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全国初中数学竞赛初赛试题（一）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1要使方程组的解是一对异号的数，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）2一块含有角的直角三角形（如图），它的斜边AB8cm, 里面空心的各边与的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) (D) 3将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种 4作抛物线A关于轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是，则抛物线A所对应的函数表达式是( )(A) (B) (C) (D) 5书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A) (B) (C) (D) 6如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第次依次移动个顶点。如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D。依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7一元二次方程中，若都是偶数，C是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是 11中，分别是的对边，已知，则的值是等于 。12设直线和直线(是正整数)及轴围成的三角形面积为，则的值是 。13如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为 。14边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 。 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）15(12分)已知都是整数，且,求的值。16. 做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A，B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。某日王老板进货A款式服装35件，B款式服装25件。怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？17. 如图所示，O沿着凸n边形A1A2A3An-1An的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置。（1）当O和凸n边形的周长相等时，证明O自身转动了两圈；（2）当O的周长是，凸n边形的周长是时，请写明此时O自身转动的圈数。18. 已知二次函数。（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；（2）如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值。全国初中数学竞赛初赛试题（一）参考答案一、选择题1答案D解：解方程组，得要使方程组的解是一对异号的数，只需2答案B解：连结BE，分别过E，F作AC的平行线 BC于点M和N，则EM=1，BM=，MN= 小三角形的周长是MN+2MN+MN=6cm3答案C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种4答案：D解：将抛物线C再变回到抛物线A：即将抛物线y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2(x-1)2-2，而抛物线y=2(x-1)2-2关于x轴对称的抛物线是y=-2(x-1) 2+25答案：A解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是6答案：A解：经实验或按下 方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+k=，应停在第格，这是P是整数，且使06，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若70知y至少为5，即x=126+4=130.所以甲队至少有130人. 15.解：右图给出了一个符合要求的填法； 共有6种不同填法AEBF CD984137256把填入A,B,C三处圈内的三个数之和记为x；D,E,F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z.显然有x+y+z=1+2+9=45 图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有z+3y+2x=618=108 -,得X+2y=108-45=63 把AB,BC,CA每一边上三个圈中的数的和相加，则可得 2x+y=318=54 联立，解得 x=15，y=24，继而之z=6.在1，2，3，9中三个数之和为24的仅为7，8，9，所以在D,E,F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中指数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内指数也随之确定，从而的结论，共有6种不同的填全国初中数学竞赛试题（三）参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）1在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C解：因为4和9的最小公倍数为36，1936=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处故选C2已知，且=8，则a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 答：C解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故选C3RtABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴若斜边上的高为h，则（ ）（A）h1 （B）h=1 （C）1h2答：B解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|a|），则点B的坐标为（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜边AB上高h= a2c2=1故选B4一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360于是，剪过k次后，可得(k1)个多边形，这些多边形的内角和为(k1)360因为这(k1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34(622)180=3460180，其余多边形有(k1)34= k33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k33) 180所以(k1)3603460180(k33)180，解得k2005当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和3358个三角形于是共剪了58333358=2005（刀）故选B（第5题图）ABCDOQP5如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为（ ）（A）（B） （C）（D）答：D（第5题图）ABCDOQP解：如图，设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根据相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即 ， 解得所以， 故选D二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6已知a，b，c为整数，且ab=2006，ca=2005若ab，则abc的最大值为 答：5013解：由，得 因为，a400，所以，12.5x13.5 故x=13，此时9已知0a1，且满足，则的值等于 (表示不超过x的最大整数)答：6解：因为01当a1时， =10分又当时，由，得 ， 将两边平方，结合得化简得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范围为a1且，15分解法二：因为，所以，所以 又，所以，为一元二次方程 的两个不相等实数根，故，所以a1当a1时， =10分 另外，当时，由式有 ，即 或 ，解得，或当时，同理可得或所以，a的取值范围为a1且，15分（第13题）ABCOPEK13如图，点P为O外一点，过点P作O的两条切线，切点分别为A，B过点A作PB的平行线，交O于点C连结PC，交O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K求证：PEAC=CEKB证明：因为ACPB，所以KPE=ACE又PA是O的切线，所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割线定理得 所以 10分因为ACPB，KPEACE，于是 故 ，即 PEAC=CEKB 15分1410个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中求n的最小值解：设10个学生为，n个课外小组，首先，每个学生至少参加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一