高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.3 幂函数课堂探究 新人教B版必修1.doc

3.3 幂函数课堂探究探究一 幂函数的概念1幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如yx(r)的函数才是幂函数(2)如果函数以根式的形式给出，则要注意对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断2待定系数法求幂函数解析式的方法若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)x，根据条件求出.【典型例题1】 (1)已知点m在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的解析式为()af(x)x2 bf(x)x2 cf(x) df(x)(2)下列函数中是幂函数的为_y；y2x2；y；yx2x；yx3.解析：(1)设幂函数的解析式为yx，则3，2.yx2.(2)的底数是变量，指数是常数，且系数为1，因此是幂函数；中x2的系数为2，因此不是幂函数；是由幂函数复合而成的函数，因此不是幂函数；不符合幂函数中x前的系数为1，因此不是幂函数答案：(1)b(2)探究二 比较大小比较幂形式的两个数大小的常用方法：1若能化为同指数，则用幂函数的单调性2若能化为同底数，则用指数函数的单调性3若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小【典型例题2】 比较下列各组数的大小：(1)，. (2)(1.2)3，(1.25)3.(3)5.251,5.261,5.262. (4)0.53,30.5，log30.5.思路分析：(1)借助函数y；(2)借助函数yx3；(3)借助函数y5.26x和yx1；(4)利用中间值法解：(1)y在0，)上是增函数，1.51.7，1.25，(1.2)3(1.25)3.(3)yx1在(0，)上是减函数，5.255.261.y5.26x在r上是增函数，12.5.2615.262.综上，5.2515.2615.262.(4)00.531，log30.50，log30.50.5330.5.探究三 幂函数的图象画图象时，一般先画第一象限内的图象，再结合函数性质补全图象，幂函数的图象与幂指数间有如下规律：1指数大于1，在第一象限的图象，类似于yx2的图象；2指数等于1，在第一象限为上升的射线；3指数大于0小于1，在第一象限的图象，类似于y的图象；4指数等于0，在第一象限为水平的射线；5指数小于0，在第一象限类似于yx1的图象【典型例题3】 如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()an1 bn0mn1 dnm1解析：由幂函数的图象及性质可知，在第一象限内，若幂指数大于零，则函数为增函数；若幂指数小于零，则函数为减函数，故m0，n0.又由yxm的图象与直线yx比较，得0m1.答案：b探究四 幂函数性质的综合应用对于与幂函数有关的综合性问题，一般涉及奇偶性与单调性问题，解决此类问题可分两步走：一是利用单调性来弄清指数的正负，二是利用奇偶性来确定幂函数的图象【典型例题4】 已知幂函数f(x)xm2m2(mz)是偶函数，且在(0，)上是减函数，求函数f(x)的解析式思路分析：先利用f(x)在(0，)上为减函数求出m的范围，再用代入检验的方法来验证是否为偶函数解：f(x)xm2m2(mz)是偶函数，m2m2为偶数又f(x)xm2m2(mz)在(0，)上是减函数，m2m20，即1m2.mz，m0或m1.当m0时，m2m22，2为偶数，当m1时，m2m22，2为偶数f(x)的解析式为f(x)x2.点评 本题要先充分利用函数为减函数的性质，这正是此问题的切入点，如果先选用偶函数这一性质，将不能准确快速地得出m的值探究五 易错辨析易错点因把函数看成定义域上的减函数而致误【典型例题5】 若32a.a，即a的取值范围是.错因分析：误认为y是r上的减函数，实质是y在(，0)和(0，)内均是减函数，而没有整体定义域上为减函数的性质正解：对于，可分三种情况讨论a1和32a都在(，0)内，此时方程组无解；a1和32a都在(0，)内，解得a；若a1和32a不在同一单调区