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椭圆的定义 距离之和等于常数 定点 距离 MF1 MF2 2a c 0 0 c a2 b2 c2 椭圆的标准方程 1 平面内点M到两定点F1 F2的距离之和为常数2a 当2a F1F2 时 点M的轨迹是椭圆 当2a F1F2 时 点M的轨迹是一条线段F1F2 当2a F1F2 时 点M的轨迹不存在 2 椭圆的标准方程有两种形式 若含x2项的分母大于含y2项的分母 则椭圆的焦点在x轴上 反之焦点在y轴上 思路点拨 求椭圆的标准方程时 要先判断焦点位置 确定椭圆标准方程的形式 最后由条件确定a和b的值 一点通 求椭圆标准方程的一般步骤为 答案 D 2 已知椭圆C经过点A 2 3 且点F 2 0 为其右焦点 求椭圆C的标准方程 思路点拨 因为 PF1F2 120 F1F2 2c 所以要求S PF1F2 只要求 PF1 即可 可由椭圆的定义 PF1 PF2 2a 并结合余弦定理求解 4 平面内有一个动点M及两定点A B 设p MA MB 为定值 q 点M的轨迹是以A B为焦点的椭圆 那么 A p是q的充分不必要条件B p是q的必要不充分条件C p是q的充要条件D p既不是q的充分条件 又不是q的必要条件解析 若 MA MB 为定值 只有定值 AB 时 点M轨迹才是椭圆 故p为q的必要不充分条件 答案 B 解析 a2 16 a 4 而由椭圆定义 AF1 AF2 2a BF1 BF2 2a ABF2周长 AB AF2 BF2 AF1 BF1 AF2 BF2 4a 16 答案 B 例3 2 已知圆B x 1 2 y2 16及点A 1 0 C为圆B上任意一点 求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程 思路点拨 P为AC垂直平分线上的点 则 PA PC 而BC为圆的半径 从而4 PA PB 可得点P轨迹为以A B为焦点的椭圆 一点通 求解有关椭圆的轨迹问题 一般有如下两种思路 1 首先通过题干中给出的等量关系列出等式 然后化简等式得到对应的轨迹方程 2 首先分析几何图形所揭示的几何关系 对比椭圆的定义 然后设出对应椭圆的标准方程 求出其中a b的值 得到标准方程 7 ABC的三边a b c成等差数列 A C的坐标分别为 1 0 1 0 求顶点B的轨迹方程 8 已知动圆M过定点A 3 0 并且在定圆B x 3 2 y2 64的内部与其相内切 求动圆圆心M的轨迹方程 9 已知x轴上的一定点A 1 0 Q为椭圆上的动点 求AQ中点M的轨迹方程 2 解 设动点M的坐标为 x y 则Q的坐标为 2x 1 2y 因为Q点为椭圆上的点 所以点M的轨迹方程是 1 用待定系数法求椭圆的标准方程时 若已知焦点的位置 可直接设出标准方程 若焦点位置不确定 可分两种情况求解 也可设为Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 求解 2 解决与椭圆有关的轨迹问题时 要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上 3 涉及椭圆的焦点三角形问题 可结合椭圆的定义列出 PF1 PF2 2a求解 因此回归定
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