浙江2019版高考数学复习第二篇重点专题分层练中高档题得高分第11练三角函数与解三角形试题.docx

第11练三角函数与解三角形明晰考情1.命题角度：常与三角恒等变换相结合，考查三角函数的单调性、对称性、周期性、最值等；常与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积等问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题的位置，中低档难度考点一三角函数的单调性、最值问题方法技巧类比ysinx的性质，将yAsin(x)中的“x”看作一个整体t，可求得函数的单调区间，注意的符号；利用函数yAsint的图象可求得函数的最值(值域)1(2017浙江)已知函数f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)由sin，cos，得f2222.(2)由cos2xcos2xsin2x与sin2x2sinxcosx得，f(x)cos2xsin2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得，2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为(kZ)2(2018北京)已知函数f(x)sin2xsinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值解(1)f(x)sin2xsinxcosxcos2xsin2xsin，所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知，f(x)sin.由题意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在区间上的最大值为，即sin在区间上的最大值为1，所以2m，即m.所以m的最小值为.3已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)当x时，求f(x)的最大值和最小值及相应的x的值解(1)当x时，2x，sin1，又a0，5f(x)1，解得(2)由a2，b5知，f(x)4sin1，当x时，2x，当2x，即x时，f(x)取得最小值5；当2x，即x0时，f(x)取得最大值3.考点二利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题4(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.5.如图，在平面四边形ABCD中，ABBDDA2，ACB30.(1)求证：BC4cosCBD；(2)点C移动时，判断CD是否为定长，并说明理由(1)证明在ABC中，AB2，ACB30，由正弦定理可知，所以BC4sinBAC.又ABD60，ACB30，则BACCBD90，则sinBACcosCBD，所以BC4cosCBD.(2)解CD为定长，因为在BCD中，由(1)及余弦定理可知，CD2BC2BD22BCBDcosCBD，BC244BCcosCBDBC24BC24，所以CD2.6在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.(1)求角A的大小；(2)若，a，求b的值解(1)由题意，可得3，即1，整理得b2c2a2bc，由余弦定理知，cosA，因为0A，所以A.(2)根据正弦定理，得cosA，解得tanB，所以sinB.由正弦定理得，b2.考点三三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsinB，即csinB.由正弦定理，得sinCsinB，故sinBsinC.(2)由题设及(1)，得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.8.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2asin CsinBasinAbsinBcsinC.(1)求角C的大小；(2)若acosbcos(2kA)(kZ)且a2，求ABC的面积解(1)由2asinCsinBasinAbsinBcsinC得，2absinCa2b2c2，sinC，sinCcosC，tanC，C(0，)，C.(2)由acosbcos(2kA)(kZ)，得asinBbcosA，由正弦定理得sinAcosA，且A(0，)，A.根据正弦定理可得，解得c，SABCacsinB2sin(AC)sin.9已知ABC的内角A，B，C满足：.(1)求角A；(2)若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值解(1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据，可得，化简得a2b2c2bc，所以cosA，又因为0A，所以A.(2)由正弦定理得2R(R为ABC外接圆半径)，所以a2RsinA2sin，所以3b2c2bc2bcbcbc，所以SbcsinA3(当且仅当bc时取等号)所以ABC的面积S的最大值为.例1(14分)已知函数f(x)4tanxsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)f(x)的定义域为，2分f(x)4tanxcosxcos4sinxcos4sinx2sinxcosx2sin2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2x2sin.5分所以f(x)的最小正周期T.7分(2)令z2x，则函数y2sinz的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.10分设A，B，易知AB.12分所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.14分构建答题模板第一步化简变形：利用辅助角公式将三角函数化成yAsin(x)B的形式第二步整体代换：将“x”看作一个整体，研究三角函数性质第三步回顾反思：查看角的范围对函数的影响，评价结果的合理性，检查步骤的规范化例2(14分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tanC的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2Asin2C，即sin2Bsin2C.2分所以cos2Bsin2C.4分又由A，即BC，得cos2Bsin2C2sinCcosCsin2C，又sinC0，解得tanC2.7分(2)由tanC2，C得sinC，cosC，8分又因为sinBsin(AC)sin，所以sinB，10分由正弦定理得cb，12分又因为A，bcsinA3，所以bc6，故b3.14分构建答题模板第一步找条件：分析寻找三角形中的边角关系第二步巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化第三步得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论第四步再反思：审视转化过程的等价性或合理性1(2018浙江)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos的值解(1)由角的终边过点P，得sin.所以sin()sin.(2)由角的终边过点P，得cos.由sin()，得cos().由()，得coscos()cossin()sin，所以cos或cos.2已知函数f(x)sinsinxcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性解(1)f(x)sinsinxcos2xcosxsinx(1cos2x)sin2xcos2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减3(2018全国)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题意知，ADB90，所以cosADB.(2)由题意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.4已知函数f(x)sinxcosxsin2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c