解三角形应用举例--复习课.doc

复习课: 解三角形应用举例教学目标重点：会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法难点：利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系能力点：解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等教育点：熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，培养学生观察、分析、归纳能力自主探究点：通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力易错点：实际问题转化解三角形，要注意答语、单位学法与教具1学法：讲授法、讨论法 2教具：多媒体、投影仪一、【知识结构】 二、【知识梳理】1.解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件 应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c. 在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角. 在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC180，求出角C. 在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图). (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.【范例导航】例1如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.分析 (1)分清已知条件和未知条件(待求).(2)将问题集中到一个三角形中，如ABC和BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC海里.又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶. 又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟.缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.点评 (1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路.如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题.(2)本题的易错点是，不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解变式训练:某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离（不要求作近似计算）解：在AOB中，设OA=a，OB=b因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以AOB=135则|AB|2=a2+b22abcos135=a2+b2+ab2ab+ab=（2+）ab，当且仅当a=b时，“=”成立又O到AB的距离为10，设OAB=，则OBA=45所以a=，b=，ab=，当且仅当=2230时，“=”成立所以|AB|2=400（+1）2，当且仅当a=b，=2230时，“=”成立所以当a=b=10时，|AB|最短，其最短距离为20（+1），即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（1）例2某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.分析 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40，此时DBF45，过点B作BECD于E，则AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，BD20.BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1).在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米).故所求的塔高为(3)米.变式训练: 如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.解(1)依题意知，在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100(米)，D1801353015，由正弦定理得，BC50(1)(米).在RtABE中，tan .AB为定长，当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD.当BECD时，在RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(米).设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t分钟.则t6060(分钟).(2)由(1)知当取得最大值60时，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsinBCDtan 6050(1)25(3)(米).即所求塔高AB为25(3)米.例3如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则 则BC=4，由已知得在AEC中，由正弦定理得： 在ABC中，由正弦定理得：在ABE中，由余弦定理得： 所以船速 答：该船的速度为 km/h.变式训练: 如图所示，已知扇形OAB，O为顶点，圆心角，半径为2 cm，在弧AB上有一动点P，由P引平行OB的直线和OA相交于C，求POC的面积的最大值以及此时的值解：因为PCOB，所以 所以在OCP中，由正弦定理得：SOCP 故当，时，SOCP有最大值2四、【解法小结】1在ABC中，A+B+C=，sin=cos，cos=sin，tan=cot2A、B、C成等差数列的充分必要条件是B=603在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：化边为角；化角为边并常用正弦（余弦）定理实施边角转化5用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长 6用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补五、【布置作业】必做题：1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC_.2.(2011上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_千米.3.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_ m.4.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_ m.5.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的 ()A.北偏东10 B.北偏西10C.南偏东10 D.南偏西10答案: 1.1302.3.104.500(1)5.B选做题：1如图，ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为A75B60C50D45解：作CE平面ABD于E，则CDE是太阳光线与地面所成的角，即CDE=40，延长DE交直线AB于F，连结CF，则CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为要使SABD最大，只需DF最大在CFD中，=DF=CF为定值，当=50时，DF最大答案：C2如图所示，公园内有一块边长的等边ABC形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上（1） 设AD，ED，求用表示的函数关系式；（2） 如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？请给予证明解：（1）在ABC中，D在AB上，SADE=SABC ，在ADE中，由余弦定理得： （2）令 ，则 则令 ，则；有最小值，此时DEBC，且 有最大值，此时DE为ABC 的边AB或