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误差理论与测量平差基础 ErrorsTheoryandFoundationofSurveyingAdjustment 课程结构 Ch1 Ch2 Ch3 Ch8 Ch5 Ch6 Ch7 Ch9 Ch10 Ch4 2 Ch1绪论 教材 误差理论与测量平差基础 误差理论与测量平差基础习题集 武汉大学出版社 3 Ch1绪论 怎样学好测量平差 预习 复习加习题练习 独立思考并推导公式 平差思想和解题思路 高数线代概率 习题练习 公式推导 数学基础 习题练习 公式推导 平差思想 平差思想 数学基础 4 Ch1绪论 为什么要学测量平差 1 测量过程中可能会出现照错目标读错数如何避免错误或及时发现错误 解决方法 增加多余观测 2 有多余观测 如何消除不符 求出最优值 5 Ch1绪论 测量平差的任务和意义任务1 消除不符值 寻求未知参数的最佳估值 2 评定结果的精度 意义所有观测数据只有通过平差才能使用 即测量平差是测绘科学和技术的基础和灵魂 6 Ch1绪论 测量平差的作用和地位1 解决测量工作中的实际问题 对测量数据进行处理 求出最佳估值 2 是测绘学科的基础理论 是对仪器操作和基本测量方法的主要补充 3 其核心知识是后续专业课程的重要基础 如大地测量 GPS测量原理 变形监测等 4 是测绘工程专业研究生入学考试课程 是硕士和博士阶段的重要课程 7 Ch1绪论 课程结构参见目录 8 Ch1绪论 基本概念误差对未知量进行测量的过程称为观测 测量所得的结果称为观测值 观测值与其真实值 真值 之间的差异称为测量误差或观测误差 通常称真误差 简称误差 测量平差测量平差是测量数据调整的意思 其定义是 依据某种最优化准则 由一系列带有观测误差的测量数据 求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法 9 1 1观测误差 一 误差来源测量仪器 仪器精密度 仪器轴线关系引起 观测者 操作水平 工作态度 使用习惯 外界环境 温度 湿度 风力 大气折光等 10 1 1观测误差 二 误差分类偶然误差在相同误差在大小和符号上表现出偶然性系统误差误差在大小和符号上表现出系统性 或按一定规律变化粗差即错误 11 1 1观测误差 12 1 2测量平差的研究对象 研究对象 带有误差的观测值经典测量平差 只含有偶然误差的观测值近代测量平差 观测值除了含有偶然误差 还含有系统误差或粗差 或两种兼有 平差问题的解决思路 13 1 3测量平差简史及发展 1794年 C F Gauss从概率统计角度提出了最小二乘法1806年 A M Legendre从代数角度提出了最小二乘法1809年 Gauss在 天体运动的理论 一文中发表 称为Gauss Legendre方法1912年 A A Markov 对最小二乘原理进行了证明 形成数学模型 函数模型 随机模型 近代发展现在的国内相关专家 14 1 4本课程的任务和内容 本书主要为经典测量平差内容 即只讨论带有偶然误差的观测值 1 偶然误差理论 偶然误差特性 传播 精度指标及估计 权 2 测量平差的函数模型和随机模型 最小二乘原理 3 测量平差的基础方法 条件平差 附有未知参数的条件平差 间接平差 附有限制条件的间接平差 平差计算模型及精度评定公式 各种平差方法的概括及联系 4 测量平差中的统计假设检验方法 15 本章结束 16 Ch2误差分布与精度指标 17 2 1偶然误差的规律性 基本假设 系统误差已消除 粗差不存在 即观测误差仅为随机误差 偶然误差 单个误差在误差大小及符号上没有明显的规律 表现出随机性 称为偶然误差 但对大量误差进行统计具有明显的规律 寻找偶然误差之规律性的方法 统计分析 1 统计表2 直方图3 误差分布 18 统计表 例1 在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角 三角形内角和应为180度 但由于误差的影响往往不等于180度 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔0 2秒进行统计 19 所有面积之和 k1 n k2 n 1 直方图 20 2 1偶然误差的规律性 偶然误差的特性由统计分析可以看出 偶然误差具有下列特性 1 有界性 在一定的观测条件下 偶然误差的绝对值有一定的限值 即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零2 聚中性 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大 3 对称性 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同 4 抵偿性 偶然误差的理论平均值为零 即 21 2 1偶然误差的规律性 例2 在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角 每个三角形内角之和应等于180度 但由于误差的影响往往不等于180度 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔0 2秒进行统计 22 0 475 提示 观测值定了其分布也就确定了 因此一组观测值对应相同的分布 不同的观测序列 分布不同 但其极限分布均是正态分布 图1 图2 23 当偶然误差的个数时 偶然误差出现的频率就趋于稳定 此时 若把偶然误差区间的间隔无限缩小 则直方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线 24 2 2正态分布 由概率论知 该曲线是正态分布的概率分布曲线 高斯在研究误差理论时最先使用了这一分布 所以正态分布又称为高斯分布 测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布 或者说偶然误差服从正态分布 其密度函数为 式中 和为参数 2 2正态分布 25 由密度函数知 偶然误差为正态随机变量 所以又称偶然误差为随机误差 下面来看参数和是什么 对正态随机变量求数学期望 2 2正态分布 26 作变量代换 令得因 2 2正态分布 27 2 2正态分布 所以再求的方差 同样作变量代换 可得 28 由以上推导知 参数和分别是随机误差的数学期望和方差 它们确定了正态分布曲线的形状 由知 随机误差的数学期望等于零 由正态分布知 正态分布曲线具有两个拐点 这两个拐点在横轴上的坐标为方差的几何意义是 方差是正态分布曲线的拐点横坐标 29 2 2正态分布 2 3精度及其衡量精度指标 观测值的质量取决于观测误差 偶然误差 系统误差 粗差 的大小 1 精度 指误差分布的密集或离散程度 可利用方差协方差阵描述 2 准确度 描述系统误差 可用观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述 即 3 精确度 是精度和准确度的合成 描述偶然误差 系统误差和粗差的集成 精确度可用观测值的均方误差来描述 即 当 即观测值中不存在系统误差和粗差时 亦即观测值中只存在偶然误差时 均方误差就等于方差 此时精确度就是精度 30 精度 准确度和精确度的形象描述 2 3精度及其衡量精度指标 31 精度 准确度 精确度 4 衡量精度的指标精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述 但在实际工作中很麻烦 且不能用一个数字来衡量其高低 为此 人们希望通过一个数字来偶然误差的离散程度 能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标 这样的数字很多 比如 4 1 方差和中误差设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 则其方差定义为 2 3精度及其衡量精度指标 32 2 3精度及其衡量精度指标 方差的算术平方根定义为中误差 即在实际工作中 n总是有限的 由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值 和 33 4 2 平均误差设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 则其平均误差由之绝对的数学期望定义 即 因为所以 2 3精度及其衡量精度指标 34 由上式知 不同的 对应着不同的 于是就对应着不同的误差分布曲线 所以平均误差也可作为衡量精度的指标 在实际工作中 既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值 也可由下式计算之 2 3精度及其衡量精度指标 35 4 3 或然误差当观测误差出现在之间的概率等于二分之一时 称为或然误差 如图 即令 则有由概率积分表可查得 当概率为二分之一时 积分限为0 6745 于是可得中误差与或然误差的理论关系 2 3精度及其衡量精度指标 36 2 3精度及其衡量精度指标 中误差 平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标 但由于当n不大时 中误差比平均误差更能反映大误差的影响中误差具有明确的几何意义 分布曲线的拐点坐标 平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系所以 世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指标 我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标 37 2 3精度及其衡量精度指标 4 4 极限误差由中误差的定义知 中误差是一组同精度观测误差的平方的平均值的平方根的极限 既然是平均值 就会有的观测误差的绝对值比中误差大 有的观测误差的绝对值比中误差小 那么 绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少 绝对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多少呢 由下图 通过积分 38 2 3精度及其衡量精度指标 可得观测误差出现在给定区间内的概率为 作变量代换 得k 1 2 3时的概率分别为 上式表明 绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31 7 绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4 5 绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0 3 即观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差 因此 实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限 并称为极限误差 用表示 39 4 5 相对误差观测值的中误差与观测值本身之比 称为相对误差 常用表示 2 3精度及其衡量精度指标 40 本章小结 1 几个基本概念及相互关系 41 2 一个事实不论观测条件如何 观测误差总是不可避免的 3 基本假设在本课程中 我们假设观测误差为偶然误差 即不含系统误差和粗差 换句话说 我们假设观测误差为服从正态分布的随机误差 4 统计规律在一定的观测条件下 偶然误差的绝对值有一定的限值 即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同 偶然误差的理论平均值为零 本章小结 42 本章结束 43 Ch3协方差传播律及权 44 3 1观测向量及其方差 协方差阵 作为衡量精度的指标 中误差可衡量一组观测值的精度 在实际工作中 我们得到的观测值往往是由多个观测值所构成的观测向量 因此 需要引入观测向量矩阵和方差 协方差矩阵 一 协方差对于变量X Y 其协方差为 45 3 1观测向量及其方差 协方差阵 二 协方差阵设有n维观测向量为则其方差 协方差阵定义为 特点 对称 正定 互不相关时为对角矩阵 对角线元素相等时 为等精度观测 46 3 1观测向量及其方差 协方差阵 三 互协方差阵设有两组观测向量为 n维的X r维的Y 则 它们的互协方差阵为 47 思考 若求DZZ 3 2协方差传播律 1 协方差传播律的作用计算观测向量函数的方差 协方差矩阵 从而评定观测向量函数的精度 2 预备公式当随机变量两两独立时 有 48 3 2协方差传播律 3 观测向量线性函数的方差设观测向量X及其期望和方差为 观测向量线性函数为式中 为常数 49 3 2协方差传播律 Z的期望为Z的方差为即展开成纯量形式 50 例题1例题2例题3 51 3 2协方差传播律 4 多个观测向量线性函数的协方差阵若观测向量的多个线性函数为则令 52 3 2协方差传播律 于是 观测向量的多个线性函数可写为 故有式中 为对称方阵 若还有观测向量的另外r个线性函数其矩阵形式为 53 3 2协方差传播律 则有 而同理 54 3 2协方差传播律 5 多个观测向量非线性函数的协方差阵基本思想 a 用全微分代替全增量 得到函数误差表达式 线性近似 b 应用协方差传播律 设观测向量的t个非线性函数为 对上式求全微分 得 55 令则由误差传播定律得 56 3 2协方差传播律 由以上推导知 求非线性函数的方差 协方差矩阵比求线性函数的方差 协方差矩阵只多一个求全微分的步骤 例题6例题7 57 6 应用协方差传播律时应注意的问题 1 根据测量实际 正确地列出函数式 2 全微分所列函数式 并用观测值计算偏导数值 3 计算时注意各项的单位要统一 4 将微分关系写成矩阵形式 5 直接应用协方差传播律 得出所求问题的方差 协方差矩阵 3 2协方差传播律 58 3 2协方差传播律 协方差传播律的应用1 水准测量的精度2 算术平均值的精度3 若干独立误差的联合影响4 平面控制点的点位精度点位方差 59 权的概念权是表征精度的相对指标 指观测值所占的比重 精度越高 比重越大 权的定义权与方差成反比权的意义 不在于其数值的大小 重要的是它们之间的比例关系 示例1 3 3权及定权的常用方法 60 3 3权及定权的常用方法 权的特点 1 选定一个 即有一组对应的权 2 不同 权不同 但权之间的比值不变 3 同一个问题中只能选一个 不能选多个 否则就破坏了权之间的比例关系 4 只要事先给定观测条件 就可确定权的数值 单位权中误差的概念权为1的观测值所对应的中误差 称为单位权中误差 即 61 3 3权及定权的常用方法 定权的常用方法1 水准测量的权1 按测站数确定2 按路线长度确定2 同精度观测值之算术平均值的权 62 N 每段路线的测站数 S 各水准路线的长度 N 观测值的观测次数 1 协因数与协因数阵协因数即为权倒数 3 4协因数和协因数传播律 63 特点 I对称 对角元素为权倒数II正定III各观测量互不相关时 为对角矩阵 当为等精度观测 为单位阵 3 4协因数和协因数传播律 即有 协因数阵也称为权逆阵 64 3 4协因数和协因数传播律 2 协因数传播律称为协因数传播律 或权逆阵传播律 与协方差传播律合称为广义传播律 3 权倒数传播律 65 3 4协因数和协因数传播律 全微分例题10 算术平均值之权等于观测值之权的n倍 例题11 带权平均值的权等于各观测值权之和 例题12 66 4 单位权中误差的计算用不同精度的真误差计算单位权中误差的公式如下 实际应用1 由三角形闭合差求测角中误差 67 菲列罗公式 本章小结 1 方差 协方差矩阵的定义2 协方差传播律 线性和非线性 3 应用协方差传播律所应注意的问题4 权与定权的常用方法5 协因数和协因数传播律 Ch3协方差传播律及权 68 测试题 3 1已知单位权方差为 观测值的权矩阵为试求 1 的方差2 的方差3 与的协方差 69 测试题 3 2某地块由一梯形和一个半圆形组成 如图所示 已知观测值a 12m b 8m c 10m的方差 协方差矩阵为 试求该地块的面积S的方差 注 取 70 本章结束 71 72 条件平差间接平差附参数条件平差附条件间接平差 随机模型函数模型函数模型线性化 参数估计最优估计的性质最小二乘原理 Ch4最小二乘原理 73 4 1平差函数模型 函数模型描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型目的 最优估计函数模型的未知量函数模型如何构造 必要观测 多余观测1 确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可 称其必要元素个数为2 必要元素有种选择 74 必要观测 多余观测2 确定平面三角形的形状与大小6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素 因此 其必要元素个数为3 任意2个角度 1个边 2个边 1个角度 三个边 4 1平差函数模型 75 必要观测 多余观测3 确定如图四点的相对高度关系必须有选择地观测6个高差中的3个 其必要元素个数为3 h1 h5 h6或h1 h2 h3或h1 h2 h4等 4 1平差函数模型 必要观测 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用t表示 特点 给定几何模型 必要观测及类型即定 与观测无关 必要观测之间不能有任何函数关系 即相互独立 76 多余观测 观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示 r n t 观测值 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测 称为观测值 观测值的个数一般用n表示 nt 可以确定模型 还可以发现粗差 4 1平差函数模型 必要观测可以唯一确定模型 其相互独立 可见若有多余观测必然可用这t个元素表示 即形成r个条件 实际上 4 1平差函数模型 78 函数模型1 条件平差以条件方程为平差函数模型的平差方法2 间接平差以观测方程为平差函数模型 或 或 4 1平差函数模型 79 4 1平差函数模型 3 附有参数的条件平差以含有参数的条件方程为平差函数模型4 附有条件的间接平差以观测方程和约束参数的条件方程为平差函数模型 或 条件方程的综合形式为 为了线性化 取X的近似值 取的初值 将F按台劳级数在X0 L处展开 并略去二次以及以上项 4 2平差数学模型 非线性函数线性化 模型形式与线性函数类似 82 用平差值代替真值 4 2平差数学模型 83 4 2平差数学模型 平差数学模型是平差函数模型和随机模型的综合体 表达模型并用于求未知量最佳估值 用于评定精度方差协方差 4 3参数估计与最小二乘 不论何种平差方法 平差最终目的都是对参数和观测量作出某种估计 并评定其精度 统称为对平差模型的参数进行估计 一 参数估计测量平差的参数估计 是要在众多的解中 找出一个最为合理的解 作为最终估计 最终估计值应具有最优的统计性质 84 4 3参数估计与最小二乘 二 最优估计的性质1 无偏性为参数的估计量 若有则称是的无偏估计量2 一致性若估计量同时满足则称是的严格一致估计量 85 4 3参数估计与最小二乘 3 有效性若是的无偏估计 具有无偏性的估计量并不唯一 如果对于两个无偏估计量和 有则称比有效 若此时为最有效估计量 86 4 3参数估计与最小二乘 三 最小二乘原理例 作匀速运动的质点在时刻的位置是 函数如下 在不同时刻测定质点位置 得一组观测值由运动方程可得 或用图解表示如图 87 4 3参数估计与最小二乘 从图中看到 由于存在观测误差 由观测数据绘出的点不成直线 采用什么准则对参数和进行估计 从而使估计直线最佳地拟合于观测点 一般应用的是最小二乘原理 使各观测点到该曲线的偏差的平方和达到最小 即 或或满足上式的估计称为最小二乘估计 此方法称为最小二乘法 88 本章结束 89 Ch5条件平差 90 在测量中 为了能及时发现错误和提高测量成果的精度 常做多余观测 如果一个几何模型中有r个多余观测 就产生了r个条件方程 以条件方程为函数模型的平差方法 就是条件平差 5 1条件平差原理 91 5 1条件平差原理 函数模型或随机模型未知数个是n 由于n r 所以条件方程是不定方程 如何求解 平差准则 如何求V值 92 5 1条件平差原理 一 基础方程及其解按求函数极值的拉格朗日乘数法 构造新函数求偏导 并令其等于0 以获得极值导出 改正数方程1 基础方程 1 两式称为条件平差的基础方程 2 n r个方程 n r个未知数 93 5 1条件平差原理 2 法方程及其组成令3 求解并计算观测量最佳估值 解出2 代人改正数方程求出V 94 5 1条件平差原理 二 条件平差的求解步骤 1 分析问题 根据具体问题列条件方程r个 2 组成法方程 个数r个 3 解法方程 求出联系数K 4 将K代人改正数方程 求出V 5 求观测值的平差值 6 检核 95 5 1条件平差原理 三 实例练习水准网如右图 观测值及其权阵如下 m 96 5 1条件平差原理 解 分析问题 条件方程法方程法方程的解 97 5 1条件平差原理 按 5 求改正数V 求观测值的平差值 检核 98 5 2条件方程的列立 列条件方程的原则1 足数 2 独立 3 最简 如何列立条件方程 首先确定条件方程的个数分析 n 9t 4r n t 9 4 5 99 5 2条件方程的列立 水准网 三角网 测角网 三边网 测边网 GPS基线向量网 单一附合导线 条件方程 条件方程线性化 100 5 2条件方程的列立 水准网的条件方程水准网的分类及水准网的基准有已知点和无已知点两类 要确定各点的高程 需要1个高程基准 水准网中必要观测数t的确定 保证足数 有已知点 t等于待定点的个数无已知点 t等于总点数减一水准网中条件方程的分类附合条件和闭合条件两类已知点个数大于1 存在附合和闭合两类条件已知点个数小于等于1 只有闭合条件 101 5 2条件方程的列立 水准网中条件方程的列立方法 1 先列附合条件 再列闭合条件 2 附合条件按测段少的路线列立 附合条件的个数等于已知点的个数减一 3 闭合条件按小环列立 保证最简 对于无重叠图形的水准网 网中有多少个小环 就列多少个闭合条件 4 对于有重叠图形的水准网 可先拿掉造成重叠图形的观测值 变为 3 中的情况 然后再加上拿掉的观测值 每加一个观测值就加一个包含此观测值的条件 在水准网条件平差中 按以上方法列条件方程 一定能满足所列条件方程足数 独立 最简的原则 102 5 2条件方程的列立 水准网条件方程列立举例 103 5 2条件方程的列立 104 5 2条件方程的列立 105 三角网 测角网 的条件方程 三角网的观测值三角网的观测值很简单 全部是角度观测值 三角网的作用确定待定点的平面坐标 三角网的类型单三角形 大地四边形 中点多边形 组合图形三角网的基准数据在三角测量中 要确定各三角点的平面坐标 必须先建立平面坐标系 在平面坐标系中 只要已知任意一个点的坐标 任意一条边的方位角和任意一条边的边长 那么 这个平面图形在平面坐标系中的位置 大小和方向就唯一地确定了 因此 三角测量中的基准数据为 位置基准2个 任意一点的坐标 方位基准1个 任意一条边的方位角 以及长度基准1个 任意一条边的边长 这四个基准数据等价于已知两个点的坐标 106 三角网 测角网 的条件方程 三角网中必要观测数t的确定有足够的基准数据 t 2m m为待定点点数 无足够的基准数据 t 2 z 2 z为三角网中的总点数 三角网中条件方程的类型图形条件 内角和条件 三角形三内角和等于180度 圆周条件 水平条件 圆周角等于360度 方位角条件 由一个已知方位角推至另一已知方位角 极条件 边长条件 由不同推算路线得到的同一边的边长相等 107 三角网 测角网 的条件方程 7 三角网中条件方程的列立举例图1中 n 3 t 2 r 1 即一个图形条件 图2中 n 8 t 4 r 4 即三个图形条件 一个极条件 108 三角网 测角网 的条件方程 图3中 n 15 t 8 r 15 8 7 即5个图形条件 一个圆周条件 一个极条件 由以上三例知 三角形只有图形条件 大地四边形有图形条件和极条件两类条件 只有中点多边形才有全部的三类条件 109 三角网 测角网 的条件方程 用一般符号列出图4的条件方程 n 33 110 三边网 测边网 的条件方程 三边网 测边网 的条件方程1 三边网的观测值三边网的观测值也很简单 全部是边长观测值 2 三边网的作用也是确定待定点的平面坐标 3 三边网的类型单三边形 大地四边形 中点多边形 组合图形4 三边网的基准数据三边网与三角网的区别是观测值 由于在三边测量中 观测值中带有长度基准 所以 三边测量中不需要长度基准 因此三边网的基准数据为 位置基准2个 任意一点的坐标 方位基准1个 任意一条边的方位角 即三个基准 111 三边网 测边网 的条件方程 5 三边网中必要观测数t的确定有足够的基准数据 t 2m m为待定点点数 无足够的基准数据 t 2z 3 z为三角网中的总点数 单三角形 t 23 3 3 而n 3 故r n t 3 3 0大地四边形 t 24 3 5 而n 6 故r n t 6 5 1中点N边形 t 2 N 1 3 2N 1 而n 2N 故r n t 2N 2N 1 1 以上各式表明 在测边网中 单三角形不存在条件 大地四边形和中点多边形都只一个条件 故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和 6 三边网中条件方程的列立可按角度闭合 也可按边长闭合 还可按面积闭合列立 按角度闭合 112 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程 1 GPS基线向量网的观测值 一条基线三个观测值 他们是 n 3s s是基线数 2 GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t三个坐标基准x y z 必要观测数为t 3 m 1 m为总点数 所以条件方程的个数为 r 3 s m 33 GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立按三角形列条件方程 每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线 如此列立 可保证足数 独立 最简的原则 113 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程 4 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例图1图2图1中r 3 3 3 3 3 即三个条件方程 这三个条件方程如下 图2中 r 3 6 4 3 9 即9个条件方程 114 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程 4 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例n 3 22 66 t 3 9 1 24 r 3 22 9 3 42 115 单一附合导线 1 导线的观测值导线的观测值由角度和边长两类观测值组成 2 单一附合导线的形状3 单一附合导线的必要观测数t 2m m为待定点点数 116 单一附合导线 4 单一附合导线的条件方程个数观测值的个数 角度m 2个 边长m 1个 观测值总数n 2m 3个 条件方程个数 r n t 2m 3 2m 3即不论待定点点数m为多少 单一附合导线的条件方程个数固定为3 5 单一附合导线的条件方程一个方位角条件两个坐标条件 117 非线性条件方程的线性化 1 问题的提出由前面列出的条件方程知 水准网平差 三维无约束平差中的条件方程 以及三角网平差中的图形条件和圆周条件 单导线中的方位角条件等都是线性方程 而极条件 坐标条件等都是非线性条件 因为条件平差中要求条件方程必须为线性形式 所以 平差前必须将非线性条件转化为线性条件 这一转化工作称为非线性条件方程的线性化 2 线性化的方法将非线性条件方程按台劳级数展开 略去二阶以上各项 即得条件方程的线性形式 118 非线性条件方程的线性化 设非线性条件方程为 为了将其按台劳级数展开 将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式 即 于是 有令 119 非线性条件方程的线性化 于是 非线性条件方程的线性形式为 3 几种非线性条件方程的线性形式极条件 在图5 4中 极条件为线性化得 120 非线性条件方程的线性化 两边同乘 得化简后的线性形式为 单一附合导线的坐标条件 121 非线性条件方程的线性化 上图的纵坐标条件为 式中是方位角平差值和边长平差值的函数 即将上式按台劳级数展开 略去二阶以上各项 得由于故 122 非线性条件方程的线性化 所以纵坐标条件方程为 因为所以纵坐标条件方程的最终形式为 123 非线性条件方程的线性化 同理可得横坐标条件方程的最终形式为 式中一般地 单一附合导线的坐标条件方程的最终形式为 式中 124 非线性条件方程的线性化 测边网条件在测边网中 按角度闭合时条件方程为 对于以上按角度表示的条件方程 可以用余弦定理解出各个角度 再按台劳级数展开可到其线性形式 但习惯上却是先导出角度改正数与边长改正数的关系 然后代入为此 下面来推导角度改正数与边长改正数的关系 125 非线性条件方程的线性化 如图 由余弦定理知 微分得 由图知 126 非线性条件方程的线性化 故有 将微换成改正数 并将弧度换成角度 得 上式称为角度改正数方程 它具有明显的规律 任意角度的改正数 等于其对边的改正数分别减去两邻边的改正数乘以其邻角的余弦 然后再除以该角至其对边的高 并乘以常数 按此规律 可得 127 非线性条件方程的线性化 大地四边形将其代入 得 128 非线性条件方程的线性化 中点多边形将其代入 得 129 非线性条件方程的线性化 在计算图形条件的系数和闭合差时 一般取边长改正数的单位为cm 高的单位为km 取2 0626 此时闭合差w的单位为秒 由观测边长计算系数中的角值 可按余弦定理或下式计算式中高按下式计算 130 5 3条件平差精度评定 1 观测值L的精度2 单位权方差的估值3 的计算 1 直接计算 2 用常数项与联系数 131 5 3条件平差精度评定 4 观测值函数的协因数条件平差中的基本向量W K V 都是观测向量L的函数 且由于观测向量L的协因数已知 所以应用协因数传播律可得 132 5 3条件平差精度评定 133 5 3条件平差精度评定 134 5 3条件平差精度评定 令则 135 5 3条件平差精度评定 5 平差值函数的协因数经条件平差后得到了观测值的平差值 需要提交的却是控制点的坐标或高程的平差值 他们都是观测值的平差值函数 因此 有必要研究平差值函数的协因数 设平差值函数的协因数为 对其全微分 得 136 5 3条件平差精度评定 式中为用观测值L算出的偏导数值 于是 应用协方差传播律可得 所以 平差值函数的中误差为 137 5 4公式汇编及示例 一 条件平差及其目的二 条件平差原理三 总结了条件平差的步骤 1 根据具体问题列条件方程式 2 组成法方程式 3 解法方程 4 计算改正数V 5 求观测值的平差值 6 检核 7 精度评定 138 5 1水准网如图所示 共观测了14段高差 问该水准网按条件平差应列多少个条件方程 试写出符合条件方程 测试题 139 5 2三角网如图所示 问 1 该网按条件平差共有几个条件方程 2 各类条件方程各有多少个 3 写出该网中中点多边形极条件的线性形式 测试题 140 5 3水准网如图所示 独立观测值及各路线长度如下 试按条件平差求待定点的高程和 序号观测值路线长10 213m2 0km20 456m2 0km30 240m1 0km41 234m1 0km50 992m3 0km 测试题 141 附 列条件方程时所遇到的实际问题 一 问题的提出由条件平差知 对于n个观测值 t个必要观测 n t 的条件平差问题 可以列出r n t个独立的条件方程 且列出r个独立的条件方程后就可以进行后继的条件平差计算 然而 在实际工作中 有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出 142 附 列条件方程时所遇到的实际问题 例如 在下图所示的测角网中 A B为已知点 AC为已知边 观测了网中的9个角度 即n 9 要确定C D E三点的坐标 其必要观测数为t 5 故条件方程的个数为r n t 9 5 4 即必须列出4个独立的条件方程 由图知 三个图形条件很容易列出 但第四个条件却不容易列出 143 附 列条件方程时所遇到的实际问题 二 问题的解决方案为了解决这个问题 可以选择某个 或某几个 非观测量作为参数 例如图中选择作为参数 设选择了u个参数 则原来的r个条件方程就变为c r u个了 如图中 由于选择了作为参数 则条件方程的个数就变为c r u 4 1 5个 即除了三个图形条件外 还可以列出1个极条件和1个固定边条件 如下图 若以A点为极 则极条件为 144 固定边条件为 由AC推算AB 或根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平差 称为附有参数的条件平差 下面 我们就来学习附有参数的条件平差 附 列条件方程时所遇到的实际问题 145 本章结束 146 Ch6附有参数的条件平差 147 附有参数条件平差原理 6 1附有参数的条件平差原理 一般地 附有参数的条件平差的函数模型为 1 式中V为观测值L的改正数 为参数近似值的改正数 其系数矩阵的秩分别为 其随机模型为 1 式中的未知数为n个观测值的改正数V和u个参数近似值的改正数样 即未知数的个数为m n u 而方程的个数为c r u 由于m c n r t 0 所以 1 式是一组具有无穷多组解的不定方程组 必须根据最小二乘原理 求出能使的一组解 为此 下面就来求解这组解 148 1 基础方程及其解为了求得解能使的一组解 按求函数之条件极值的方法 组成新函数 式中K是对应 6 1 式的联系数向量 为了求函数的极小值 将其分别对V和求一阶导数 并令其为零 即 6 1附有参数的条件平差原理 149 亦即 2 将 1 式和 2 式联立 则得到附有参数的条件平差的基础方程 3 将 3 式中的第二式代入第一式 消去改正数V 得 150 6 1附有参数的条件平差原理 2020 1 29 151 可编辑 令则 4 4 式称为附有参数的条件平差的法方程 因为 且 所以是满秩的对称方阵 其凯利逆存在 于是 用左乘 4 式的第一式 可得 5 再以左乘 4 式的第一式 顾及第二式 得 152 6 1附有参数的条件平差原理 令 6 则有 7 因为 且 故是满秩的对称方阵 其凯利逆存在 于是 由 7 式得 8 将 5 式和 8 式同时代入 2 式的第一式 得 9 8 式和 9 式就是附有参数的条件平差的最终解 153 6 1附有参数的条件平差原理 2 附有参数的条件平差的计算步骤由以上推导 可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下 1 根据具体的平差问题 选取u个独立的参数 并列出附有参数的条件方程 1 式 2 组成法方程 4 式 3 按 8 式和 9 式计算参数近似值的改正数和观测值L的改正数V 4 按计算观测值和参数的平差值 5 用平差值重新列平差值条件方程 检核整个计算的正确性 154 6 1附有参数的条件平差原理 3 举例某三角网如图所示 A B为已知点 BD为已知边 其已知数据为 各角的同精度独立观测值见表1 现选的最或是值为参数 试按附有参数的条件平差求观测值的平差值和参数的平差值 155 6 1附有参数的条件平差原理 表1 156 6 1附有参数的条件平差原理 本例中n 6 t 3 r 3 u 1 故c r u 4由图知 可列2个图形条件 1个极条件和1个固定边条件 这4个条件如下 157 6 1附有参数的条件平差原理 取 将非线性条件线性化后 得条件方程为 由于为同精度独立观测 故 于是由 4 式得法方程为 158 6 1附有参数的条件平差原理 6 1附有参数的条件平差原理 解得 由此可得观测值和参数的平差值为 检核略 159 1 单位权方差的估值在附有参数的条件平差中 单位权方差的估值仍为 10 6 2精度评定 160 2 基本向量的协因数矩阵 6 2精度评定 161 3 平差值函数的中误差设平差值函数为 对其全微分 得权函数式为 式中 应用协因数传播律 得 于是 平差值函数的中误差为 162 6 2精度评定 小结 1 为了某种需要 选择参数 2 每选一个参数 就增加一个条件方程 选择u个参数 就增加u个条件方程 3 条件方程的总数为c r u 4 单位权中误差的计算公式不变 5 求平差值函数的中误差时 应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数 163 6 3本章总结及示例 举例 水准网如图所示 1 按条件平差列出误差方程 2 选高程平差值为参数 列出全部条件方程 3 选和高程平差值为参数 列出全部条件方程 164 6 3本章总结及示例 解 1 由图知 n 5 t 2 故r n t 5 2 3 即三个条件方程 一个附合条件 二个闭合条件 2 选高程平差值为参数 则有u 1 c r u 4 即 165 6 3本章总结及示例 3 选和高程平差值为参数和 则u 2 c r u 3 2 5 n 此时有 由上式 4 5 式可得 166 6 3本章总结及示例 将 6 式代入 1 式 得 将 6 7 式代入 2 式 得 将 8 9 式代入 3 式 得 令 167 6 3本章总结及示例 则有 令则有 上式表明 当所选参数刚好等于必要观测数t 且参数之间相互独立时 附有参数的条件平差具有很简洁的条件方程 这种简洁的条件方程描述了各观测值的改正数与参数之间的关系 我们称这种关系为误差方程 以误差方程为基础可得到一种新的平差方法 间接平差 下面就来学习这种新的平差方法 168 6 3本章总结及示例 本章结束 169 Ch7间接平差 170 7 1间接平差原理 1 函数模型间接平差的函数模型就是误差方程 其一般形式为式中 且 171 2 随机模型间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同 即 3 基础方程及其解误差方程的个数为观测值的个数n 而未知数的个数为n t n 所以误差方程为超定方程组 故有无穷组解 而满足的解只有一组 由于向量V是向量的函数 按数学上求自由极值的方法有 7 1间接平差原理 172 转置后得 将此式与误差方程联立 得间接平差的基础方程为 基础方程的个数与未知数的个数相等 故有唯一解 为解此基础方程 将第二式代入第一式 消去V 得因为 所以上式有唯一解 令 7 1间接平差原理 173 则由上式解出参数后 代入误差方程可得到改正数V 进而可求得观测值的平差值 4 间接平差的计算步骤 1 根据平差问题的性质 选择t个独立量作为参数 2 列出误差方程 3 组成法方程 4 解算法方程 5 计算改正数V 6 计算观测值的平差值 7 1间接平差原理 174 间接平差的关键是列误差方程 而列误差方程的关键是选择待估参数 未知数 1 待估参数的个数在间接平差中 待估参数的个数等于必要观测的个数t 2 待估参数的选择选择原则 a 所选取t个待估参数必须相互独立 b 所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来 7 2误差方程的列立 175 3 不同情况下待估参数的选择及误差方程的列立 1 水准网在水准网平差中 通常选取待定点的高程平差值作为待估参数 a 无已知点的水准网 假定一点的高程已知 则选取其余t个点的高程平差值作为待估参数 b 有已知点的水准网 选取t个待定点的高程平差值作为待估参数 这样选取 既足数 又独立 而且容易写出参数与观测值之间的函数关系 还可以直接得到各点高程的平差值 7 2误差方程的列立 176 如图 选于是有 7 2误差方程的列立 177 令 则式中 178 例 水准网如图所示 已知 5 000m 3 953m 7 650m 各点的近似高程为 观测值见下表 试列出误差方程 m m m 7 2误差方程的列立 179 解 设于是误差方程为 7 2误差方程的列立 180 2 GPS网三维无约束平差在GPS网三维无约束平差中 常常选某点i作为参考点 则该点在WGS84系下的三维坐标 可看作已知数据 其余各点作为待定点 在WGS84系下 要确定一个点的空间位置 需要X Y Z三个坐标分量 设GPS网中的总点数为m个 则必要观测数为 因此 可选个点的坐标平差值作为参数 如图 以A点为参考点 即已知 则t个参数为 7 2误差方程的列立 181 于是 误差方程为 7 2误差方程的列立 182 3 三角网在三角网平差中 通常选m个待定点的坐标平差值作为待估参数 即t 2m 这样选 既足数 又独立 而且容易写出参数与观测值之间的函数关系 一般地 角度观测值可由右图表示 于是有 7 2误差方程的列立 183 例如右图所示的大地四边形 其必要观测数为4 图中待定点坐标也是4 故选 184 7 2误差方程的列立 于是 误差方程为 185 4 三边网有足够起算数据的三边网与三角网一样 也是选m个待定点的坐标平差值作为待估参数 即t 2m 一般地 边长观测值可由下图表示 于是有 7 2误差方程的列立 186 例如在下图 我们选 7 2误差方程的列立 187 于是 误差方程为 7 2误差方程的列立 188 5 导线网导线网为特殊的边角网 其必要观测数t 2m m为待定点个数 其观测值为角度观测值和边长观测值两类 所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程两类 可以先列角度误差方程 再列边长误差方程 7 2误差方程的列立 189 6 拟合模型a 曲线拟合如图 观测了很多散点 要求将其拟合成一条曲线 设此曲线为 7 2误差方程的列立 190 由于观测值y有误差 故由上式可得曲线拟合的误差方程为 b 曲面拟合曲面拟合在DEM GPS水准等工作中常常用到 将地面视为一个连续的曲面 则高程可表达为平面坐标的函数 且可用多项式表达为 由于观测值H有误差 故由上式可得曲面拟合的误差方程为 7 2误差方程的列立 191 c 标准曲线拟合对于标准曲线 由于其方程已知 其拟合方法有所不同 如图所示 测得m个点的坐标 要求拟合圆曲线 由于圆曲线的参数方程为 式中 为圆心坐标 R为半径 这三个参数是圆的基本参数 为第i点矢径的方位角 它是坐标的函数 所以确定一条圆曲线的必要观测数为t 3 不是书上所说的4 在圆周上观测了n 2m个点的坐标 则r 2m 3 于是 误差方程为 7 2误差方程的列立 192 7 坐标变换不论是GPS 还是GIS 还是RS 都会经常用到坐标变换 测量中的坐标变换 一般采用如图所示的相似变换 7 2误差方程的列立 193 由于两坐标系不是用同一个长度基准定义的 所以长度基准不一定严格相等 即两坐标系的单位长度之比可能为 于是坐标系中的长度变换到坐标系中时应乘以尺度比m 于是 式中 为待定参数 由于坐标观测值有误差 于是坐标变换的误差方程可写为 7 2误差方程的列立 194 4 非线性误差方程的线性化由以上所列误差方程知 角度观测值的误差方程 边长观测值的误差方程 圆曲线的误差方程 以及坐标变换的误差方程都是非线性误差方程 都必须线性化 下面介绍线性化的方法 7 2误差方程的列立 195 1 变量代换法对于坐标变换的误差方程 令则有 上式即为坐标变换的线性误差方程 7 2误差方程的列立 196 2 线性近似对于角度观测值的误差方程 边长观测值的误差方程和圆曲线的误差方程一般都是采用线性近似的方法线性化 角度观测值的误差方程 令 将 7 2误差方程的列立 197 在按台劳级数展开 取至一次项 得式中 7 2误差方程的列立 198 注意 上式是相对与右图中三点均为代定点导出的 1 当图中j点为已知点时 由于已知点的改正数为零 即于是 误差方程变为 2 当h k两点为已知点时 由于 7 2误差方程的列立 199 则误差方程变为 3 当h或k点为已知点时 误差方程变为 7 2误差方程的列立 200 或边长观测值的误差方程 令 将 7 2误差方程的列立 201 按台劳级数展开 取至一次项 得式中 注意 a 若j点为已知点 则上式变为 b 若k点为已知点 则 7 2误差方程的列立 202 圆曲线的误差方程令将按台劳级数展开 取至一次项 得式中 7 2误差方程的列立 203 课堂作业7 1水准网如图 观测高差和路线长度为 已知点高程分别为 用间接平差求 点高程平差值 标准答案 7 2误差方程的列立 204 由协因数传播律得 7 3精度评定 207 展开得 于是 7 3精度评定 208 总结 1 间接平差原理2 间接平差步骤3 误差方程列立4 非线性方程的线性化5 精度评定 7 4总结及实例解析 210 例 三角网如图 已知点坐标及观测值为 用间接平差求P点坐标平差值及其点位中误差 7 4总结及实例解析 211 三角网如图 已知 7 4总结及实例解析 212 观测值和待定点近似值为 试用间接平差求P点坐标的平差值和P点的位中误差 7 4总结及实例解析 213 在间接平差中 我们所选参数的个数u正好等于必要观测的个数t 即u t 并且t个参数相互独立 当我们实际选取的参数个数u大于必要观测的个数t时 情况会如何呢 我们通过实例来回答这个问题 在上图所示的三角网中 t 4 当我们除了选C D两点的坐标为参数外 还选C D两点间的距离为参数 即选由图知上试表明 当所选参数的个数u t时 参数之间一定存在函数关系 即参数之间存在s u t个条件 参数之间存在条件的平差又是一中种新的平差方法 附有条件的间接平差 7 4总结及实例解析 214 7 4总结及实例解析 7 1已知某平差问题的误差方程为 观测值的权阵为 试求参数及协因数阵 215 本章结束 216 Ch8附有限制条件的间接平差 217 附条件间接平差原理 8 1附有条件的间接平差原理 1 基础方程设误差方程