19.1.1变量与函数（1）

19.1.1变量与函数(1)【教学目标】1.知识与技能（1）了解变量与常量的意义；（2）体会运动变化过程中的数量变化2.过程与方法使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。3.情感态度和价值观渗透事物是运动的，运动是有规律的辩证思想。【教学重点】了解常量与变量的意义。【教学难点】常量与变量的确定及关系。【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。【课前准备】教学课件。【课时安排】1课时【教学过程】一、情景导入【过渡】在我们生活的世界中，所有的事物都是在不停的变化，行星在宇宙中的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；火箭的高度随时间而变化，雄鹰的飞翔也会变化。在我们周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。课件展示图片。（万物皆变)【过渡】当我们用数学的眼光来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温等.在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更好地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,从本节课开始我们将学习这一部分知识.万物皆变 量的变化 研究变量之间的关系把握运动变化规律。 二、新课教学（一）、阅读章引言问题探究:问题1：在事物的运动变化中，一个量随另一个量变化而变化的现象大量存在，请你再举出一个具有这种特征的相关例子加以说明.问题2：为了刻画变量之间相互依存和变化的关系，我们形成了什么概念？为了更深入地认识现实世界中运动变化的规律，我们需要研究什么内容？问题3：本章我们将主要学习哪些内容？将从哪些方面来展开研究？我们研究这些内容的思想方法是什么？问题4：章引言中的一张图表和图象反映了什么量随什么量变化而变化？分别是用什么方式反映它们的变化规律的？（二）变量与常量问题探究：大家先来思考一下几个问题。问题1:汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h. 1.填写下表,s的值随t的值的变化而变化吗?t/h12345s/km2.在以上这个过程中,不变化的量是 .变化的量是 .3.试用含t的式子表示s.涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；当时间t每取定一个值时，路程S就随之 就有唯一确定的值与其对应.问题2:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元;第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元;第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为元2.设一场电影售票x张,票房收入y元,则用含x的式子表示y为 涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变；当售票数量x每确定一个值时，票房收入y就有唯一确定的值与其对应问题3:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗? (1)填表:半径r(cm)102030圆面积S(cm2)(2) S与r之间满足下列关系:S=.涉及的量有：圆周率、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率始终不变；当r每确半径定一个值时，面积s就有唯一确定的值与其对应问题4:用10 m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?一边长为3 m,则它的邻边长为5-3=2(m).一边长为3.5 m,则它的邻边长5-3.5=1.5(m).一边长为4 m,则它的邻边长为5-4=1(m).一边长为4.5 m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).若矩形一边长为x m,则它的邻边长为 y=5-x(m),涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变.当一边长x每确定一个值时，邻边长为y就有唯一确定的值与其对应.问题：在思考（1）（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？s=60t. 且s随t的增大而增大y=10x 且y随x的增大而增大S =r2且s随r的增大而增大y=5-x, 且y随x的增大而减小.问题：在思考（1）（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？答：变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义.如:（1）中的时间t就不能为负数，（2）中票的张数x就只能为自然数.形成概念问题1：请给上述思考（1）（4）中发生了变化的量和始终不变的量起一个恰当的名称. 在一个变化过程中，我们称数值发生了变化的量为变量（variable），数值始终不变的量为常量（constant）问题2：在一个变化过程中，理解变量、常量的关键词是什么？在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词分别是：发生了变化和始终不变.要点精析：(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母；如在匀速运动中的速度v就是一个常量；(2)变量与常量是相对的，前提条件是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量；如在svt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量常用的变量之间的关系的表示方法有三种：表示方法说明优缺点关系式法用一个关系式(等式)表示两个变量之间的关系(1)能准确地反映两个变量在整个变化过程中的关系；(2)有些实际问题不一定能用关系式表示出来列表法用表格表示两个变量之间的关系(1)可由表中一个变量确定另一个变量的对应值；(2)所给变量的值往往是有限的，不容易看出两个变量之间关系的全貌图象法用图象表示两个变量之间的关系(1)能形象直观地表达两各变量之间的关系；(2)观察图象能得到两个变量之间的对应值，但往往是不完全准确 (1)关系式法；(2)列表法；(3)图象法巩固概念：问题(1):下图是某地一天的气温变化图象,任意给出这天中的某一时刻t,你能说出这一时刻的气温T吗? 这一问题中涉及哪几个量? 它们变化吗? 涉及的量有：时间t和温度T，温度T随时间t的变化而变化。图象法问题(2):弹簧原长22 cm,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:在这个问题中变化的量是什么?不变化的量是什么?x/kg0123456y/cm2222.52323.52424.525弹簧的原长不变,为22 cm,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化.因此,弹簧的总长=原长+伸长的长度. 列表法问题(3):你能举出生活中类似的例子吗?可以小组讨论.归 纳(1)常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,换句话说,在这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现.(2)判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的值是否发生变化.(3)常数也叫常量,如S=r2,其中常量是.三、例题分析43例1： 若球体体积为V,半径为R,则V = R3.其中变量是、,常量是.43解析根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意是一个常量.解：变量是R,V常量是.例2：写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C与半径r的关系式;解析先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解.解:C=2r, 2是常量 ,r, C是变量.(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(小时)的关系式.解：s=60t, 60是常量, t,s是变量.寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤：1.确定事物变化中的变量与常量.(变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.)2.尝试运算寻求变量间存在的规律.3.利用学过的有关知识公式确定关系式.四、巩固练习1.学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是,其中变量是,常量是. 解析:钢笔的价格是4元/支,总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是y=4x,变量为x,y,常量为4.2.在圆的周长公式 C=2R 中,下列说法正确的是()A.,R是变量,2 是常量 B. R是变量,C,2,是常量C.C是变量,2,R是常量 D. C,R是变量,2,是常量解析:C=2R,变量为C,R,常量为2,. 故选D.3.分别指出下列各关系式中的变量与常量.5252(1)三角形的一边长为5 cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S = h;52解:S= h,变量为S,h,常量为 . (2)若直角三角形中的一个锐角的度数为(度),则另一个锐角(度)与(度)间的关系式是=90-.解:=90- ,变量为,常量为-1,90.4.要画一个面积为10 cm2的圆,圆的半径应取多少?圆的面积为20 cm2呢?怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?解:根据圆的面积公式S=r2 ,得r = ,面积为10 cm2的圆半径r = 1.78(cm).面积为20 cm2的圆半径r = 2.52(cm).用圆面积S的式子表示圆半径r的关系式为r = .5：根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件）与当日的销售量y（件）的变化关系如下表： 每天的销售价 x（元/件）200190180170160150140每天的销售量 y（件）8090100110120130140在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？请大胆猜想它们之间的变化规律，用关系式表示你猜想的变化规律，并指出关系式中的常量.变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件），当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化.变化规律满足：y=280x，关系式中的常量是：数字280. 6、如图，正形ABCD的边长为4 cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿ABC和ADC的路径向点C运动，当P、Q到达点C时都停止运动.设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2）.（1）在这个运动变化过程中，当运动时间x发生变化时，四边形PBDQ的面积y是否也随之发生变化？当运动时间x增大时，四边形PBDQ的面积y如何变化？（2）在这个运动变化过程中，运动时间x的取值有什么要求吗？为什么？（1）四边形PBDQ的面积y随运动时间x的变化而变化，当运动时间x增大时，四边形PBDQ的面积y不是一直增大. 当0x4时，y随x的增大而减小；当x=4时，四边形PBDQ不存在；当4x8时，y随x的增大而增大.（2）0x8，且x4.五、课堂小结 1变量、常量的概念变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量2会用一个变量表示另一个变量3、常用的变量之间的关系的表示方法有三种 (1)关系式法；(2)列表法；(3)图象法4、思想方法： 对应思想 六、布置作业：课本71页练习 （1）（2）（3）（4）板书设计问题：s=60t. 且s随t的增大而增大y=10x 且y随x的增大而增大S =r2且s随r的增大而增大y=5-x, 且y随x的增大而减小.1、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。2、常用的变量之间的关系的表示方法有三种 (1)关系式法；(2)列表法；(3)图象法3、寻求事物变化中变量之间变化