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第一章 有理数及其运算1.1 数怎么不够用了 数 轴知识梳理：一、有理数的分类有理数 或有理数二、数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.三、求一个相反数的方法 要求一个数的相反数，只要在这个数前面添上“-”，新的数就表示原数的相反数。四、相反数的性质 1、互为相反数的两个数的和为零，即如果互为相反数，则有；反之，如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数，即若，则互为相反数 2、相反数是本身的数只有一个，是0 3、1和-1互为相反数，也是互为负倒数。 4、互为相反数的两个数绝对值相等，但绝对值相等的两个数并不一定互为相反数 经典例题 例1.将下列具有相反意义的量用线连接起来 向南走6米 失球2个 进球5个 亏损500元 高于海平面960米 运出200吨粮食 盈利1000元 向北走30米 运进500吨粮食 低于海平面300米例2.把下列各数分别填在相应的大括号内正数负数 正整数 正分数 负分数 例3.三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，下表是工作人员连续5天的水位记录（如果规定蓄水位为135米）情况，记录如下：（单位：米） 6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日5+21+3+2问：（1）这5天中每天的水位各是多少米？（2）总的来说，水位是高了，还是低了？若高，高了多少？若低，低了多少？例4.如图，数轴上点A、B、C、D、E各表示什么数？ 例5.下列说法中正确的是（ ）A. 互为相反数 B.互为相反数 C.的相反数是正数 D.两个表示相反意义的量互为相反数例6.比较大小 （1）0 3 (2) 2 (3)7 10变式练习1.指出下列语句的实际意义（1）温度下降了-9； （2）收入了-4000元2.将下列各数分别填入相应的集合里 正数集合 负分数集合 整数集合 3.体育课上老师对九年级男生进行了引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的个数用正数来表示，不足的个数用负数来表示，其中8名男生的成绩如下：2，-1, 0, 3，-2，-3, 1, 0（1） 这8男生有百分之几达到标准？（2） 他们共做了多少个引体向上？4.在数轴上画出表示下列各数的点 3， -1， 0，-2，3.5，-5 5.说出下列各数的相反数：5，-10，-3.9，6.如图，数轴上的点A、B、C、D表示的数分别为-1.5，-3,2,3.5.回答下列问题：（1） 将A、B、C、D表示的数按从小到大的顺序用“”连接。（2） 若将原点改在C点，则各点所对应的数分别为多少？将这些数按从小到大的顺序用“” “3 （8）例2. 下列各式中符合代数式书写规则的是（ ）A. B. C. D.例3. 解答下列问题：（1） 用字母表示三角形面积公式；（2）用字母表示有理数减法法则；（3）若一个长方形面积为10，长为，求其宽。例4. 根据下列语句列代数式。（1） 与的和的；（2） 与的的和； 变式练习1. 下列各式中哪些是代数式？哪些不是代数式？（1） （2） （3） （4） （5）2006（6） （7） （8）2. 下列各式：（1） （2） （3）30% （4）c (5) 其中不符合代数式书写要求的有 个.3. 填空：（1） 商品售价为p元，则6商品的售价为 元；（2） 某长方形的长是宽的倍，且长是，则该长方形的周长为 ;（3） 棱长是的正方体的体积是 ;（4） 产量由增长10%，就达到 ;（5） 拿一百元钱去买钢笔，买了单价为3元的钢笔支，则剩下的钱为 元.4. 如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为克，再称得剩余电线的质量为克，那么原来这卷电线的总长度是（ ）.A.米 B.米 C.米 D.米 课堂测训1. 长方形的长为，面积为S，则它的宽为（ ）;A. B . C. D. 2. 如果甲数为，且甲数为乙数的3倍，那么乙数是（ ）;A. B. 3 C. +3 D. +3. 是一个两位数，b是一个一位数，如果在b放在的右边，则所得到的三位数是（ ）;A. 100+b B . 10+b C. +b D. b4. 在一次考试中，某班28名男生的总分是分，26名女生的平均分是分，这个班的总平均分是（ ）;A. B. C. D.5.某工厂去年生产了台机器，今年比去年增加了15%，则今年生产机器 台. 3.2 代数式求值 经典例题例1. 两个数有如下关系：.例2. 当时，求下列代数式的值;(1) (2) （3） （4）例3.（探索型题）图1是正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接这个连接图2小正五边形各边中点得到图3：例4. 某工厂库存煤千克，原计划每天用煤千克，实际使用时每天节约用煤b千克；（1） 列出代数式表示节约用煤后可比原计划用煤多用 天；（2） 当=2000，=125，b=25时，可多用多少天； 变式练习1. 已知的值.2. 填写下表，求出当时，两个代数式的值.(1)填写下表：20n+6(2)估计一下随着n的逐渐变大，哪个代数式的值会首先超过600？3. 如图3-3-3和3-3-4(1) .根据数值转换机的运算步骤，写出输出结果。(2).根据填写数值转换机的运算步骤4. 人体所含水分的质量约占人体质量的70%.（1） 若某人的体重为千克，那么他的身体所含的水分质量约为 千克。（2） 若小明的体重为30千克，那么他的身体所含的水分质量约为 千克。（3） 估计你自己的身体所含的水分质量约为多少千克?课堂测训 1. 某班共有学生30人，某中岁数为的有12人，岁数为b的有6人，岁数为c的有12人，用代数式表示他们的平均年龄 ；若时，平均年龄是 2. 是的倒数的相反数，绝对值为3的数是，且的值3. 填写下表，并观察下列代数式的值的变化情况m12345676m+8（1）随着m值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？（2）估计一下，哪个代数式的值先超过200？4. 是的倒数的相反数，绝对值为3的数是，且，求的值。 3.3 合并同类项例1.指出下列代数式的系数：（1） （2） （3） （4） (5) (6)例2已知是同类项，求m和n的值.例3. 合并下列各式中的同类项.（1） （2）（3） （4）例4.某爱国主义教育基地成人票10元，学生票5元，盲人中学共有学生人，老师人；幸福中学的学生数是盲人中学的2倍，老师人数是盲人中学的，两个学校共需付门票 元。 变式练习1.指出下列各代数式的系数（1） （2） 2.判断下列各组中的两项是不是同类项，并说明理由。与；1与3.合并下列各式的同类项（1） （2）4. 下列式子成立的是（ ）A. B. C. D. 课堂测训1.若是同类项，则 2.合并同类项：（1） （2） （3） 3. 代数式的值是（ ）.A. 与都无关 B. 只与有关 C. 只与有关 D. 与都有关4.（1）求值：，其中 （2）已知求代数式的值. 3.4 去括号 经典例题例1.去括号：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 例2.先去括号，再合并同类项. （1） （2）例3.先化简，再求值，其中例4.共青团中央发起了“保护母亲河行动”，捐赠办法中有一种是:5元钱捐植一棵树，某校七年级甲、乙两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款，已知甲班的学生每人捐10元，乙班的学生每人捐10元，两班其余学生每人捐5元，设甲班有学生人，试用代数式表示两班捐款的总额，并化简。 变式练习1. 的相反数是 ;2. 化简: ;3. 化简，求值; 4. 一个四边形的周长是38厘米，已知第一条边的长为厘米，第二条边比第一条边的2倍长3厘米，第三条边的长等于第一条边和第二条边的和，写出表示第四条边长的代数式。 课堂训练 1. 把去括号后得（ ）.A. B. C. D.2.化简：（1） ;（2） 3. 已知4. 已知 . 3.5 探索规律 经典例题例1. 某百货大楼进了一批花布，出售时要在进价的基础上，加上一定的利润，其数量（米）与售价（元）的关系如下表：数量（米） 1 2 3 4 5售价（元）8+0.316+0.624+0.9 32+1.2 .下列公式中正确的是（ ）A B C D 例2. 将边长为20厘米的1张正方形纸片，剪成4个大小形状一样的小正方形，然后将其中的1个再按同样的方法剪成4个小正方形，再将其中的1个小正方形剪成4个小正方形，如此循环进行下去.（1） 剪6次一共剪出多少个小正方形，剪18次呢？n次呢？（2） 要剪出28个小正方形需要剪多少次？（3） 能不能将原来的正方形剪成2001个小正方形呢？为什么?（4） 将剪得的所有正方形，拼成原来的正方形；并画出平面图形，通过观察这个图形你发现了什么规律?例3. 研究下列算式，你发现有什么规律？请将你找出的规律用公式表达出来. 变式练习1.（1）小说达芬奇密码中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1,1,2,3,5,8，则这列数的第8个数是 （2） 观察一列有规律的数4,8,16,32，它的第2007个数是 2. 把棱长为的正方体摆成如图所示的形状，第一层有1个正方体，第二层有3个正方体，按如此规律，第层有多少个正方体？3.一个三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短，求该三角形的周长。 课堂测训1. 给定一列按规律排列的数：1，它的第10个数是 2. 为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛。如图，按照其规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）A. B. C. D.3. 观察下列图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1） 写出第五个等式，并画出与之对应的图形；（2） 猜想并写出与第个图形对应的等式。 第五章 一元一次方程 5.1 你今年几岁了？知识梳理：1 了解方程、一元一次方程概念;2 熟练掌握等式的性质;3 从实际问题列方程. 经典例题例1. 下列是一元一次方程的是 ;（1）2+3=5 （2）2y+3=7 (3) （4） （5）例2. 下列变形中不正确的是（ ）；A. 若 ； B. 若； C. 若; D. .例3. 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 克.例4. 已知满足等式，求的值. 变式练习1. 下列各式式方程的是 ，其中是一元一次方程的是 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）2. 下列说法正确的是（ ）;A. 在等式两边都除以，可得; B. 在等式两边都除以; C. 在等式两边都除以，可得; D. 在等式的两边都除以2，可得.3. 一箩筐内有橘子、梨、苹果若干个，梨的个数是橘子个数的，苹果的个数是橘子个数的，梨的个数的比苹果少2个，问箩筐内三种水果各有多少个？4. 已知关于的方程是一元一次方程，求的值. 课堂测训1. 已知方程是一元一次方程，则的值是（ ）;A. 4 B. -4 C. 4 D. 02. 如果，那么，= 3. 小明在解方程如果是未知数）时，误将看做，得方程的解为，请求出原方程的解.4. 小丁今年5岁，妈妈30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的年龄的 2倍？ 5.2 解 方 程 经典例题1. 解方程：2. 解方程：3. 解关系的方程4. 若方程与关于的方程的解相同，求的值。 变式练习1. 解方程：2. 解方程：3. 已知的解满足 4. 关于的方程的解是的值是（ ）A. 2 B. -2 C. D. 课堂测训1. 已知=2是方程的解，则的值是（ ） A. 15 B. 12 C. 13 D. 142. 已知梯形的面积公式若，则 .3. 解方程：（1） （2）（3）4.互为相反数，求的值. 5.3 日历中的方程 经典例题例1. 小明和小红做游戏，小明拿出一张日历说：“我用笔圈出了22的一个正方形，它们数字的和是56，你知道我圈出的最大数字是几吗？”你能帮小红解答这个问题吗？例2. 有3个连续的偶数，它们的和比其中最小的一个数大74，这3个连续的偶数的和等于多少？例3. 如果某一年的5月份有5个星期五，它们日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？例4. 小明全家利用长假外出游玩6天，这6天的日期之和为39，问小明全家是几号外出的？ 变式练习1. 在某个月的日历上，任意全出一个数列上相邻的三个日期，若它们的和是48，那么这三天分别是几号？2. 右边数表是由一些奇数排成的.（1）如图所示，框中的四个数有什么关系？（2）若这样框出的四个数的和是208，求这四个数。（3）是否存在这样的四个数，和为404？为什么？3. 将50个偶数排列成数阵，如图所示，用一个正方形任意圈出33个数，找出它们之间存在的规律，然后根据其中的规律编一道应用题，不要求解答。 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 92 94 96 98 1004. 某年某月某日是星期日，从这天算起，第15天是星期 ，继续再过15天是星期 ，再继续过15天是星期 ，在过14天是星期 课堂测训1. 小菲在暑假7月份参加了四天一期的夏令营，若这四天的日期之和是86，则夏令营的开营日期是（ ）A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 2. 四名同学在同一张日历上的纵列各圈到四个数，其中有一名同 学 报出来的日期是错误的，请你把错误的找出来，它是（ ）A. 7,14,21,28 B. 2,9,16,23 C. 6,13,20,27 D. 17,18,19,203. 有一些标有5,10,15,20，的卡片，小明拿到了相邻的3张卡片， 其和为225，小明拿到的相邻的三张卡片上的数字分别是 4. 某年某月的日历上，星期六的日期全部加起来是85，请问这个月的第一天和最后一天各是星期几？5.4 我 变 胖 了 经典例题例1. 车间要铸造底面半径为8，高为12的圆柱形零件毛坯5个，需要用横截面半径为16的圆柱形钢材多长？（生产过程中的损耗不计）例2. 一根长60的铁丝围成一个长方形。（1） 使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；（2） 是长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积；（3） 比较（1）（2）所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗?例3. 图5-4-1所示，请根据图中给出的信息，下列方程正确的是（ ）A. = B.C. D. 变式练习1.用直径为4cm的圆钢，铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱体零件，问需要截取多长的圆钢？2.两个长方形的长与宽的比都是2:1，大长方形的宽比小长方形的宽多3cm,大长方形的周长是小长方形的2倍，求这两个长方形的面积。3.将一块长20，宽40，高70的长方体，锻造成长35、宽64的长方体的铁块，问锻造后的铁块的高是多少毫米？ 课堂测训1. 班级筹备运动会要做直角边分别为0.4m、0.3m的直角三角形小旗，共做64面，要用长1.6m、宽1.2m的长方形红彩纸至少 张。2. 将一个长、宽、高分别为15、12和8的长方体钢坯锻造成一个底面边长为12的正方形的长方体钢坯。试问是锻造前长方体钢坯表面积大，还是锻造后的长方体钢坯表面积大？请你计算比较。3.如图所示，地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形，如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，则所钉长方形的长、宽各是多少？面积是多少？ 5.5 打折销售 经典例题例1.某药店新进了一批价格为20元一盒的消炎药，在销售时，其最低利润率要不少于10才能使药店盈利，但物价局又规定该药品的利润率不能超过50，请你为该药品定价。例2.我市某商场A型冰箱的售价2190元，每日耗电量为1千瓦时。最近商场又进了一批B型冰箱，其售价比A型冰箱高出10，但每日耗电量却为0.55千瓦时。为了减少库存，商场决定对A型冰箱降价销售。请解答下列问题：（1） 、已知A型冰箱的进价为1700元，商场为保证利润率不低于3%试确定A型冰箱的降价范围（2）如果只考虑价格与耗电量，那么商场将A型冰箱的售价打几折时，消费者购买两种冰箱才一样合算，（两种冰箱的试用均为10年，每年365天，每千瓦时电费按0.4元计算）例3.2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表二所示，表中缺失了2003年、2007年相关资料已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额 年份20012003200420052007降价金额（亿元）543540例4.某商品因换季准备打折出售。若按标价的七五折出售将亏25元，而按标价的九折出售将赚20元。问这种商品的标价是多少？ 变式练习1.下表是甲商场计算机产品的进货单，其中进价一栏被墨迹污染了，看了进货单后，请你求出这台计算机的进价是多少元？2.某个体商贩在一次生意中同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，按成本核算，其中1件盈利25%，另一件亏本25%，试问：（1） 在这次买卖中，该商贩是赚是赔，还是不赚不赔？（2） 把题中的135元改为任何正数，情况如何？3.某商店一套夏装的进价是200元，按标价的80%销售可获利72元，则该服装标价为 元。4.甲种商品每件的进价是400元，现在按标价560元的8折出售；乙种商品每件的进价是600元，现在按标价1100元的六折出售，相比较哪种商品的利润率高些？ 课堂测训1.某商品的进价为每件2000元，如果按标价的80%出售，每件利润将减少60%，则该商品的标价是（ ）A.2500元 B.2800元 C.3000元 D.3200元2.一家商店将某型号彩电按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，8折优惠”。顾客投诉，执法部门按已得非法收入的10倍以每台2700元进行罚款，求每台彩电的原售价。3.某公司月末的进货价比月初的进货价低8%，但这批货