3 弦长l x1 x2 p x1 x2 2 p 即当x1 x2时 焦点弦最短 为2p 4 弦长l 为ab的倾斜角 5 6 以ab为直径的圆与准线 7 焦点f对a b在准线上射影的张角为90 c p2 相切 6 ab为抛物线y2 2px p 0 的弦 a x1 y1 b x2 y2 弦中点m x0 y0 设弦所在直线斜率存在 为k k 0 1 弦长l x1 x2 y1 y2 k 0 2 k 3 直线ab的方程 y y0 x x0 4 线段ab的垂直平分线方程 y y0 x x0 c 1 当a为任何值时 直线 a 1 x y 2a 1 0恒过定点p 则过p点的抛物线的标准方程为 a y2 x或x2 yb y2 x或x2 yc y2 x或x2 yd y2 x或x2 y答案a直线方程可化为 x 2 a x y 1 0 由题意得得定点为p 2 3 抛物线过定点p 当焦点在x轴上时 方程为y2 x 当焦点在y轴上时 抛物线方程为x2 y 故选a c 2 已知点a 3 4 f是抛物线y2 8x的焦点 m是抛物线上的动点 当 ma mf 最小时 m点的坐标是 a 0 0 b 3 2 c 2 4 d 3 2 答案c设m到准线的距离为 mk 则 ma mf ma mk 当 ma mk 最小时 m点的坐标是 2 4 故选c c 3 过抛物线y2 4x的焦点作直线l交抛物线于a b两点 若线段ab中点的横坐标为3 则 ab 等于 a 10b 8c 6d 4答案b依题意知 a b两点的横坐标之和为xa xb 6 而 ab xa xb p 6 2 8 故选b c 4 已知f为抛物线x2 2py p 0 的焦点 m为其上一点 且 mf 2p 则直线mf的斜率为 a b c d 答案b依题意 得f 准线为y 过点m作mn垂直于准线 垂足为n 过f作fq mn于q 则 mn mf 2p 则 mq p 故 mfq 30 即直线mf的倾斜角为150 或30 则斜率为 或 c 5 抛物线y ax2的准线方程是y 1 则a的值为 答案 解析将抛物线的方程y ax2写成标准方程为x2 y 其准线方程是y 1 a c 6 抛物线y2 2px p 0 的焦点为f a b在抛物线上 且 afb 弦ab的中点m在抛物线的准线上的射影为n 则的最大值为 答案解析设 af m bf n 则有 mn ab 当且仅当m n时取等号 c 抛物线的定义及应用典例1 2015浙江 5 5分 如图 设抛物线y2 4x的焦点为f 不经过焦点的直线上有三个不同的点a b c 其中点a b在抛物线上 点c在y轴上 则 bcf与 acf的面积之比是 a b c d 答案a解析过a b点分别作y轴的垂线 垂足分别为m n 则 am af 1 bn bf 1 可知 故选a 应用抛物线定义解题的思想方法与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 是解决此类问题的重要途径 1 1 2015嘉兴教学测试一 13 4分 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 4 0 在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1 p到直线l的距离为d2 则d1 d2的最小值为 答案 1解析抛物线y2 4x的准线方程是x 1 设抛物线的焦点为f 则d1 pf 1 点f 1 0 到直线l x y 4 0的距离d 所以d1 d2 pf d2 1 d 1 1 当且仅当pf与直线l x y 4 0垂直时取等号 故d1 d2的最小值为 1 1 2已知点a 0 2 抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f 射线fa与抛物线c相交于点m 与其准线相交于点n 若 则p的值等于 c a b c 2d 4答案c解析由于焦点f为 如图 根据抛物线定义得 mf mk 所以 则 2 因为rt aof rt nkm 所以 2 p 2 故选c c 抛物线的标准方程及几何性质典例2 2013课标全国 11 5分 设抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f 点m在c上 mf 5 若以mf为直径的圆过点 0 2 则c的方程为 a y2 4x或y2 8xb y2 2x或y2 8xc y2 4x或y2 16xd y2 2x或y2 16x 0 2 从而2 即p2 10p 16 0 解得p 2或p 8 抛物线方程为y2 4x或y2 16x 故选c 答案c解析 以mf为直径的圆过点 0 2 点m在第一象限 由 mf xm 5得m 从而以mf为直径的圆的圆心n的坐标为 点n的横坐标恰好等于圆的半径 圆与y轴切于点 1 求抛物线标准方程的方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法 对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2 ax a 0 a的正负由题设确定 焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2 ay a 0 这样就减少了不必要的讨论 2 抛物线几何性质的应用技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考 通过图形可以直观地看出抛物线的顶点 对称轴 开口方向等几何特征 体现了数形结合思想解题的直观性 3 抛物线焦点弦问题求解策略求解抛物线焦点弦问题时 除灵活运用焦点弦的有关性质外 还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想 2 1已知f为抛物线y2 2px p 0 的焦点 以f为顶点作一个两条对角线长分别为2和2的菱形pfrq pr fq 如图所示 若抛物线经过p r两个顶点 则抛物线的方程为 答案y2 2x解析由已知条件知 fq 2 pr 2 所以 pf 2 且点p的横坐标为 1 根据抛物线的定义知 pf xp 1 p 1 则由p 1 2 得p 1 所以抛物线的方程为y2 2x 2 2已知抛物线c y2 4x的焦点为f 过点f的直线交抛物线c于a b两点 若线段ab中点的横坐标为2 则 ab a 4b 6c 8d 10答案b解析设a x1 y1 b x2 y2 因为x1 x2 4 所以由抛物线的焦点弦公式得 ab x1 x2 p 4 2 6 故选b c 直线与抛物线的位置关系典例3 1 已知抛物线c y2 4x 直线l过定点m a 0 a 0 且与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 aob为锐角 则实数a的取值范围是 a 04c a 2d 0 a 2 2 2014湖北 21 14分 在平面直角坐标系xoy中 点m到点f 1 0 的距离比它到y轴的距离多1 记点m的轨迹为c 求轨迹c的方程 设斜率为k的直线l过定点p 2 1 求直线l与轨迹c恰好有一个公共点 两个公共点 三个公共点时k的相应取值范围 解析 1 设直线l的方程为x ty a 联立抛物线方程消去x 得y2 4ty 4a 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4a x1x2 ty1 a ty2 a t2y1y2 ta y1 y2 a2 4at2 4at2 a2 a2 由 x1x2 y1y2 a2 4a 0 解得a 4 故选b 2 设点m x y 依题意得 mf x 1 即 x 1 化简整理得y2 2 x x 故点m的轨迹c的方程为y2 在点m的轨迹c中 记c1 y2 4x c2 y 0 x 0 依题意 可设直线l的方程为y 1 k x 2 答案 1 b 由方程组可得ky2 4y 4 2k 1 0 i 当k 0时 此时y 1 把y 1代入轨迹c的方程 得x 故此时直线l y 1与轨迹c恰好有一个公共点 ii 当k 0时 方程 的判别式为 16 2k2 k 1 设直线l与x轴的交点为 x0 0 则由y 1 k x 2 令y 0 得x0 i 若由 解得k 即当k 1 时 直线l与c1没有公共点 与c2有一个公共点 故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点 ii 若或则由 解得k 或 k 0 即当k 时 直线l与c1只有一个公共点 与c2有一个公共点 当k 时 直线l与c1有两个公共点 与c2没有公共点 故当k 时 直线l与轨迹c恰好有两个公共点 iii 若则由 解得 1 k 或0 k 即当k 时 直线l与c1有两个公共点 与c2有一个公共点 故此时直线l与轨迹c恰好有三个公共点 综合i ii 可知 当k 1 0 时 直线l与轨迹c恰好有一个公共点 当k 时 直线l与轨迹c恰好有两个公共点 当k 时 直线l与轨迹c恰好有三个公共点 直线与抛物线位置关系的重要结论设抛物线方程为y2 2px p 0 直线ax by c 0 将直线方程与抛物线方程联立 消去x得到关于y的方程my2 ny q 0 1 若m 0 当 0时 直线与抛物线有两个公共点 当 0时 直线与抛物线只有一个公共点 当 0时 直线与抛物线没有公共点 2 若m 0 直线与抛物线只有一个公共点 此时直线与抛物线的对称轴平行或重合 3 1 2015金华十校模拟文 19 15分 已知抛物线c y2 2px p 0 曲线m x2 2x y2 0 y 0 过点p 3 0 与曲线m相切于点a的直线l 与抛物线c有且只有一个公共点b 1 求抛物线c的方程及点a b的坐标 2 过点b作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线c于s t两点 不同于坐标原点 求证 直线st 直线ao 解析 1 曲线m的方程化为 x 1 2 y2 1 y 0 设l的方程为y k x 3 即kx y 3k 0 由题意得k 0 由圆心到直线l的距离d 1 解得k 故l的方程为y x 3 代入抛物线c y2 2px p