数字信号是处理傅里叶变换DFT论文.doc

数字信号处理课程论文 DFT的应用 姓名：学号：专业：班级：指导老师：学院：完成日期：DFT的应用 （# 1201124 20 级 班）【摘要】傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的变换，即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform,DFT）DFT的实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号可以在频域采样数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字处理的灵活性。更为重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT),从而使信号的实时处理和设备的简称得以实现。因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取代了传统的连续时间系统。所以说DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起核心作用。 本文就DFT的定义与计算、DFT的MATLANB实现、DFT DET的应用展开相关问题的探讨。【关键字】 离散傅里叶级数变换 MATLANB的应用 DFT的应用 一：DFT的定义与计算 1：定义设序列x(n)长度为M，定义x(n)的N点DFT为式中，N称为离散傅里叶变换区间长度，要求N M。为书写简单，令 ， 因此通常将N点DFT表示为定义X(k)的N点离散傅里叶逆变换(IDFT)为例1.1：x（n） ， 分别计算x(n)的8点、16点DFT。解: x(n)的8点DFT为x(n)的16点DFT为程序运行结果;二：DFT的MATLAB实现 1：傅里叶原理变换概述： 设有连续时间周期信号，它的周期为T，角频率，且满足狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种3。 1. 三角形式的傅里叶级数： 式中系数，称为傅里叶系数，可由下式求得： 2. 指数形式的傅里叶级数2： 式中系数称为傅里叶复系数，可由下式求得： 2：傅里叶变换及逆变换的MATLAB实现MATLAB 的Symbolic Math Toolbox 提供了能直接求解傅里叶变换及逆变换的函数Fourier()及Fourier()4。 1.1 fourier 变换 (1) F=fourier(f); (2) F=fourier(v); (3) F=fourier(f,u,v);说明： (1) F=fourier(f)是符号函数f 的Fourier 变换，缺省返回是关于的函数。如果 f=f(),则fourier 函数返回关于t 的函数。 (2)F=fourier(f,v)返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是缺省的 (3)F=fourier(f,u,v)对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的函数。 1.2 fourier 逆变换 (1) f=ifourier(F); (2) f=ifourier(F,u); (3) f=ifourier(F,v,u);说明：(1) f=ifourier(F)中输入参量F是傅里叶变换的符号表达式，缺省为符号变量w的函数，输出参量f是F的傅里叶逆变换的符号表达式，缺省为符号变量x的函数。 (2)f=ifourier(F,u)中输入参量F是傅里叶变换的符号表达式，缺省为符号变量w的函数，输出参量f是F的傅里叶逆变换的符号表达式，为指定符号变量u的函数(3)f=ifourier(F,v,u)中输入参量F是傅里叶变换的符号表达式，为指定符号变量v的函数，输出参量f是F的傅里叶逆变换的符号表达式，缺省为符号变量u的函数。3.函数的傅里叶级数展开级变换 （1）函数fourierszai 傅里叶级数中的应用例：如图所示为金波整流波形，试求该波的傅里叶级数展开式 解：如图所示的波形中一个周期的表达式为：us=15sin100tv()采用函数fouriers()求解时，可取t= 1001,a=0,b=1001,k=5,求解程序如下：Syms t:Us=15sin(100);T=1001,a=1,b=1001;=fouriers(u,s,t,T,a,b,5);F程序运行结果如下：可见波形的傅里叶级数展开式为;Us=尽管MATLAB采用的是符号计算方式，但结果和手工计算完全一致。（2）离散傅里叶变换（DFT）广泛应用于信号分析，光谱和声谱分析，全息技术等各个领域中。但直接计算DFT的运算与变换的长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大。随着计算机技术的迅速发展，在计算机上进行离散傅里叶变换计算成为可能，特别是快速傅里叶变换（FFT）算法的出现，为傅里叶变换的应用创造了条件。例：给定数学函数： 取n=128时，试对t从0s1s采样，用FFT做快速傅里叶变换，绘制相应的振幅-频率图。在0s1s时间范围内采样128点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅里叶变换时的下标应是0N-1，故在实际应用时下标应前移1。有考虑到对离散傅里叶变换来说，其振幅|F(k)|是关于N/2对称的，故只需k从0N/2即可。程序如下： N=128; % N为采样点数T=1; % 采样时间终点t=linspace(0,T,N); % 给出N个采样时间ti(i=1:N) x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); %求个采样点样本值xdt=t(2)-t(1); %采样周期f=1/dt; %采样频率X=fft(x); %计算x的快速傅里叶变换xF=X(1:N/2+1); %F(k)=X(k）（k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N； %使频率轴f从零开始plot(f,abs(F),-*) %绘制振幅频率图xlabel(Frequency);ylabel(|F(k)| 运行程序所绘制的振幅频率图如图1所示。从图可以看出，在幅值曲线上有两个峰值点， 对应的频率为10Hz和40Hz，这正是给定函数中的两个频 图1. 振幅-频率图求X的快速傅里叶逆变换，并与原函数进行比较： ix=real(ifft(X)； % 求逆变换，结果只取实部 plot(t,x,t,ix,:) % 逆变换结果和原函数的曲线 norm(x-ix) % 逆变换结果和原函数之间的距离 ans= 3.3457e-014 逆变换结果和原函数曲线如图2所示，可以看出两者一致。另外，逆变换结果和原函数之间的距离也近。 图2. FFT逆变换结果和原函数曲线比较 （3）傅里叶级数(fourierbn)的应用非常广泛，尤其是周期函数在大学物理、电路分析、模拟电路、及数学物理方程中都起着至关重要的作用。故傅里叶级数的展开以及求解变换是我们务必要掌握的。MATLAB为我们提供了求解这些问题的简单便捷的方法。在MATLAB中，进行傅里叶变换的函数是： fourier(f,x,t):求函数f(x)的傅里叶像函数F(t), Ifourier(F,t,x):求傅里叶级数F(t)的原函数f(x)例：求函数y=|x|的傅里叶变换及其逆变换程序如下： syms x t; % 定义符号变量x,t y=abs(x); % y等于绝对值x Ft=fourier(y,x,t) % 求y的傅里叶变换 Ft= -2/t2 fx=ifourier(Ft,t,x) % 求Ft的傅里叶逆变换 fx= x*(2*heaviside(x)-1) 结果中的Heaviside是一个MATLAB函数，数学上称为单位跳跃函数，其定义是： (1) （4）连续时间周期信号的傅里叶变换程序如下： t=0:0.1:40; % 定义变量t,且t的范围是0-40，其步长为0.1k=1000; % 定义变量kfor i=-k:k a(i+k+1)=sin(i*pi/2)/(i*pi); a(k+1)=0.5; x(i+k+1,:)=a(i+k+1)*exp(j*i*(t+1)*pi/2);endx=sum(x) % 对x进行求和plot(t,x) % 绘制t-x曲线其图形如图3所示 图3.连续时间周期信号傅里叶变换符号运算功能是MATLAB的一个特色，对于许多工程计算问题，MATLAB中及提供了数值和符号的运算方法。两者各有用途，数值计算方法能得到近似数值解，但不能给出解析解；符号方法能给出解析解，但结果一般比较复杂，且对问题的选择性强，很多问题无法用符号方法求解。在实际应用中，应根据问题性质灵活选择解决方案。 通过以上几个与级数相关的例子，可以总结以下几点； 1.基于MATLAB强大的运算，绘图功能，它可以将复杂的级数求解问题迅速的求解出来，在需要相应的图解时，可以编写程序很快的将图形绘制出来，给人以直观的感觉。2.sym函数可以用来定义符号变量，并且一次只能定义一个符号变量。它可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。3.MATLAB语言中的运算符号与数学中的运算符号不同，所以在编写程序的过程中一定要注意其符号。4.在级数展开中，一定要明白其调用格式中每一项所代表的含义，只有这样才能够正确的编写，操作。5.运算结果在命令窗口中显示出来，如果在语句的最后加分号，那么MATLAB仅仅执行赋值操作，不再显示运算的结果。在MATLAB语句后面可以加注释，用于解释或说明语句的含义，对语句处理结果不产生任何影响。注释以%号开头，后面是注释的内容。四课程体会 初步接触数字信号处理只有一个感觉就是挺难得，需要理解的内容比较多，尤其是在信号与系统理解的不是很透彻的前提下，上完一节课不及时复习下节课就很难听懂，认为DFT很难，所以后来随着课堂的认真听课，下课后的及时复习以及认真的做试验，真正的感受到了DFT 的魅力所在。 通过这一次的课程设计有很多的收获和感触。刚着手做课程设计时觉得没有思路，从何着手，于是，在网上搜索相关资料，但资料不是很多，就打开课本仔细的揣摩例题，看相关的知识点，实际写起来时渐渐地才感觉有了思绪。在高等数学及MATLAB程序设计和数字信号处理中中找到相关应用资料花费了很长的时间，但对书上的内容了解透彻了很多。在课程设计的过程中，进一步的领会验证了MATLAB语言的快捷性、简便性及专一性。无论是多么复杂的级数求解问题，用MATLAB求解都会变得很简单，但编程中若出现一个小小的错误，程序都不能运行，这就进一步对我们的耐心和细心有了严格的考验和要求。因此，通过此次编写程序，的确有不小的进步，这次的课程设计不仅是我加深了对数字信号处理的理解，更加深了对MATLAB的理解，而且使我对计算机有了更熟练的操作技巧，尤其是数