边长精化高程异常(4).doc

用边长改正数求取测区平均高程异常宋力杰 封延昌（信息工程大学郑州测绘学院，河南郑州，450052）摘要：边角网平差前须将观测值归算到椭球面上，归算离不开高程异常。文中推导了用边长的平差改正数计算测区平均高程异常改正数的公式，提出了精化平均高程异常改正数的迭代方法。此方法最大的优点是不需要天文、重力、空间等外部数据的支持，简单易行，不仅可以满足高程异常未知情况下观测值归算的需要，也可满足高程异常不精确情况下观测值归算的需要，通过迭代还可提高边角网的平差精度。关键词：边角网、大地高、高程异常、距离归算中图分类号：P233 文献标识码: A11 引言以观测水平方向值和大地点之间的测距边长确定大地点坐标的方法，是一种经典的测量方法，目前在建立大地控制网中仍然有着广泛的应用。这种以水平方向值和测距边为观测元素的水平控制网简称为边角网1。边角网的平差2一般在参考椭球面上或高斯投影平面上进行，平差前必须将水平方向观测值和测距边长归算到椭球面上3。为了进行精确的归算，应知道边角网中各测站点的大地高。因大地高等于正常高加高程异常，而边角网中一般会同时施测垂直角，故正常高容易得到，所以获取大地高的关键是获得高程异常。就边角网的观测值归算而言，大地高的精度要求并不高，当测区规模不大时，归算公式中测站点的高程异常经常用测区平均高程异常来取代。实用中，高程异常可由不同的途径得到。早期的方法一般是从高程异常图上内插，此方法精度较低。另一种是模型法，即综合利用天文、重力、水准及空间数据建立计算高程异常的数学模型，以测站点的坐标为引数，即可由模型计算出高程异常4,5。还可以利用GPS水准的方法确定高程异常，等等。上述方法取得的高程异常均可满足边角网归算的需求。但这些方法在使用中也有不便之处，例如模型法，计算模型大多掌握的研究者或研究单位手中，一般用户只能有偿使用；GPS水准方法，只适合于具有GPS成果和水准成果的地区。为此，本文提出一种由边角网平差中的边长平差改正数求取测区平均高程异常的方法，其特点是高程异常的计算不依赖边角网以外的数据。本文方法不仅可以满足高程异常未知情况下观测值归算的需要，也可满足高程异常不精确情况下观测值归算的需要。作者曾用多个实测边角网验证本文方法的实用性。结果表明，无论高程异常未知还是高程异常已知，用本文方法都可求出或大或小的高程异常改正数，最后平差所得到的验后单位中误差均比原先有一定的减小，说明本文方法还可以提高平差结果的精度。2 高程异常计算公式由文献【2】可知，观测斜距归算为椭球面大地线长度的公式为 （1）式中： 为观测斜距； ；为测距边两端点的大地高；为测距边起点的大地纬度；为测距边大地方位角；是大地纬度为，大地方位角为之法截线曲率半径。由上式知，为了将斜距归算到椭球面，平差前就应知道大地高，设想如果存在误差，必将使归算后的边长带有误差，二者关系可由（1）式求微分得到： （2）其中 （3）（3）代入（2），得 （4）顾及到以及 得再顾及（4）式变成 （5）上式中，是斜距两端点大地高平均值的误差，是大地高误差引起的边长归算误差。如果视为高程异常，可视为以正常高代替大地高进行斜距归算给边长带来的误差。假如为已知，则可由反推出高程异常，即 （6）这就是利用边长改正数计算高程异常的公式。3 平均高程异常计算（6）式给出了边长改正数与高程异常的关系，但一般情况下，边长改正数是未知的，因此不可能直接由（6）式计算高程异常。为此，我们用边长的平差改正数以代替（5）中的，代替（5）中的，得 （7）当全网有n条边长时 （8）式中，为边角网平差时观测边长的平差改正数；表示点的编号。如果平差前已用平均高程异常的初始值进行了归算，（8）式求出的是平均高程异常的改正数。显然，边长的最小二乘残差中不仅有高程异常不精确产生的系统误差，也有随机观测误差的影响、还有最小二乘平差时将观测误差进行“均摊”产生的误差，以及微分公式未能顾及的高次项误差影响。能去掉或减弱后面三项误差，（8）式得到的才是所需平均高程异常值。因（8）式取了平均值，对随机误差可以忽略不计。而对后两项误差，可以采取迭代的方法，逐渐减弱它们的影响。迭代过程：先给平均高程异常一个初始值（可以是0），对观测值进行归算，用归算的观测值进行网平差，按（8）式求平均高程异常的改正数；将高程异常改正数加在高程异常初始值上，重新进行观测值归算，取前次坐标平差值作为坐标近似值再次进行网平差，求高程异常改正数；重复上述步骤，直至坐标改正数小于约定值（如0.001m），停止迭代。各次迭代求出的平均高程异常改正数的累加值即是所求平均高程异常改正数，最后一次平差坐标已经消除了平均高程异常不精确产生的影响。高程异常迭代计算流程图如图1所示。图1：高程异常迭代计算流程图上述迭代过程看似复杂，其实只需对原有的边角网平差软件稍作改动便可轻松完成。4 算例图2为某实测边角网，网中共有28个点，1、2、3为已知点，坐标属于BJ54坐标系；网中有144个观测方向值，验前中误差为0.7；69条测距边长，固定误差为0.005m，比例误差为。该网于1994年进行了平差，平差前，从高程异常图上查取测区平均高程异常为6.95m，按此值进行观测值归算，最小二乘平差的验后单位权中误差为1.212。 图2：实测边角网略图在已知数据和观测数据完全相同的情况下，用本文公式及高程异常迭代方法，经过6次平差迭代，得到平差结果。与1994年平差结果进行了比较：1）高程异常改正数为-21.116m，可见原采用的平均高程异常值存在较大误差。2）验后单位权中误差为0.967，比原1994年平差时的验后方差1.212明显减小，说明平均高程异常改正是合理的，对提高平差结果的精度是明显的。3）坐标平差值与1994年坐标平差值比较，x坐标最大相差0.019m（21号点），y坐标最大相差0.031m（7号点），说明原高程异常值的误差对平差结果的影响是不能忽略的。文中提出的平均高程异常精化方法，不需要额外的数据及模型，计算简便，实用性强，而且还可以提高平差结果的精度。参考文献1. 徐正杨等：大地控制测量学，北京，解放军出版社，1991。2. 宋力杰：测量平差程序设计，郑州测绘学院，1998。3. 熊介：椭球大地测量学，解放军出版社，1988。4. 陆仲连：地球重力场理论与方法，北京，解放军出版社，19965. 许厚泽等：中国地球重力场与大地水准面，解放军出版社，1997。5An approach to the height anomaly in synthetic geodetic network of distance and angle measurementsSong Li-jie, Feng Yan-chang(Zhengzhou Institute of Surveying and Mapping, Zhengzhou, 450052)A formula for average height anomaly correcting in measurement area calculated from residuals of the distances has been derived, and further an iterative calculating method is proposed. This method is simple and practical in computation that does not need the support of astronomy, gravity or space measurements. It improves the accuracy of the positions by the adjustment of geod