高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.5 曲线与方程课件 理 新人教B版.ppt

10 5曲线与方程 高考理数 1 曲线的方程 与 方程的曲线 在直角坐标系中 如果某曲线c 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 2 求动点的轨迹方程的步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点p x y 3 列式 列出动点p所满足的关系式 4 化简 依关系式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为关于x y的方程 并化简 知识清单 5 证明 证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程 3 求动点轨迹方程常用的方法 直接法 定义法 几何法 相关点法 代入法 参数法 交轨法 其中 统称为间接法 体现了一种转化思想 若解题过程中引入了n个参数 则只需建立 n 1 个方程 在探求轨迹方程的过程中 需要注意的是轨迹方程的 完备性 和 纯粹性 因此 在求得轨迹方程之后 要深入地思考一下 是否还遗漏了一些点 是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在 在所求得的轨迹方程中 x y的取值范围是否有限制 知识拓展 1 求轨迹方程时 要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对应的关系 若不是 则应对方程加上一定的限制条件 检验可以从以下两个方面进行 一是方程的化简是否为同解变形 二是是否符合题目的实际意义 2 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求 求轨迹时 应先求轨迹方程 然后根据方程说明轨迹的形状 位置 大小等 根据解析几何中一些常用定义 例如 圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 直接写出轨迹方程 或从定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 定义法求轨迹方程的一般步骤 1 判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义 2 设标准方程 求方程中的基本量 3 求轨迹方程 例1等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个端点是b 3 5 求另一个端点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 解析设另一端点c的坐标为 x y 依题意 得 ac ab 由两点间的距离公式 得 突破方法 方法1定义法求轨迹方程 整理得 x 4 2 y 2 2 10 方程表示以点a 4 2 为圆心 为半径的圆 如图所示 又因为a b c为三角形的三个顶点 所以a b c三点不共线 即点b c不能重合且b c不能为圆a的一直径的两个端点 因为点b c不能重合 所以点c不能为 3 5 又因为点b c不能为一直径的两个端点 所以 4 且 2 即点c不能为 5 1 双动点的轨迹问题常采用相关点法 相关点法求轨迹方程的一般步骤 1 与动点m x y 相关的点p x0 y0 在已知曲线上运动 2 寻求关系式x0 f x y y0 g x y 3 将x0 y0代入已知曲线方程 4 整理关于x y的关系式得m的轨迹方程 例2 2012辽宁 20 12分 如图 椭圆c0 1 a b 0 a b为常数 动圆c1 x2 y2 b t1 a 点a1 a2分别为c0的左 右顶点 c1与c0相交于a b c d四点 方法2相关点法求轨迹方程 由 得y2 x2 a2 由于点a x1 y1 在椭圆c0上 故 1 从而 b2 代入 得 1 x a y 0 2 证明 设a x2 y2 由矩形abcd与矩形a b c d 的面积相等 得4 x1 y1 4 x2 y2 故 因为点a a 均在椭圆上 所以b2 b2 由t1 t2 知x1 x2 所以 a2 从而 b2 因此 a2 b2为定值 2 1已知点a 1 0 和圆c x2 y2 4上一点r 动点p满足 2 则点p的轨迹方程为 a y2 1b y2 1c x2 1d x2 1答案a解析设p x y r x0 y0 则有 1 x0 y0 x 1 y 又 2 所以所以 又r x0 y0 在圆x2 y2 4上 2x 3 2 2y 2 4 即 y2 1 多动点的轨迹问题常采用参数法 交轨法 参数法求轨迹方程的一般步骤 1 选取参数k 用k表示动点m的坐标 2 得动点m的轨迹的参数方程 3 消参数k 得m的轨迹方程 4 由k的范围确定x y的范围 确保完备性与纯粹性 注意 1 参数的选择要合理 2 消参的方法灵活多样 3 对于所选参数 要注意取值范围 并注意参数取值范围对x y的取值范围的制约 例3 2015广东六校联盟三模 19 已知直角坐标系中 圆o的方程为x2 y2 r2 r 0 两点a 4 0 b 0 4 动点p满足 0 1 1 求动点p的轨迹c的方程 2 若对于轨迹c上的任意一点p 总存在过点p的直线l交圆o于m n两点 且点m是线段pn的中点 求r的取值范围 解析 1 设p x y 0 1 考点一西方人文精神的起源 古希腊先哲 消去 并注意到0 1可得动点p的轨迹c即为线段ab 方程为x y 4 0 0 x 4 2 设n x0 y0 p t 4 t 0 t 4 则m 由题意知方程组即有解 将方程组两式左 右两边分别相减得2tx0 2 4 t y0 t2 4 t 2 3r2 0 原方程组有解等价于点 0 0 到直线l 2tx 2 4 t y t2 4 t 2 3r2 0的距离小于或等于r 即 r 整理得 2t2 16 8t 3r2 2 4t2 4 4 t 2 r2 即 2t2 16 8t r2 2t2 8t 16 9r2 0 也就是r2 2t2 8t 16 9r2对任意的0 t 4恒成立 根据二次函数y 2t2 8t 16的图象特征可知 在区间 0 4 上 当t 0或t 4时 2t2 8t 16 max 16 当t 2时 2t2 8t 16 min 8 所以 r2 8 即 r 2 特别地 当r 2时 圆x2 y2 8与x y 4 0切于点 2 2 此时过c上的点p 2 2 没有符合要求的直线 故r 2 所以所求r的取值范围为 3 1已知曲线c x2 y2 4mx 2my 20m 20 0 1 证明 当m 2时 曲线c是一个圆 2 在 1 的条件下 求证圆心在一条定直线上 解析 1 由已知得d2 e2 4f 16m