泛函分析课后习题答案.pdf

第七章第七章 习题习题解答解答 1 设 设 X d 为一度量空间 令 为一度量空间 令 0000 xxdXxxxSxxdXxxxU 问问 0 xU的闭包是否等于的闭包是否等于 0 xS 解解 不一定 例如离散空间 不一定 例如离散空间 X d 1 0 xU 0 x 而 而 1 0 xS X 因此当因此当 X 多于两点时 多于两点时 1 0 xU的闭包不等于的闭包不等于 1 0 xS 2 设设 baC 是区间是区间 ba上无限次可微函数的全体 定义上无限次可微函数的全体 定义 1 max 2 1 0 tgtf tgtf gfd rr rr bta r r 证明证明 baC 按按 gfd成度量空间 成度量空间 证明证明 1 若 若 gfd 0 则 则 1 max tgtf tgtf rr rr bta 0 即 即 f g 2 1 max 2 1 0 tgtf tgtf gfd rr rr bta r r 1 1 max 2 1 0 tgth tgth tgtf tgtf rr rr rr rr bta r r 1 max 2 1 1 max 2 1 0 0 tgth tgth tgtf tgtf rr rr bta r r rr rr bta r r d f g d g h 因此因此 baC 按按 gfd成度量空间 成度量空间 3 设设 B 是度量空间是度量空间 X 中的闭集 证明必有一列开集中的闭集 证明必有一列开集 n ooo 21 包含包含 B 而且 而且Bon n 1 证明证明 令令 nnn on n BxdBoo 2 1 1 是开集 设是开集 设 n ox 0 则存在 则存在 Bx 1 使 使 n xxd 1 10 设 设 0 1 10 xxd n 则易验证则易验证 n oxU 0 这就 这就 证明了证明了 n o是是 开集开集 显然显然Bon n 1 若 若 n n ox 1 则对每一个则对每一个 n 有 有Bxn 使使 n xxd 1 1 因 因 此此 nxxn 因 因 B 是闭集 必有是闭集 必有Bx 所以 所以Bon n 1 证毕 证毕 4 设设 d x y 为空间 为空间 X 上的距离 证明上的距离 证明 1 yxd yxd yxd 是是 X 上的距离上的距离 证明证明 1 若 若0 yxd则则0 yxd 必有 必有 x y 2 因 因 zydzxdyxd 而而 t t 1 在在 o上是单增函数 上是单增函数 于是于是 1 1 zydzxd zydzxd yxd yxd yxd yxd 1 1 zydzxd zyd zydzxd zxd 1 1 zyd zyd zxd zxd zydzxd 证毕 证毕 5 证明点列证明点列 n f 按习题按习题2中距离收敛与中距离收敛与 baCf 的充要条件为的充要条件为 n f的的 各阶导数在各阶导数在 a b 上一致收敛于上一致收敛于 f 的各阶导数的各阶导数 证明证明 若若 n f 按习题按习题 2 中距离收敛与中距离收敛与 baCf 即 即 1 max 2 1 0tftf tftf ffd r r n r r n bta r r n 0 n 因此对每个因此对每个 r 1 max 2 1 0tftf tftf r r n r r n bta r r 0 n 这样 这样 bta max tftf r r n 0 n 即 即 tf r n 在在 a b 上一致收上一致收 敛于敛于 tf r 反之 若的反之 若的 n f t 各阶导数在 各阶导数在 a b 上一致收敛于上一致收敛于 f t 则任意 则任意 o 存在 存在 0 r 使 使 22 1 1 orr r 存在 存在 r N 使当 使当 r Nn 时 时 max tftf r r n 0 0 2 1 0 2 rr r 取 取 N max N NN 1 当 当 n N 时 时 1 max 2 1 0tftf tftf ffd r r n r r n bta r r n 1 max 2 1 0tftf tftf r r n r r n bta r r 12 1 o rr r 22 0 0 r r 即即 n ffd 0 n 证 证毕毕 6 设设 baB 证明度量空间 证明度量空间 baC中的集中的集 f 当当 t B 时时 f t 0 baC中的闭集 而集中的闭集 而集 A f 当当 t B 时 时 f t a a 0 为开集的充要条件是为开集的充要条件是 B 为闭集为闭集 证明证明 记记 E f 当当 t B 时时 f t 0 设 设Efn n f按按 baC中中 度量收敛于度量收敛于 f 即在 即在 a b 上上 tfn一致收敛于一致收敛于 f t 设 设Bt 则 则 0 lim tftf n n 所以 所以 f E 这就证明了 这就证明了 E 为闭集为闭集 下面证明第二部分下面证明第二部分 充分性 当充分性 当 B 是闭集是闭集时 设时 设 f A 因 因 f 在在 B 上连续而上连续而 B 是有是有 界闭集 必有界闭集 必有Bt 0 使 使 max 0 tftf Bt 设 设 0 0 tfa 我们证 我们证 明必有明必有AfU 设 设 fUg 则若 则若Bt 必有 必有 tgtf 于 于 是是atftftgtftg 0 所 所以以Ag 这样就证明了这样就证明了 A 是是 开集开集 必要性 设必要性 设 A 是开集 要证明是开集 要证明 B 是闭集 只要证明对任意是闭集 只要证明对任意 2 1 nBtn若若 0 ttn n 必有 必有Bt 0 倘若倘若 Bt 0 则定义 则定义 0 ttatfo 于是对任意 于是对任意Bt attatfo 0 因此因此Atfo 由于由于 A 是开集 必有是开集 必有0 当 当 fC a b 且且 0 ffd时 时 Af 定义 定义 n 1 2 则 则 0 00 nttffd nn 因此当因此当 0 ttn时 时 Afn 但是但是attttatf nnn 00 此与 此与Afn 的必要条件 对的必要条件 对 任意任意 Bt 有 有atfn 矛盾矛盾 因此必有因此必有Bt 0 证毕证毕 7 设设 E 及及 F 是度量空间中的两个集 如果是度量空间中的两个集 如果oFEd 证明必有不相 证明必有不相 交开集交开集 O 及及 G 分别包含分别包含 E 及及 F 证明证明 设设oFEd 令 令 2 2 FxdxGExdxo 则则 GFOE 且且 GO 事实上 若 事实上 若 GO 则有 则有 GOz 所以存在 所以存在 E 中的点中的点 x 使使 2 zxd F 中点中点 y 使使 2 zyd 于是于是 zydzxdyxd 此与 此与 yxd FEd 矛盾 证矛盾 证毕毕 8 设设 B a b 表示表示 a b 上实有界函数全体 对上实有界函数全体 对 B a b 中任意中任意 两元素两元素 f g B a b 规定距离为 规定距离为 sup tgtfgfd bta 证明证明 B a b 不是可分空间不是可分空间 证明证明 对任意对任意 0 t a b 定义 定义 2 1 0 0 btttattf ot 则则 0 tft B a b 且若 且若 21 tt 1 21 tt ffd 倘若倘若 B a b 是是 不可分的 则有可数稠密子集不可分的 则有可数稠密子集 n g n 1 对任意 对任意 0 t a b 2 1 0 t fU必有某必有某 n g 即 即 2 1 0 tn fgd 由于 由于 a b 上的点的全体上的点的全体 是不可树集 这样必有某是不可树集 这样必有某 n g 21 t t 使 使 n g 2 1 1 t fU n g 2 1 2 t fU 于是 于是1 2 1 2 1 2121 tnnttt fgdgfdffd此与此与 1 21 tt ffd矛盾 因此矛盾 因此 B a b 不是可分空间 证毕不是可分空间 证毕 9 设设 X 是可分距离空间 是可分距离空间 为为 X 的的一个开覆盖 即一个开覆盖 即 是一族是一族 开集 使得对每个开集 使得对每个 Xx 有 有 中的开集中的开集 O 使得 使得Ox 证明必可从 证明必可从 中选出可中选出可 数个集组成数个集组成 X 的一个开覆盖 的一个开覆盖 证明证明 若若 Xx 必有 必有 x O 使 使 x Ox 因 因 x O是开集 是开集 必必 有某自然数有某自然数 n 使 使 x O n xU 1 设设 n x n 1是 是 X 的可数稠密子集 于是在的可数稠密子集 于是在 2 1 n xU中必有中必有 某某 2 1 n xU k 且 且 xk O n xU 2 1 事实上 若 事实上 若 2 1 n xUy k 则 则 nnn xxdxydxyd kk 1 2 1 2 1 所以所以 2 1 n xUy k x O 这样我们就证明了对任意这样我们就证明了对任意 Xx 存在 存在 k n 使使 2 1 n xUx k 且且 存在存在O n xU k 2 1 任取覆盖任取覆盖 2 1 n xU k 的的 O 记为 记为 nk O 是是 X 的可数覆盖 证毕的可数覆盖 证毕 10 X为距离空间 为距离空间 A为为X中子集 令中子集 令 inf Xxyxdxf Ay 证明证明 xf 是是 X 上连续函数上连续函数 证明证明 若若 0 Xx 对任意对任意0 存在 存在Ay 0 使 使 200 2 inf xfyxdyxd Ay o 取 取0 2 则当 则当 0 xxd时时 inf 0000 xfyxdxxdyxdyxdxf o 因此因此 0 xfxf 由于由于 x 与与 0 x对称性 还可得对称性 还可得 0 xfxf 于是 于是 0 xfxf 这这 就证明了就证明了 xf是是 X 上连续函数上连续函数 11 设设 X 为距离空间 为距离空间 21 F F是是 X 中不相交的闭集 证明存在开集中不相交的闭集 证明存在开集 21 G G使得使得 221121 FGFGGG 证明证明 若若 1 Fx 则由于 则由于 2 Fx 2 F为闭集 必有为闭集 必有0 x 使 使 2 FxU x 令 令 2 1 1 x Fx xUG 类似 类似 2 2 2 y Fx yUG 其中 其中 1 FyU y 显然 显然 21 G G是开集 且是开集 且 2211 FGFG 倘若倘若 21 GG 则必有 则必有 1 Fx 2 Fy 使 使 2 2 x y xUyU 设 设 2 2 x y xUyUz 不妨设 不妨设 yx 则 则 x y x yx yzdzxdxyd 22 因此因此 x xUy 此与 此与 2 FxU x 矛盾 这就证明矛盾 这就证明 了了 21 GG 证毕 证毕 12 设设 X Y Z 为三个度量空间 为三个度量空间 f 是是 X 到到 Y 中的连续映中的连续映 射 射 g 是是 Y 到到 Z 中的连续映射中的连续映射 证明复合映射 证明复合映射 xfgxfg 是是 X 到到 Z 中的连续映射中的连续映射 证明证明 设设 G 是是 Z 中开集 因中开集 因 g 是是 Y 到到 Z 中的连续映射 中的连续映射 所以所以 1 Gg 是是 Y 中开集 又中开集 又 f 是是 X 到到 Y 中的连续映射 故中的连续映射 故 11 Ggf 是是 X 中中 的开集 这样的开集 这样 111 GgfGfg 是是 X 中中 的开集 这就的开集 这就 证明了证明了 g f 是是 X 到到 Z 的连续映射 证毕的连续映射 证毕 13 X 是度量空间 是度量空间 证明证明 f 是连续映射的充要条件是对每个实数是连续映射的充要条件是对每个实数 c 集 集 合合 cxFXxx 和集合和集合 cxFXxx 都是闭集都是闭集 证明证明 设设 f 是是 X 上上连续连续的实函数 又对每一的实函数 又对每一实数实数 c G c 是 是 开集 于是开集 于是 1 cxFXxxGf 是开集 这样是开集 这样 cxfXxx cxfXxxC 是闭集 同理是闭集 同理 cxfXxx 是闭集 是闭集 反之 若对每个实数反之 若对每个实数 c cxfXxx 和和 cxfXxx 都是闭都是闭 集 则集 则 cxfXxx 和和 cxfXxx 都是开集 设都是开集 设 G 是直线上是直线上 的开集 则的开集 则 1 i ii baG或或 n i ii baG 1 其中 其中 ii ba是是 G 的构成区间 的构成区间 不妨设不妨设 1 i ii baG于是于是 11 1 i i i i ii bxfXxxaxfXxxbxfaXxxGf 是开集 因此是开集 因此 f 是连续的实函数 证毕是连续的实函数 证毕 14 证明柯西点列是有界点列 证明柯西点列是有界点列 证明证明 设设 n x 是是 X 中的柯西点列 对中的柯西点列 对 1 0 存在 存在 N 使当 使当 n mN 时 时 1 mn xxd 令 令 1 max 1 Ni Ni xxdM则对任意则对任意 n x有有 Mxxd Nn 因此 因此 n x 是有界点列 证毕是有界点列 证毕 15 证明第一节中空间证明第一节中空间 S B A 以及离散的度量空间都是完备 以及离散的度量空间都是完备 的度量空间的度量空间 证明证明 1 S 是完备的度量空间是完备的度量空间 设设 n x 是是 S 中的柯西点列 中的柯西点列 2 1 n i nn n x 对每一个固定对每一个固定 的的 i 由于 由于 0 0 21 2 t t t i i 因此对任意 因此对任意 0 存在存在0 当 当 t0时时 t t i i 21 2 对此 对此0 存在 存在 n mN 时 时 1 1 2 1 i m i n i m i n i i mn xxd 因此因此 1 1 2 1 i m i n i m i n i i 从而 从而 m i n i i i 21 2 这样对固定的 这样对固定的 i 1 n n i 是柯西点列 设是柯西点列 设 n i n i 令 令 21 i x 故有 故有 Sx 且对任意给定 且对任意给定o 存在 存在 0 i 使 使 1 0 22 1 ii i 存在 存在 1 0 iiNi 使使 i Nn 时 时 0 2 i i n i 于是当 于是当 max 0 1i NNNn 时 时 1 1 2 1 i n ii n ii i 0 1 1 2 1 i i m i n i m ii i 1 0 2 1 ii i 2 2 0 0 i i 所以所以 n x 按按 S 的距的距离收敛于离收敛于 x 2 B A 是完备的度量空间 是完备的度量空间 设设 1 nn x是是 B A 中的柯西点列 任意 中的柯西点列 任意0 存在 存在 N 使当 使当 n mN 时时 mn xxd 这样对任意 这样对任意At sup txtxtxtx mn At mn 因此对固定的 因此对固定的 t txn 是柯西点是柯西点 列 设列 设 ntxtxn 由于 由于 n mN 时时 txtx mn 令 令 m 得得 txtxn 这样 这样 txtx n 于是 于是 sup suptxtx n 故故 x A 且且 n N 时 时 suptxtx mn At 这就证明了按 这就证明了按 B A 中距离收敛于 中距离收敛于 x 3 离散的度量空间 离散的度量空间 X d 是完备的度 是完备的度量空间量空间 设设 1 nn x是是 X 中柯西点列 则对中柯西点列 则对 2 1 0 存在存在 N 当 当 n mN 是是 2 1 mn xxd 特别对一切 特别对一切 n N 2 1 Nn xxd 于是于是 n N 是是 Nn xx 因 因 此此 nxx Nn 即 即 X d 是完备的度量空间 证毕 是完备的度量空间 证毕 17 设设 F 是是 n 维欧几里得空间维欧几里得空间 n R的有界闭集 的有界闭集 A 是是 F 到自身中到自身中 的映射 并且适合下列条件 对任何的映射 并且适合下列条件 对任何Fyx yx 有 有 yxdAyAxd 证明映射证明映射 A 在在 F 中存在唯一的不动点中存在唯一的不动点 证明证明 定义定义 F 上的函数上的函数 f x d Ax x 由于 由于 2 yxdyxdAyAxdyAydxAxdyfxf 因此因此 f 是是 F 上的连续映射 因上的连续映射 因 F 是有界闭集 必有是有界闭集 必有Fx 0 使 使 min 00 xfxFfx Fx 我们先证明我们先证明0 0 xf 若 若0 0 xf 则 则 00 xAx 记 记 01 Axx 则则 0 2 1 xAAx 于是 于是 00000 2 111 xfxAxdAxxAdxAxdxf 此与此与 0 xf是是 f 的最小值矛盾 故的最小值矛盾 故0 00 xAxd即即 0 Ax 0 x 若若 1 x是是 A 的另一个不动点 则的另一个不动点 则 101010 xxdAxAxdxxd 矛盾 矛盾 16 证明证明 l与与 C 0 1 的一个子空间等距同构的一个子空间等距同构 证明证明 若若 21 i x l 定义 定义 1 0 1 0 tCtxT 2 1 1 1 1 1 i ii t i ttxT i 或线性 若若 21 i x l 21 i y l 则 则 sup sup 1 0 TyTxdtyTtxTyxd t ii 因此因此 T 到到 l到 到 0 1 的的 子空间的一个同构映射 即子空间的一个同构映射 即 l到 到 0 1 的一个子空间等距同构 的一个子空间等距同构 18 设设 X 为完备度量空间 为完备度量空间 A 是是 X 到到 X 中的映射 记中的映射 记 sup 1 1 xxd xAxAd a nn zx n 若若 n n a 1 则 则映射映射 A 有唯一不动点有唯一不动点 证明证明 因因 n n a 1 则必有 则必有 N 使 使1 N a 这样对任意 这样对任意 x 1 x X 若若 x 1 x 则则 11 xxdaxAxAd N nN 这样由压缩映射原理这样由压缩映射原理 N A有不动点有不动点 x 即 即 x N A x 由于 由于 N A x A N A x A x A x也是也是 N A的不动点 的不动点 N A的不动点是唯一的 因的不动点是唯一的 因 此此 x A x 即 即 x是是 A 的不动点 的不动点 若若 x 是是 A 的任意一个不动点 即的任意一个不动点 即 A x x 于是 于是 N Ax 1 n Ax A x x 这样 这样 x 也是也是 N A的不的不动点 由于动点 由于 N A的不动点是唯一的 因 的不动点是唯一的 因 此此 x x 即 即 A 的不动点也是唯一的 证毕 的不动点也是唯一的 证毕 19 设设 A 为从完备度量空间为从完备度量空间 X 到到 X 中映射 若在开球中映射 若在开球 0 rxU 0 r内适合内适合 10 xxdAxAxd 又又 A 在闭球在闭球 00 rxxdxrxS 上连续 并且上连续 并且 1 00 rAxxd 证明证明 A 在在 0 rxS中有不动点 中有不动点 证明证明 设设 n x n A 0 x 2 1 n 则 则 rxAxdxAxAdxAxAdxxd nnnnnn nn 1 00 1 0 2 0 1 0 1 01 任给任给 0 存在 存在 N 使 使 N r 这样若 这样若 nm 且且Nmn 有 有 1 1 1 121 1211 rrrrrxxdxxdxxdxxd Nnmnn mmnnnnmn 因此因此 1n x n 是柯西列 设是柯西列 设 n x x n 因 因 rrrrrxxdxxdxxdxxd n i i nn nnnnn 1 1 1 1 1 1 012110 因此因此 00 rxSrxUxn 这样 这样 lim 0 rxSxx n 因为 因为 A 在在 0 rxS上连续 上连续 1 limlimxxAxAx n n n n 即 即 x是是 A 在在 0 rxS中的不动中的不动 点 点 A 的不动点不一定是唯一的 例如的不动点不一定是唯一的 例如 X 是离散的度量空间 是离散的度量空间 A 是是 X 中的恒等映射 在开球中的恒等映射 在开球 1 0 xU内只有内只有 0 x一点 自然满足条件一点 自然满足条件 10 xxdAxAxd 而 而0 00 Axxd 也满足 也满足 1 00 rAxxd 但但 X 中每一点皆为中每一点皆为 A 的不动点 证毕的不动点 证毕 20 设设 nkjajk 2 1 为一组实数 适合条件为一组实数 适合条件1 2 1 n ji ijij a 其其 中中 jk 当当 j k 时为时为 1 否则为 否则为 0 证明 证明 代数方程组代数方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 对任意一组固对任意一组固定的定的 1 b 2 b n b 必有唯一的解 必有唯一的解 1 x 2 x n x 证明证明 记定义记定义 n R到到 n R内的映射内的映射 T TX AX X b 设 设 X X n R则则 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 XXda xxaxxaTXTXd n ji ijij n i n j jj n j ijij n i n j jjijij 由于由于 2 1 1 2 n ji ijij a 0 存在 N 当 n N 时有 n dN 时 若 m n 则 d n x m x n d yxyx 于是 我们就证明了 X Y 是赋范线性空间 证毕 例 3 设 n x 是 Banach 空间 X 中点列 满足条件 1n n x 求证 1 1 n n k k x在 X 中 收敛 且若记其极限为 1n n xx 则 1n n xx 证明 因为 1n n x收敛 所以若 0 则存在 N 当 m n N 时 必有 m nk k x 1 于是 m nk k m nk k n k k m k k xxxx 1111 因此 n k k x 1 是X中柯西列 因为X是Banach空间 故 存 在x 使 得 11 n limx n n n k k xx因 为 111x n n x k n x k xxx因 此 11 lim n n n k k n xxx 证毕 例 4 设是赋范线性空间 X 中的线性闭子空间 Yx 0 1 Y由 Y 和 0 x生成的线性子空间 YycyxY 01 求证 1 Y是 X 中的线性子空间 证明 设 00 yx n 中 1 Y的收敛列 0 limyyn n n 要证 1 Yxo 首 先 n 必 为C中 有 界 列 否 则 存 在 kk n k nn lim 由 0 limyyx k non k 可得 0lim 1 lim 0 k k k n k non n k y yx 因此 lim 0 Y y x k k n n k 此与Yx 0 矛盾 这 样 n 有 界 必 有 nnk 使 0 lim k n k 由 00 xyy kk nn 可 得 Yxyy k n k 000 lim 于是 1000 limYxyy k n k 证毕 例 5 ffC 0 是 上 的 连 续 函 数 且0 lim tf t 在 0 C上定义范数 supttff 求证 0 C是 Banach 空间 证明 易验证 o 1 0 0 ff的充要条件是 f 0 o 2 ff o 3 gfgf 设 n f 是 0 C中 柯 西 列 对 与 任 意 的0 存 在 N 当Nmn 时 suptftfff mnmn 这就证明了 n f t 在 上一致收敛与 f t 且 f t 在 上连续 以下证明0 lim tf t 对与任意的0 存在 n 使 sup tftf n 因为0 lim tf t 所以存在 M 当 t M 使 tfn 这就证明了0 lim tf t 这样 我们证明了 f 0 C 且0lim ffn n 于是 0 C是 Banach 空 间 证毕 翻函分析习题选讲 翻函分析习题选讲 8 例例 1 设设 X C a b t1 t tn n 1 Cba n 定义定义 X 上的线性泛上的线性泛 函 若函 若 1 n i ii txxfXx 求证求证 f 是是 X 上的有界性泛函 求上的有界性泛函 求 f 证 明证 明 任 意任 意xX f x n i ii tx 1 n i ii tx 1 1 n i ii tx 所以所以 f n i i 1 存在存在C 1 i 使 使 iii 存在 存在 xX 使使 2 1 nitx ii 且且 x 1 这样这样 f x n i ii tx 1 1 n i i 所以所以 f x 1 n i i 由此由此 我们证明了 我们证明了 f x 1 n i i 证毕 证毕 例题例题 2 设设 F 是是 0 C上的线性泛函 上的线性泛函 0 C的定义参的定义参 见七章例题讲例见七章例题讲例 5 若 若 F 满足条件 若满足条件 若 0 C且任意且任意 0 tt 则称则称 F 是正的线性泛函 求证 是正的线性泛函 求证 0 C上的正的上的正的 线性泛函的连续的 线性泛函的连续的 证明证明 任意复值函数任意复值函数 f 0 C 都可以写成 都可以写成 xfiy 其中其中 x y 是是 0 C中的实值函数 中的实值函数 x f 且且 y f 而实值函数又可以而实值函数又可以 x x x 其中 其中 0 max 0 max xxxx 均是均是 0 C中的非负函中的非负函 数 且数 且 xxxx 同 理同 理 yyyy 和和 y是 非 负 函 数 且是 非 负 函 数 且 yyyy 若存在若存在M0 使任意非负函数 使任意非负函数 FM 则则F必有界必有界 事实上 任意事实上 任意 0 4 fCfxxi yy F fF xF xiF yiF y F xF xF yF yM f 若若F在在 0 C 中的非负函数上是无界的 则存在非负函数中的非负函数上是无界的 则存在非负函数 n x 0 C n x 12n 1 n F x 1 2 n 由于由于 1 n n n x 因此第 因此第 七章例题选讲例七章例题选讲例 3 1 n n i xx 收敛 收敛 对 任意对 任意n 1 n n i xx 是 非 负函 数 是 非 负函 数 1 0 n n i F xx 因此 因此 1 n n i F xFxn 这样 这样 F x 此与 此与F 是是 0 C 上定义的线性泛函矛盾 因此上定义的线性泛函矛盾 因此 F必为有界的必为有界的 证毕 证毕 例例 3 设 设 F是是 C a b 上正的线性泛上正的线性泛函 求证 任意函 求证 任意 x y C a b 222 F xyF xF y 证明证明 1 若 若 x 是是 C a b 中实函数 则中实函数 则 x x x 其中 其中x x 是是 C a b 中非负函数 则中非负函数 则 F xF xF x 是实数 是实数 2 若 若 zxiy 是是 C a b 中复函数 其中中复函数 其中 x y 是实函是实函 数数 则 则 F zF xiF yF xiF yF z 3 若 若 x y是是 C a b 中函数 我们来证明中函数 我们来证明 222 F xyF xF y 对任意复数对任意复数 222 0 F xiyF xF xyF xyF y 不妨设不妨设 2 F y0 令 令 2 F xy F y 代入上式得代入上式得 2 2 0 F xy F x F y 因因 F xyF xy 得 得 22 F xyF xy F xF yF xy 证毕证毕 习题解答习题解答 1 举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性 举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性空间 空间 解解 设设 0 C是 收 敛 到是 收 敛 到 0 的 数 列 全 体 组 成 的 空 间 若的 数 列 全 体 组 成 的 空 间 若 1 2 n xx xx 则 则 sup n xx A是定义是定义 0 C上的算子 上的算子 12 11 2 n Axxxx n 易验证 易验证A是有界的 是有界的 且且A1 设设1 1 1 1 0 0 n n x 0 11 1 0 0 2 n AxC n 11 1 2 n Axn n 1 1 1 2 3 y 则 则y不属于不属于 A的值域 因此的值域 因此A的值域不是闭的线性子的值域不是闭的线性子 空间空间 2 求 求 1 1C 线性泛函线性泛函 01 10 f xx t dtx t dt 的范数 的范数 解解 由由 0101 1010 2f xx t dtxf t dtxf t dtxf t dtx 2f 设 设 1 1 1 1 1 1 1 1 n t n xt n ntt n n 则则 1 1 n xC 且 且1 1 2 xn 01 10 n f xx t dtx t dt 1 0 1 0 1 2 1 n n nt dtnt dt n 111 2 1 22nnn 1 2 n 由此 由此 1 2 n ff x n 令 令n 2 f 这样这样2f 3 设无穷阵 设无穷阵 1 2 ij i aj 满足满足 1 sup ij i j a 作 作l 到到l 中算子如下 中算子如下 若若 12 x 12 y Txy 则 则 1 1 2 iijj j ai 证明 证明 1 sup ij i i Ta 证明 设证明 设M 1 sup ij i i a 则若则若 12 x 12 y Tx 11 supsupsup supsup n iijjjijj iiijj ji TxyaaMM x 因此因此 TM 对任意对任意0 存在 存在 0 i 使 使 0 1 n i j j aM 设 设 12 xx x 其中 其中 j x 0 i j sign a 1 2 j 则则x l 且 且1x 若若 000 12 11 nn ii jji j jj yTxa xa M 因此 因此sup i i Tx M 由于由于 是任意的 故是任意的 故TM 这样我们就证明了 这样我们就证明了TM 1 sup ij i a 证毕证毕 4 设设 1 sup n n a 在 在 1 p lp 中定义线性算子 中定义线性算子 yTx i i a 1 2 3 i 其中其中 iin x 12 n y 证明 证明T是有界线性算子 并是有界线性算子 并 且且 1 sup n n Ta 证明 设证明 设 1 sup n n aM 由 由sup nn TxaM x 对任意 对任意0 存在 存在 0 n a 使使 0 n aM 设 设 iin x 其 中 若 其 中 若 0 in 则 则0 i 而 而 0 s n ign 0 n a 我们 我们 可验证可验证Tx 0 n M x aM 由于 由于 的的 任意性 得任意性 得TM 于是 于是TM 证毕证毕 5 X是是n维向量空间 在维向量空间 在X中任取一组基中任取一组基 12 n e ee uv t是是n n 矩阵 矩阵 作作X到到X中算子如下 当中算子如下 当 1 n v v v xx e 时 其中时 其中 u y 1 n uvv v t x 1 2 u 若 若 向 量 的 范 数 为向 量 的 范 数 为 1 2 2 1 n v v xx 证 明 上 述 算 子 的 范 数 满 足 证 明 上 述 算 子 的 范 数 满 足 11 22 22 111 max nnn uvuv v uuv tTt 证明 若证明 若 1 n v v v xx e 则 则 22 2 2222 111111111 nnnnnnnnn uvvuvvuvvuv uvuvuvvuv Txt xtxtxtx 所以所以 1 2 2 11 nn uv uv Tt 对任意对任意v 1 n vuv u u Tet e 于是 于是 1 2 2 1 n vuv u Tet 所以 所以T 1 2 2 1 n uv u t 因 因 此此 1 2 2 1 max n uv v u t T 证毕 证毕 6 设 设T是赋范线性空间是赋范线性空间X到赋范线性空间到赋范线性空间Y的线性算子 若的线性算子 若T的零空的零空 间是闭集 间是闭集 T是否一定有界 是否一定有界 解 令解 令 0 1XY 其中 其中 0 1 是是 0 1上多项式函数全体 视为上多项式函数全体 视为 C 0 1的的子空间子空间 T是是X到到Y的微分算子 若的微分算子 若0Tf 则 则f是常值函数 显然常值函数全是常值函数 显然常值函数全 体是闭子集 但体是闭子集 但T是非有界的 见教材底一节例九 是非有界的 见教材底一节例九 7 作作 1 p lp 中算子中算子T如下 当如下 当 12 p xx xl 时 时 12 Txy y 其中其中 1 nmnm m ytx 1 2 3 n 11 11 1 p q q mn nm t pq 证明 证明 T是有界线是有界线 性算子 性算子 证明 若证明 若 1 1 1111 p pp p mnmmnm nmnm Txtxtx 由由Holder不等式 有不等式 有 1 11 1111 p p pp pp mnmmnmmn mmmm txtxtx 因此 因此 1 11 p p q q mn nm Txt 证毕 证毕 8 按范数 按范数max j j x 12 n x 成赋范线性空间 问成赋范线性空间 问 n R的共轭的共轭 空间是什么 空间是什么 解解 记记 n R按范数按范数max i x 组成赋范线性空间为组成赋范线性空间为 n R n R按范数按范数 x 1 n i i 组成赋范线性空间为组成赋范线性空间为Y 我们来证明 我们来证明 X Y 定 义定 义 X 到到Y的 映 射 任 意的 映 射 任 意f X 1 n Tff ef e 其 中 其 中 0 0 1 0 0 i i e 1 2 i n 对任意对任意 1 n i i i xe 11 max nn iiii ii f xf ef eTfx 于是于是 fTf 反反之 对任意之 对任意 1n y Y 定义 定义f X 对任意 对任意 1 n i i i xe 1 n ii i f x 则 则Tfy 因此 因此T是是 X 到到Y的映射的映射 若若y 0 0 则显然 则显然0f 则 则0Tff 若若 1n y 0 0令令 1 n ii i xsigne 则 则x 1 因此因此f f x 1 n i i yTf 从而 从而Tff 于是 于是T是从是从 X 到到Y 的同构映射 在同构的同构映射 在同构的意义下的意义下XY 证毕 证毕 9 设设 0 C表示极限为表示极限为 0 的实数列全体 按通常的加法和乘法 以及的实数列全体 按通常的加法和乘法 以及 sup i i x 12n x 构成构成Banach空间 证明 空间 证明 1 0 Cl 证明 令证明 令0 0 01 00 n n e 则 则 0n eC 123n 对任意 对任意 0 fC 定义定义 1 n Tff ef e 以下先证以下先证 1 Tfl 且 且Tff 记记 1 n nnnni i i f esignxe 则 则 0n xC 且 且1 n x 12 n 111 nnn ni iiii iii f xfe 由于由于 nn f xfxf 因此 因此 1 n i i f 令 令n 1 n i i f 这就 这就 证明了证明了 1 Tfl 且 且Tff 再 证 对 任 意再 证 对 任 意 12 n y 定 义 定 义 0 C上 线 性 泛 函上 线 性 泛 函f 若 若 12n x 则 则 1 n ii i f x 因此 因此 112 nn Tff ef ey 又因为又因为 11 sup nn iiii i ii f xxy 因此因此 0 fC 且 且f yTf 于是 于是Tff 由以上证明可知 由以上证明可知 T是是 0 C 到 到 1 l上的同构映射 而在同构意义下 上的同构映射 而在同构意义下 1 0 Cl 证毕 证毕 第十一章第十一章 线性算子的谱线性算子的谱 1 1 设设 0 1 XCAx ttx txX 证明 证明 0 1 A 且其中没有特 且其中没有特 征值 征值 证明证明 当当 0 1 时 常值函数时 常值函数 1 1 不在不在IA 的值域中 因此的值域中 因此IA 不不 是满射 这样是满射 这样 A 反之若反之若 0 1 定义 定义算子算子 1 RRx t t 则由于 则由于 0 1 且 且 11 max 0 1 a t b R xx tx td 因此因此R 是是 C 0C 0 1 1 中有界线性算子 中有界线性算子 易验证易验证 RIAIA RI 所以 所以 A 总之总之 0 1 A 若若Aff 则对任意 则对任意t tf tf t 可推得 可推得 0f t 由于 由于 0 1 f tC 必有 必有 0f t 所以 所以 A 无特征值 证毕 无特征值 证毕 2 设设 0 2 it XCAx te x t xX 证明 证明 1 A 证明证明 对任意对任意 000 itititit ee IA x teex t 因为常值函数 因为常值函数 1 不在不在 0 it e IA 的值域中 因此的值域中 因此 0 it eA 这样 这样 1 A 反之 若反之 若1 定义 定义 1 it RR x tx t e 类似第 类似第 1 题可证题可证R 是是 有界线性算子 且有界线性算子 且 RIAIA RI 即 即 A 因此因此 1 A 证毕 证毕 3 设设 2 1223 nn XlAxA x xxx xx 试求试求 A 解解 对 任 意对 任 意 若 若1 定 义 定 义 1 n x 显 然 显 然 22 1 nn xlAxx 因此 因此 1 的内的内 点都是点都是 A 的点谱 由于的点谱 由于 A 是闭集 则是闭集 则 1 A 对 任 意对 任 意xA 显 然 显 然Axx 因 此 因 此1A 所 以 所 以 1 AA 这样我们就证明了这样我们就证明了 1 A 4 设设 F 是平面上无限有界闭集 是平面上无限有界闭集 n 是是 F 的一稠密子集 在的一稠密子集 在 2 l中中 定义算子定义算子 T 121 1 nnn Txx xxxx 则则 n 都是特征值 都是特征值 n TF F 中每个点是中每个点是 T 的连续谱 的连续谱 证明证明 对任意对任意 n 0 0 1 0 n e 其中 其中 1 在第在第 n 个坐标上 由题个坐标上 由题 设 设 nn n Tee 因此 因此 n 是是 T 的特征值 又由于的特征值 又由于 T 是闭集 所以是闭集 所以 n FT 若若F 则 则 0dF 定义算子 定义算子R 若 若 2 12 n xx xxl 12 12 111 n n R xxxx 易验证易验证 1 R xx dF 且 且 RITIT RI 因此因此 TF 若若 n F 且 且 2 12 n xx xxl 使 使Txx 则对任意 则对任意 n nnn xx 由于 由于 n 则 则0 n x 1 2 n 这样 这样 x 0 因此 因此 不是不是 特征值 而是连续谱 证毕 特征值 而是连续谱 证毕 5 设设 为线性算子为线性算子 n A的特征值 则的特征值 则 的的 n 次根中至少有一个是算次根中至少有一个是算 子子 A 的特征值 的特征值 证明证明 设设 是是 n A的特征的特征值 值 的的 n 次根为次根为 12 n 存在 存在0 x 使使 0 n AI x 则 则 12 0 n n AI xAIAIAI x 若若 1 0AI x 则 则 1 就是就是 A 的特征值 否则必有某的特征值 否则必有某 i 11 0 ii AIAIAI x 而而 11 0 ii AIAIAI x 则则 1i 是是 A 的特征值 证毕 的特征值 证毕 6 设设 A 为为 Banach 空间空间 X 上的有界线性算子 上的有界线性算子 0 A 又设 又设 n A 为为 X 上一列有界线性算子 且上一列有界线性算子 且lim0 n n AA 证明当 证明当 n 充分大后 充分大后 n A也以也以 0 为正则点 为正则点 证明证明 00 nn IAIAAA 1 00 n IA IIAAA 当当 n 充分大时 充分大时 1 0 1 n IAAA 这样 这样 1 0 n IIAAA 是是 可逆的 此可逆性由本章 可逆的 此可逆性由本章 2 定理定理 1 可证 又可证 又 0I A 也是可逆的 因也是可逆的 因 此当此当 n 充分大后 充分大后 0n IA 也可逆 证毕 也可逆 证毕 7 设设 A 是为是为 Banach 空间空间 X 上的有界线性算子 则当上的有界线性算子 则当A 时 时 1 1 0 n n n A RAI 1 R A 证明证明 当当A 时幂级数时幂级数 0 1 n n n A 收敛 因此级数收敛 因此级数 1 0 n n n A 必按算子必按算子 范数收敛 范数收敛 1 111 0000 1 nnnn nnnn nnnn AAAA IAIA 这就证明了这就证明了 1 1 0 n n n A AI 11 00 1 n n nn nn AA R A 证毕 证毕 8 设设 A 为为 X 上的有界线性算子 上的有界线性算子 A 则 则 RRR R 其中与其中与 R R 的意义同第 的意义同第 7 题 题 证明证明 在等式在等式 11 RRIAIA 两边左乘两边左乘R 右乘右乘R 得得 RRRIAIA RRR 因此因此 RRR R 证毕 证毕 9 9 设设 A 是是 HilbertHilbert 空间空间 H H 上的有界线性算子 上的有界线性算子 A A 为为 A A 的共轭算的共轭算 子 证明子 证明 AAA 证明证明 先证若先证若 T T 是是 HilbertHilbert 空间空间 H H 上的有界线性算子 若上的有界线性算子 若 T T 可逆 可逆 则则 T T 也可逆 且也可逆 且 11 TT 事实上 对任意事实上 对任意 x yH 11 x yTT x yx TTy 这 这样样 1 0 x yTTy 对任意对任意xH 成立 因此成立 因此 1 yTTy 恒成立 进恒成立 进 而而 1 TTI 同 理 同 理 1 TTI 这 一 证 明 了 这 一 证 明 了 T T 也 可 逆 且也 可 逆 且 11 TT 现在设现在设 A 则 则AI 可逆可逆 因此 因此 AIAI 也可逆 从也可逆 从 而而 A 同 理 若 同 理 若 A 则 则 A 这 就 证 明 了 这 就 证 明 了 AA 证毕 证毕 1010 设设 1 T是是 1 X 到到 2 X的全连续算子 的全连续算子 2T是是 2 X到到 3 X的有界线性算子 的有界线性算子 则则 2 1 T T是是 1 X到到 3 X的全连续算子 的全连续算子 证明证明 设设 n x 是是 1 X 中有界点列 因为中有界点列 因为 1 T全连续 所以全连续 所以 1 n T x中必有中必有 收敛子列 我们记之为收敛子列 我们记之为 1 k n Tx 又因为 又因为 2 T有界 所以有界 所以 2 1 k n TTx也收敛 也收敛 因此因此 2 1 n T T x有收敛子列 这就证明了有收敛子列 这就证明了 2 1 T T是全连续算子 证毕 是全连续算子 证毕 1111