江苏省南洋高级中学高三数学第一次诊断性考试试题(1).doc

南洋高中2015届高三第一次诊断性考试数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。1. 已知a1,2,3,4,5，b2,4,6,8，则ab_ 2. 设命题p：，命题q：sincos，则p是q的_条件 3. 已知i为虚数单位，则复数的模等于_ 4. 函数y2sin(x)cos(x)的最大值为_ read s1for i from 1 to 5 step 2 ss+i end forprint s end5. 设函数f (x)，若f (a)a，则实数a的值是_ 6. 阅读下列程序，输出的结果是_ 7. 有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_ 8. 设ar，函数f (x)ex是偶函数，若曲线yf (x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为_ 9. 已知a(m,n1)，b(1,1)(m、n为正数)，若ab，则的最小值是_10. 设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r ，则r；类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球的半径为r，四面体pabc的体积为v，则r_11. 设i、j分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|ai|a2j|，则|a2i|的取值范围是_ 12. 已知等差数列an和等比数列bn满足：a1b13，a2b27，a3b315，a4b435，则a5b5_13. 已知函数f (x)ax2bx与直线yx相切于点a(1,1)，若对任意x1,9，不等式f (xt)x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为_ 14. 点m是椭圆(ab0)上的点，以m为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点f，圆m与y轴相交于p,q，若pqm是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. 【本题14分】已知向量a(sin,1)，b(cos,)，且ab，其中(0,)（1）求的值；（2）若sin(x)，0x，求cosx的值.abcdefpq16. 【本题14分】如图，空间几何体abcdef中，四边形abcd是菱形，直角梯形adfe所在平面与面abcd垂直，且aead，ef/ad，其中p，q分别为棱be，df的中点（1）求证：bdce；（2）求证：pq平面abcd17. 【本题14分】某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2a5）的税收设每件产品的售价为x元（35x41），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件（1）求该商店的日利润l(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润l(x)最大，并求出l(x)的最大值 18. 【本题16分】若椭圆c：的离心率e为，且椭圆c的一个焦点与抛物线y212x的焦点重合（1）求椭圆c的方程； （2）设点m(2,0)，点q是椭圆上一点，当|mq|最小时，试求点q的坐标； （3）设p(m,0)为椭圆c长轴（含端点）上的一个动点，过p点斜率为k的直线l交椭圆与a,b两点，若|pa|2|pb|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值 19. 【本题16分】已知函数，图象与轴异于原点的交点m处的切线为，与轴的交点n处的切线为， 并且与平行.（1）求的值； （2）已知实数tr，求函数的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.20. 【本题16分】有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k1,2,3,n，n3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), , a(n,n)成等差数列（1）证明：dmp1d1p2d2（3mn，p1, p2是m的多项式），并求p1p2的值；（2）当d11,d23时，将数列dm分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，（每组数的个数构成等差数列）设前m组中所有数之和为(cm)4（cm0），求数列2cmdm的前n项和sn；（3）设n是不超过20的正整数，当nn时，对于（1）中的sn，求使得不等式(sn6)dn成立的所有n的值 高三第一次考试数学答题纸 高三_ 学号_ 姓名_ 密封线内不要答题一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。）1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11_12_13_14_二、 解答题（本大题共6小题，共计90分）15abcdefpq161718 高三_ 学号_ 姓名_ 密封线内不要答题19 20高三数学（理科）加试题参考公式：21.b. 选修4 - 2：矩阵与变换求矩阵a的逆矩阵.c. 选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线c的参数方程为（为参数，）.求曲线c的普通方程。22.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线c的顶点在原点，经过点a（2，2），其焦点f在轴上。（1）求抛物线c的标准方程；（2）求过点f，且与直线oa垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线c于d、e两点，me2dm，记d和e两点间的距离为，求关于的表达式。23. （本题满分10分）对于正整数2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数2，有.高三数学附加题答题纸 高三_ 学号_ 姓名_ 密封线内不要答题参考公式：b. 选修4 - 2：矩阵与变换 c. 选修4 - 4：坐标系与参数方程 22.23. 高三数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。21. 已知a1,2,3,4,5，b2,4,6,8，则ab_ 2,422. 设命题p：，命题q：sincos，则p是q的_条件 充分不必要23. 已知i为虚数单位，则复数的模等于_ 124. 函数y2sin(x)cos(x)的最大值为_ read s1for i from 1 to 5 step 2 ss+i end forprint s end25. 设函数f (x)，若f (a)a，则实数a的值是_ 126. 阅读下列程序，输出的结果是_ 1027. 有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_ 28. 设ar，函数f (x)ex是偶函数，若曲线yf (x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为_ ln229. 已知a(m,n1)，b(1,1)(m、n为正数)，若ab，则的最小值是_3230. 设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r ，则r；类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球的半径为r，四面体pabc的体积为v，则r_ 31. 设i、j分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|ai|a2j|，则|a2i|的取值范围是_ ,332. 已知等差数列an和等比数列bn满足：a1b13，a2b27，a3b315，a4b435，则a5b5_ 9133. 已知函数f (x)ax2bx与直线yx相切于点a(1,1)，若对任意x1,9，不等式f (xt)x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为_434. 点m是椭圆(ab0)上的点，以m为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点f，圆m与y轴相交于p,q，若pqm是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_(,)二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.35. 【本题14分】已知向量a(sin,1)，b(cos,)，且ab，其中(0,)（1）求的值；（2）若sin()，0，求cos的值.解：（1）a(sin,1)，b(cos,)，且ab，sincos03分tan，(0,) 6分（2）0sin()，cos()，10分coscos()cos()cossin()sin14分abcdefpq36. 【本题14分】如图，空间几何体abcdef中，四边形abcd是菱形，直角梯形adfe所在平面与面abcd垂直，且aead，ef/ad，其中p，q分别为棱be，df的中点（1）求证：bdce；（2）求证：pq平面abcd37. 【本题14分】某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2a5）的税收设每件产品的售价为x元（35x41），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件（1）求该商店的日利润l(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润l(x)最大，并求出l(x)的最大值解：（1）设日销售量为，则10，k10e40 则日销售量为件售价为x元时，每件利润为(x30a)元，则日利润l(x)(x30a)10e40 (35x41) 5（2）l(x)10e407当2a4时，3331a35，而35x41，l(x)0，l(x)在35，41上是单调递减函数则当x35时，l(x)取得最大值为10(5a)e59当4a5时，3531a36，令l(x)0，得xa31当x35,a31)时，l(x)0，l(x)在35,a31)上是单调递增函数； 当x(a31,41时，l(x)0，l(x)在(a31,41上是单调递减函数 当xa31时，l(x)取得最大值为10e9a13综上，当2a4时，l(x)max10(5a)e5 当4a5时，l(x)max10e9a14 38. 【本题16分】若椭圆c：的离心率e为，且椭圆c的一个焦点与抛物线y212x的焦点重合（1）求椭圆c的方程； （2）设点m(2,0)，点q是椭圆上一点，当|mq|最小时，试求点q的坐标； （3）设p(m,0)为椭圆c长轴（含端点）上的一个动点，过p点斜率为k的直线l交椭圆与a,b两点，若|pa|2|pb|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值 解：（1）椭圆c的方程为：4 （2）设q(x,y)，5x5|mq|2(x2)2y2x24x416x2x24x20对称轴x5当x5时，|mq|2达到最小值，当|mq|最小时，q的坐标为(5,0)8（3）设a(x1,y1)，b(x2,y2)，p(m,0)(5m5)，直线l：yk(xm)由得x1x2，x1x2，10y1y2k(x1m)k(x2m)k(x1x2)2kmy1y2k2(x1m)(x2m)k2x1x2k2m(x1x2)k2m212|pa|2|pb|2(x1m)2(x2m)2(x1x2)22x1x22a(x1x2)(y1y2)22y1y22y1y22a2(k21)|pa|2|pb|2的值仅依赖于k而与m无关512800k20k1639. 【本题16分】已知函数，图象与轴异于原点的交点m处的切线为，与轴的交点n处的切线为， 并且与平行.（1）求的值； （2）已知实数tr，求函数的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.解: （1）图象与轴异于原点的交点，图象与轴的交点，由题意可得，即， 2分， 4分（2）= 5分令，在 时，在单调递增， 6分图象的对称轴，抛物线开口向上当即时， 7分当即时， 8分当即时， 9分,，所以在区间上单调递增 10分时，当时，有，得，同理，1分 由的单调性知 、从而有，符合题设. 12分当时，由的单调性知 ，与题设不符 14分当时，同理可得，得，与题设不符. 15分综合、得 16分说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.40. 【本题16分】有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k1,2,3,n，n3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), , a(n,n)成等差数列（1）证明：dmp1d1p2d2（3mn，p1, p2是m的多项式），并求p1p2的值；（2）当d11,d23时，将数列dm分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，（每组数的个数构成等差数列）设前m组中所有数之和为(cm)4（cm0），求数列2cmdm的前n项和sn；（3）设n是不超过20的正整数，当nn时，对于（1）中的sn，求使得不等式(sn6)dn成立的所有n的值a(1,1), a(1,2), a(1,3), , a(1,n)a(2,1), a(2,2), a(2,3), , a(2,n)a(3,1), a(3,2), a(3,3), , a(3,n)a(m,1), a(m,2), a(m,3), , a(m,n)a(n,1), a(n,2), a(n,3), , a(n,n)解：（1）由题意知a(m,n)1(n1)dma(2,n)a(1,n)1(n1)d21(n1)d1(n1)(d2d1)，同理，a(3,n)a(2,n)(n1)(d3d2)，a(4,n)a(3,n)(n1)(d4d3)，a(n,n)a(n1,n)(n1)(dndn1)又a(1,n), a(2,n), a(3,n), , a(n,n)成等差数列，a(2,n)a(1,n)a(3,n)a(2,n)a(n,n)a(n1,n)故d2d1d3d2dndn1，即dn是公差为d2d1的等差数列.dmd1(m1) (d2d1)(2m)d1(m1)d2令p12m，p2m1，则dmp1d1p2d2（3mn，p1,p2是m的多项式）此时p1p21. 4（2）当d11,d23时，dm2m1数列dm分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，按分组规律，第m组中有2m1个奇数，第1组到第m组共有135(2m1)m2个奇数.前k个奇数的和为135(2k1)k2，前m2个奇数的和为m4.(cm)4m4，cm0cmm，2cmdm(2m1)2m6sn12322523(2n3)2n1(2n1)2n 2sn 122323(2n5)2n1(2n3)2n(2n1)2n+1相减得：sn222222322n122n(2n1)2n+1 2(222232n)2(2n1)2n+1 22(2n1)2(2n1)2n+1(32n)2n+16sn(2n3)2n+16；10（3）由（2）得dn2n1,sn