高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系学案 新人教B版必修2.doc

2.3.3直线与圆的位置关系1能熟练地掌握二元方程组的解法，并通过解方程或方程组，解决直线与圆的位置关系问题2根据给定的直线、圆的方程，会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线l：axbyc0(a2b20)，圆c：(xa)2(yb)2r2(r0)，设圆心(a，b)到直线的距离是d，d，则有：位置关系几何特征代数特征(方程联立)相离dr无实数解(0)相切dr_相交_代数法和几何法来研究直线与圆的位置关系各有特点“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”【做一做11】直线4x3y400与圆x2y264的位置关系是()a外离 b相切c相交 d相切或外离【做一做12】若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()a1或 b1或3c2或6 d0或4【做一做13】(2010课标全国卷)过点a(4,1)的圆c与直线xy10相切于点b(2,1)，则圆c的方程为_1过点(x0，y0)的圆的切线方程的求法剖析：(1)当点(x0，y0)在圆x2y2r2上时，切线方程为x0xy0yr2；(2)当点(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2上时，切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2；(3)点(x0，y0)在圆外，则可设切线方程为yy0k(xx0)，变成一般式kxyy0kx00，因为与圆相切，所以可利用圆心到直线距离等于半径，解出k.注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，不能忽略2弦长的求法剖析：已知圆c：(xx1)2(yy1)2r2，直线ab：axbyc0(a，b不同时为0)，如图，abc是等腰三角形，取弦ab的中点d，则cdab，且cd平分弦ab，因此弦长|ab|2，其中d表示弦心距，d.另外，还可以从方程的角度用两点间距离公式去计算，这时结合根与系数的关系，进行整体代换求得，即将直线ab：ykxm代入(xx1)2(yy1)2r2，消去y得关于x的一元二次方程ax2bxc0，设直线与圆的交点a(x2，y2)，b(x3，y3)，则x2，x3是上述方程的两个根，由根与系数的关系，得x2x3，x2x3，则|ab|x2x3|.题型一 直线与圆的位置关系【例1】求当为何值时，直线xy10与圆x2y24x2y10相交？相切？相离？分析：可利用直线与圆的方程构成的方程组的解的情况，或圆心到直线的距离与圆半径之间的关系，列条件求解的值或的取值范围反思：判断直线与圆的位置关系可以从代数法和几何法两种角度入手，但用几何法解决更简便题型二 关于弦长问题【例2】求直线yx被圆(x2)2(y4)210所截得的弦长分析：求直线被圆所截弦长的方法，一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二是用弦长公式反思：求直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理题型三 直线与圆的综合问题【例3】已知o为坐标原点，o1：x2y2x6yc0与直线x2y30的两个交点分别为p，q，那么当c取何值时，opoq?分析：利用代数方法，即联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系对opoq进行转化反思：当圆中的几何特征不明显时，往往采用代数方程的思想，体现了解析几何的本质特征这也是解决解析几何的重要方法【例4】求圆(x3)2(y3)29上到直线l：3x4y110的距离为1的点有几个？分析：此题应从圆心到直线l的距离与圆的半径3之间的关系入手分析求解反思：解决有关直线与圆的问题要有作图意识，准确作图能帮助我们更快更准地分析题意另外，要善于挖掘题目的切入点，找出临界是关键题型四 易错辨析【例5】若直线l过点p(2,3)，且与圆(x1)2(y2)21相切，求直线l的方程错解：设直线l：y3k(x2)，即kxy32k0.因为直线l与圆(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直线l的方程为12x5y90.错因分析：忘记讨论斜率不存在时的情况1直线l：4x3y50与圆c：x2y24x2ym0无公共点的条件是m()a(，0) b(0,5)c(1,5) d(1，)2已知直线l：axyb0，圆c：x2y22ax2by0，则l与c在同一坐标系中的图形只可能是()3(2011山东德州一中高一检测)若圆x2y22x4y0被直线xya0截得的弦长为3，则a的值为()a2或2 b或 c2或0 d2或04过点a(3，4)，且与圆x2y225相切的直线方程是_5已知圆c和y轴相切，圆心c在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆c的方程答案：基础知识梳理1一组实数解(0)dr两组实数解(0)【做一做11】b【做一做12】d圆心到直线的距离d，所以|a2|2，解得a4或a0.【做一做13】(x3)2y22设圆c的方程为(xa)2(yb)2r2，圆心(a，b)到直线xy10的距离 dr，又圆c过a(4,1)，b(2,1)，(4a)2(1b)2r2，(2a)2(1b)2r2.由，得a3，b0，r，圆的方程为(x3)2y22.典型例题领悟【例1】解法一：由消去y，得(12)x22(222)x2440.因为120，且4(222)24(12)(244)4(34)，所以当0，即0或时，直线与圆相切；当0，即0或时，直线与圆相交；当0，即0时，直线与圆相离解法二：将圆x2y24x2y10配方，得(x2)2(y1)24.圆心到直线的距离为d.所以当d2，即0或时，直线与圆相切；当d2，即0或时，直线与圆相交；当d2，即0时，直线与圆相离【例2】解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d.于是，弦长为224.解法二：联立方程yx与(x2)2(y4)210，得2x212x100.设两个交点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，于是由根与系数的关系，得x1x26，x1x25，则|ab|4.【例3】解：如图所示，联立得方程组此方程组的解即为p，q两点的坐标p(x1，y1)，q(x2，y2)方程组消去x，得5y220y12c0，则y1y2，y1y24.而x1x2(32y1)(32y2)96(y1y2)4y1y2964415.由opoq，有1，即x1x2y1y20.150.c3.【例4】解法一：圆(x3)2(y3)29的圆心o1(3,3)，半径r3.设圆心o1到直线3x4y110的距离为d，则d23.如图所示，在圆心o1同侧，与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意又rd321，与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3个解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点设所求直线方程为3x4ym0，则d1，m115，即m6或m16，故l1：3x4y60或l2：3x4y160.设圆o1：(x3)2(y3)29的圆心到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d13，d21.l1与圆o1相切，与圆o1有一个公共点；l2与圆o1相交，与圆o1有两个公共点故符合题意的点共有3个【例5】正解：(1)若直线l的斜率存在，设直线l：y3k(x2)，即kxy32k0.因为直线l与圆(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直线l的方程为12x5y90.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x2也符合要求所以直线l的方程为12x5y90或x2.随堂练习巩固1c由圆心(2,1)到直线l：4x3y50的距离大于圆的半径及方程满足圆的条件可得2b注意