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一校五题（通州中学提供）1 填空题（星级：三星，命题人：王新星）若函数，则 【解析】由倒序相加法，得2 填空题（星级：四星，命题人：曹 兵）根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：从原点O出发，以匀速v(m/s)沿东偏北(为(0，)内的变量)方向或正北方向行走，且方向改变的时间不定记机器人行走t(s)时的可能落点P的区域为，则的面积与(vt)2的比值为 第2题OQBACDPE【解析】如图，作以O为圆心，vt长为半径的四分之一圆，则的区域为弧AB和弦AB围成的弓形区域（除去开线段AB及点B）下证P落在弓形内，过P作OB的垂线，与弧AB、弦AB、OB交于D、C、E，作OQ使，交DC于Q对于某个的任何运动的轨迹相当于从O到Q，再从Q到P当P在C的下方时（包括和C重合），OQ+QP OD =vt综上，P落在弓形内（除去开线段AB及点B），其面积为，则的面积与(vt)2的比值为3 填空题（星级：四星，命题人：王新星）已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为 【解析】由题意0在R上恒成立，则，0令，3（当且仅当，即时取“=”）4 解答题（星级：五星，命题人：王新星，审题人：薛国均）若正数数列满足，其中是数列的前n项和 （1）求（2）若，是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由【解析】（1）令，又，得，即，为等差数列，（2），则考虑函数（x1），则令（x1），则0，在递减，x4时，则， 在递减；1x3时，则，在递增，即，又，当n1时，若存在两项相等，只可能是、与后面的项相等又，数列中存在唯一相等的两项5 解答题（星级：四星，命题人：王新星，审题人：薛国均）数列、满足求证：（1），；（2），奇数对，使得【解析】（1） （2）当时，取，显然成立假设当()，奇数对，使得当，取，则，由（1）知，又，均为奇数，可知、均为奇数综合可知，奇数对，使得【说明】第1题由2010年山东省初赛试卷第13题改编；第2题系原创；第3题由2010年河北省初赛试卷第11题改编，第
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