（新课标）高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系 理.doc

第3讲直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系训练提示:根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次项系数是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,才可以用判别式的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系.1.在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆c1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f1(-1,0),且点p(0,1)在c1上.(1)求椭圆c1的方程;(2)设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)因为椭圆c1的左焦点为f1(-1,0),所以c=1,将点p(0,1)代入椭圆方程x2a2+y2b2=1,得1b2=1,即b2=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆c1的方程为x22+y2=1.(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,由x22+y2=1,y=kx+m,消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为直线l与椭圆c1相切,所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,整理得2k2-m2+1=0, 由y2=4x,y=kx+m,消去y并整理得,k2x2+(2km-4)x+m2=0,因为直线l与抛物线c2相切,所以2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1, 综合,解得k=22,m=2或k=-22,m=-2.所以直线l的方程为y=22x+2或y=-22x-2.2.若双曲线e:x2a2-y2=1(a0)的离心率等于2,直线y=kx-1与双曲线e的右支交于a,b两点.(1)求k的取值范围;(2)若|ab|=63,点c是双曲线上一点,且oc=m(oa+ob),求k,m的值.解:(1)由ca=2,a2=c2-1得a2=1,c2=2,故双曲线e的方程为x2-y2=1.设a(x1,y1),b(x2,y2),由y=kx-1,x2-y2=1得(1-k2)x2+2kx-2=0.(*)因为直线与双曲线右支交于a,b两点,故k1,=(2k)2-4(1-k2)(-2)0,即k1,-2k2,所以k的取值范围为(1,2).(2)由(*)得x1+x2=2kk2-1,x1x2=2k2-1,所以|ab|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(2-k2)(k2-1)2=63,整理得28k4-55k2+25=0,所以k2=57或k2=54.又1kb0)的中心为o,它的一个顶点为(0,1),离心率为22,过其右焦点的直线交该椭圆于a,b两点.(1)求这个椭圆的方程;(2)若oaob=0,求oab的面积.解:(1)因为ca=22,所以c2=12a2,依题意b=1,所以a2-c2=1,所以a2-12a2=1,所以a2=2,所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)椭圆的右焦点为(1,0),当直线ab与x轴垂直时,a,b的坐标为(1,22),(1,-22),此时oaob=120,所以直线ab与x轴不垂直.设直线ab的斜率为k,则直线ab的方程为y=k(x-1),与x22+y21=1,联立得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),线段ab的中点为m(x0,y0),所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2(k2-1)2k2+1,m(2k22k2+1,-k2k2+1),因为oaob=0,即(x1,y1)(x2,y2)=0,所以x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)k(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2(x1+x2)+k2=0,即2(k2+1)(k2-1)2k2+1-4k42k2+1+k2=0,所以k2=2,所以k=2,所以|ab|2=4|om|2=4(2k22k2+1)2+(-k2k2+1)2=7225,所以|ab|=625.rtoab斜边高为点o到直线ab的距离d=|k|k2+1=23,所以oab的面积为12d|ab|=1223625=235.4.(2015昆明模拟)设抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,准线为l,mc,以m为圆心的圆m与l相切于点q,q的纵坐标为3p,e(5,0)是圆m与x轴的不同于f的一个交点.(1)求抛物线c与圆m的方程;(2)过f且斜率为43的直线n与c交于a,b两点,求abq的面积.解:(1)由抛物线的定义知,圆m经过焦点f(p2,0),q(-p2,3p),点m的纵坐标为3p,又mc,则m(3p2,3p),|mf|=2p.由题意,m是线段ef的垂直平分线上的点,所以3p2=p2+52,解得p=2,故抛物线c:y2=4x,圆m:(x-3)2+(y-23)2=16.(2)由题意知直线n的方程为y=43(x-1),由y2=4x,y=43(x-1),解得x=4,y=4或x=14,y=-1.设a(4,4),b(14,-1),则|ab|=254.点q(-1,23)到直线n:4x-3y-4=0的距离d=8+635,所以abq的面积s=12|ab|d=20+1534.圆锥曲线的轨迹问题训练提示:求动点的轨迹方程的关键:根据题目条件选择合适的方法,寻找关于动点,横纵坐标所满足的关系式.5.(2015甘肃兰州第二次监测)已知点p为y轴上的动点,点m为x轴上的动点,点f(1,0)为定点,且满足pn+12nm=0,pmpf=0.(1)求动点n的轨迹e的方程;(2)过点f且斜率为k的直线l与曲线e交于两点a,b,试判断在x轴上是否存在点c,使得|ca|2+|cb|2=|ab|2成立,请说明理由.解:(1)设n(x,y),则由pn+12nm=0,得p为mn的中点.所以p(0,y2),m(-x,0).所以pm=(-x,-y2),pf=(1,-y2).所以pmpf=-x+y24=0,即y2=4x.所以动点n的轨迹e的方程y2=4x.(2)设直线l的方程为y=k(x-1),由y=k(x-1),y2=4x,消去x得y2-4ky-4=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4.假设存在点c(m,0)满足条件,则ca=(x1-m,y1),cb=(x2-m,y2),所以cacb=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=(y1y24)2-m(y12+y224)+m2-4=-m4(y1+y2)2-2y1y2+m2-3=m2-m(4k2+2)-3.显然关于m的方程m2-m(4k2+2)-3=0有解.即在x轴上存在点c,使得|ca|2+|cb|2=|ab|2成立.6.已知圆m:(x+1)2+y2=1,圆n:(x-1)2+y2=9,动圆p与圆m外切并且与圆n内切,圆心p的轨迹为曲线 c.(1)求c的方程;(2)l是与圆p、圆m都相切的一条直线,l与曲线c交于a,b两点,当圆p的半径最长时,求|ab|. 解:由已知得圆m的圆心为m(-1,0),半径r1=1;圆n的圆心为n(1,0),半径 r2=3.设圆p的圆心为p(x,y),半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切,所以|pm|+|pn|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线c是以m,n为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x-2).(2)对于曲线c上任意一点d(x,y),由于|dm|-|dn|=2r-22,所以r2,当且仅当圆p的圆心为(2,0)时,r=2.所以当圆p的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|ab|=23.若l的倾斜角不为90,由r1r知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为q,则|qp|qm|=rr1,可求得q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l与圆m相切得|3k|1+k2=1,解得k=24.当k=24时,y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-4627.所以|ab|=1+k2|x2-x1|=187.当k=-24时,由图形的对称性可知|ab|=187.综上,|ab|=23或|ab|=187.类型一:直线与圆锥曲线的位置关系1. 如图,f1(-c,0),f2(c,0)分别是椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过点f1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点p,过点f2作直线pf2的垂线交直线x=a2c于点q.(1)若点q的坐标为(4,4),求椭圆c的方程;(2)证明:直线pq与椭圆c只有一个交点.(1)解:将点p(-c,y1)(y10)代入x2a2+y2b2=1得y1=b2a,pf2qf2b2a-0-c-c4-04-c=-1,即2b2=ac(4-c). 又q(4,4),所以a2c=4, c2=a2-b2(a,b,c0), 由得a=2,c=1,b=3,所以椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)证明:设q(a2c,y2).由(1)知p(-c,b2a).所以kpf2=b2a-0-c-c=-b22ac,kqf2=y2-0a2c-c=cy2a2-c2.所以pf2qf2-b22accy2a2-c2=-1y2=2a,所以kpq=2a-b2aa2c+c=ca.则直线pq的方程可表示为y-b2a=ca(x+c),即cx-ay+a2=0,由cx-ay+a2=0,x2a2+y2b2=1,消去y可得a2x2+2ca2x+a4-a2b2=0.因为a0,所以x2+2cx+a2-b2=0,即x2+2cx+c2=0,此时=(2c)2-4c2=0.故直线pq与椭圆c只有一个交点.2.(2014湖北卷)在平面直角坐标系xoy中,点m到点f(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点p(-2,1),求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解:(1)设点m(x,y),依题意得|mf|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1.化简整理得y2=2(|x|+x).故点m的轨迹c的方程为y2=4x,x0,0,x0.(2)在点m的轨迹c中,记c1:y2=4x,c2:y=0(x0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(*)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹c的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹c恰好有一个公共点(14,1).当k0时,方程(*)根的判别式为=-16(2k2+k-1).(*)设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.(*)()若0,x00,由(*)(*)解得k12.即当k(-,-1)(12,+)时,直线l与c1没有公共点,与c2有一个公共点.故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点.()若=0,x00,x00,由(*)(*)解得k(-1,12),或-12k0,x00,由(*)(*)解得-1k-12或0kb0),点o为坐标原点,点a的坐标为(a,0),点b的坐标为(0,b),点m在线段ab上,满足|bm|=2|ma|,直线om的斜率为510.(1)求e的离心率e;(2)设点c的坐标为(0,-b),n为线段ac的中点,点n关于直线ab的对称点的纵坐标为72,求e的方程.解:(1)由题设条件知,点m的坐标为(23a,13b),又kom=510,从而b2a=510.进而得a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线ab的方程为x5b+yb=1,点n的坐标为(52b,-12b).设点n关于直线ab的对称点s的坐标为(x1,72),则线段ns的中点t的坐标为(54b+x12,-14b+74).又点t在直线ab上,且knskab=-1,从而有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,解得b=3.所以a=35,故椭圆e的方程为x245+y29=1.4.(2015江西赣州高三模拟)已知椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,a是e的右顶点,p,q是e上关于原点对称的两点,且直线pa的斜率与直线qa的斜率之积为-34.(1)求e的方程;(2)过e的右焦点作直线与e交于m,n两点,直线ma,na与直线x=3分别交于c,d两点,设acd与amn的面积分别记为s1,s2,求2s1-s2的最小值.解:(1)设p(x0,y0),q(-x0,-y0),则y02=b2a2(a2-x02),kpakqa=y0x0-ay0x0+a=y02x02-a2=-b2a2,依题意有b2a2=34,又c=1,所以解得a2=4,b2=3,故e的方程为x24+y23=1.(2)设直线mn的方程为x=my+1,代入e的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0,设m(x1,y1),n(x2,y2),则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,直线ma的方程为y=y1x1-2(x-2),把x=3代入得yc=y1x1-2=y1my1-1,同理yd=y2my2-1.所以|cd|=|yc-yd|=|y1-y2|m2y1y2-m(y1+y2)+1|=3m2+1,所以s1=12|cd|=32m2+1.s2=12|af|y1-y2|=6m2+13m2+4,2s1-s2=3m2+1-6m2+13m2+4,令m2+1=t(t1),则m2=t2-1,所以2s1-s2=3t-6t3t2+1,记f(t)=3t-6t3t2+1,则f(t)=3+6(3t2-1)(3t2+1)20,所以f(t)在1,+)上是单调递增的,所以f(t)的最小值为f(1)=32.即2s1-s2的最小值为32.类型三:圆锥曲线与向量的综合5.(2015吉林模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,右焦点到直线x+y+6=0的距离为23.(1)求椭圆的方程;(2)过点m(0,-1)作直线l交椭圆于a,b两点,交x轴于n点,且满足na=-75nb,求直线l的方程.解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c0),则|c+6|2=23,c+6=26,c=6或c=-36(舍去).又离心率ca=32,6a=32,故a=22,b=a2-c2=2,故椭圆的方程为x28+y22=1.(2)设a(x1,y