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2015年考研数学基础班讲义(下)武忠祥 第 七 章 微 分 方 程 考 试 内 容 概 要（一）常微分方程的基本概念1.微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。简称方程。2.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。3.微分方程的解 满足微分方程的函数，称为该方程的解。4.微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。5.微分方程的特解 微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。6.初始条件 确定特解的一组常数称为初始条件。7.积分曲线 方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。（二）一阶微分方程1.可分离变量的方程能表示为的方程，称为可分离变量的方程.求解的方法是两端积分2. 齐次方程 能化为的微分方程称为齐次微分方程.求解齐次微分方程的一般方法为：令，则，从而将原方程化为，此方程为可分离变量的方程。3. 线性方程 形如的方程称为一阶线性微分方程。求解一阶线性微分方程的一般方法为常数变易法，或直接利用以下通解公式4. 伯努利方程 （仅数学一要求） 形如的方程，称为伯努利方程。求解伯努利方程的一般方法为：令，将原方程化为一阶线性微分方程。5. 全微分方程（仅数学一要求） 如果方程的左端是某个函数的全微分： 则称该方程为全微分方程。此方程的通解为 求有以下三种方法 1）偏积分 2）凑微分 3）线积分 当在单连通域内具有一阶连续偏导数时，方程是全微分方程的充要条件是 注 如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式，首先考虑将，对调，即认定为的函数，再判定新方程的类型；或者利用简单的变量代换将其化为上述五种类型之一而求解。（三）可降阶的高阶方程（数学三不要求） 1. 型的微分方程2. 型的方程只需令，可将原方程化为一阶微分方程。3. 型的方程只需令，可将原方程化为一阶微分方程。（四）常系数线性微分方程1. 线性微分方程解的结构这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为 这里的均为连续函数.当方程右端的时，称为二阶线性齐次方程.否则称为二阶线性非齐次方程.齐次方程 （1）非齐次方程 (2)定理1 如果和是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，那么就是方程（1）的通解.【注】方程（1）的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数.定理2 如果是非齐次方程（2）的一个特解，和是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，则 是非齐次微分方程（2）的通解.定理3 如果，是非齐次方程（2）的两个特解，则是齐次微分方程（1）的解.定理4 如果，分别是方程 的特解，则是方程 的一个特解.2. 常系数线性齐次微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为, 其特征方程为，设，为该方程的两个根。（1）若，为两个不相等的实特征根，则方程的通解为 （2）若为二重实特征根，则方程的通解为。（3）若，为一对共轭复根，则方程的通解为 。3. 常系数线性非齐次微分方程 二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为 （1）若，其中为的次多项式，则方程的特解可设为 其中是与同次的多项式。是特征方程含根的重复次数.（2）若，其中，分别为的次，次多项式，则方程的特解可设为其中，是两个次多项式，。当不为方程的特征根时，取；当为方程的单特征根时，取。4. 欧拉方程（仅数学一要求）形如 (其中，为常数)的方程称为欧拉方程。令或，可将上述欧拉方程化为线性常系数方程，一般地有其中代表对求导数的运算。常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型 1方程求解 2综合题 3. 应用题【例1】（2014年1）微分方程满足条件的解为【】【例2】（2012年2）微分方程满足条件的解为 . 【】【例3】（2013年3）微分方程的通解为【】【例4】（2009年1）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为【】【例5】（2013年1,2）已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为【】【例6】（2007年4）设函数具有连续的一阶导数，且满足，求的表达式. 【】【例7】（2006年3）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.（I）求的方程；（II）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 【】【例8】（2009年2）设非负函数满足微分方程. 当曲线过原点时，其与直线及围成的平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体的体积.【】第 八 章 多 元 函 数 微 分 学考 试 内 容 概 要（一）多元函数的极限、连续、偏导数与全微分1. 二元函数定义1 设是平面上的一个点集，若对每个点变量按照某一对应法则有一个确定的值与之对应，则称为的二元函数，记为。其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为应变量。函数值的全体所构成的集合称为函数的值域。记为通常情况下，二元函数在几何上表示一张空间曲面.2. 二元函数的极限定义2 设函数在区域上有定义，点或为的边界点，如果存在，当且时，都有 成立，则称常数为函数当时的极限，记为或或注 1）这里的极限是要求点在内以任意方式趋近于点时，函数都趋近于同一确定的常数，否则该极限就不存在。 2）一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立（1）局部有界性 (2)保号性(3) 有理运算 （4）极限与无穷小的关系（5）夹逼性3.多元函数的连续性 1）连续的概念定义3 设函数在区域上有定义，点，如果 成立，则称函数在点连续；如果在区域上的每个点处都连续，则称函数在区域上连续。2）连续函数的性质多元函数具有下列性质和定理：（1）性质1 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；（2）性质2 多元连续函数的复合函数也是连续函数；（3）性质3 多元初等函数在其定义区域内连续；（4）性质4（最大值定理） 有界闭区域上的连续函数在区域上必能取得最大值与最小值。（5）性质5（介值定理） 有界闭区域上的连续函数在区域上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值。4.偏导数1）偏导数的定义定义4 设在点的某一邻域内有定义，如果存在，则称这个极限值为函数在点处对的偏导数，记为 或 或 类似地，如果存在，则称这个极限值为函数在点处对的偏导数，记为 或 或 注 由以上定义不难看出偏导数本质上就是一元函数的导数，其中就是一元函数在处的导数，就是一元函数在处的导数. 类似地，可以定义三元函数乃至元函数的偏导数。2）二元函数偏导数的几何意义 设为曲面上的一点。过点作平面与曲面相交，其交线为平面上的曲线，即则表示上述交线在点处的切线对轴的斜率。同样，过点作平面与曲面相交，其交线为平面上的曲线，则表示上述交线在点处的切线对轴的斜率。3）高阶偏导数定义5 如果在区域内的偏导函数，仍然存在偏导数，则称之为函数的二阶偏导数，常记为 或， 或, 或， 或.常称，为混合偏导数。定理1如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，则在该区域内这两个混合偏导数必定相等。对于三元函数也可以仿上定义二阶或更高阶偏导数，且二阶与高阶混合偏导数连续时，混合偏导数的值与求导次序无关。5. 全微分定义6（全微分） 如果函数在点处的全增量 可表示为其中，与，无关，则称函数在点处可微，而称为函数在点处的全微分，记为 如果在区域内的每一点都可微分，则称在内可微分。定理2（全微分存在的必要条件） 如果函数在点处可微，则该函数在点处的偏导数必定存在，且定理3（全微分存在的充分条件） 如果的偏导数在点处连续，则函数在点处可微.（二）多元函数的微分法1.复合函数的微分法定理4 设函数，在点处有对及对的偏导数，函数在对应点处有连续偏导数，则复合函数在点处的两个偏导数存在，且有 全微分形式的不变性 设函数、及都有连续的一阶偏导数，则复合函数的全微分即:不论把函数看做自变量,的函数，还是看作中间变量，的函数，函数的全微分形式都是一样的。2.隐函数微分法1）由方程确定的隐函数 若函数在点的某一邻域内有连续偏导数,且则方程在点的某邻域可唯一确定一个有连续导数 的函数并有2）由方程确定的隐函数 若函数在点的某一邻域内有连续偏导数,且 则方程在点的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数并有 3）由方程组确定的隐函数，（仅数一要求）欲求，可以将每个方程分别对求偏导数，得出以，为变量的方程组，可解得，。同样，将每个方程分别对求偏导数，可以得出以，为变量的方程组，解之可得，。（三）多元函数的极值与最值1.多元函数的极值1）无约束极值定义7 设函数在点的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点均有（或），则称为的极大值点（或极小值点）；称为的极大值（或极小值）。极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值。定理5（极值的必要条件） 设在点存在偏导数，且为的极值点，则 定理6（极值的充分条件） 设在点的某邻域内有二阶连续偏导数，又，。记 则有下述结论： （1）若，则为的极值点。 ，则为的极大值点。 ，则为的极小值点。（2）若，则不为的的极值点。（3）若，则可能为的极值点，也可能不为的极值点。求具有二阶连续偏导数二元函数极值的一般步骤为：（1）求出的驻点。（2）利用极值的充分条件判定驻点是否为极值点。 注 1）二元函数在偏导数不存在的点也可能取到极值（如），而这种点是否取得极值一般用极值定义判定； 2）二元函数可能取得极值的点就两种，驻点和偏导数不存在的点。2）条件极值及拉格朗日乘数法 求在条件下的条件极值的一般方法为：（1）构造拉格朗日函数。（2）将分别对，求偏导数，构造方程组解出及，则其中就是函数在条件下的可能极值点。以上方法可推广到对于元函数在个约束条件下的极值问题，如求在条件，下的极值，可构造拉格朗日函数 将对分别求偏导数，并构造方程组 解出及，则其中就是可能的极值点。对于实际问题，如果驻点唯一，且由实际意义知问题存在最大（小）值，则该驻点即为最大（小）值点。如果存在多个驻点，且由实际意义知道问题既存在最大值也存在最小值，只需比较各驻点处的函数值，最大的则为最大值，最小的则为最小值。常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型 1. 复合函数偏导数和全微分的计算 2.隐函数偏导数和全微分的计算 3. 求极值（无条件、条件）；4.求连续函数在有界闭区域上的最大最小值； 5. 最大最小值应用题.【例1】（2011年3） 设函数，则 . 【】【例2】（1991年1,2）由方程所确定的函数在点处的全微分 【】【例3】（1988年4）已知求 【】【例4】（1999年4）设其中是由确定的隐函数，则 【例5】（2007年1） 设为二元可微函数，则 【例6】（1990年5）设其中为可微函数，则 【例7】（2002年3）设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求 【例8】(2011年1,2) 设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值 求 【例9】（2003年3）设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是（A）在处的导数等于零. （B）在处的导数大于零.（C）在处的导数小于零. （D）在处的导数不存在. 【A】【例10】（2009年2）设函数的全微分为，则点（ ）（A）不是的连续点. （B）不是的极值点.（C）是的极大值点. （D）是的极小值点. D【例11】 求二元函数的极值. 无极值；极小值【例12】（2009年1,3） 求二元函数的极值. 极小值【例13】（2008年2） 求函数在约束条件和下的最大值和最小值. 【最小值6；最大值72】【例14】（2005年4） 求在椭圆域上的最大值与最小值。 第 九 章 二 重 积 分考 试 内 容 概 要(一)二重积分的概念及性质1.二重积分的概念定义1 设函数在有界闭区域上有定义。将区域任意分成个小闭区域 ，其中表示第个小区域,也表示它的面积.在每个上任取一点，作乘积，并求和记为个小区域，中的最大直径，如果存在，则称此极限值为函数在区域上的二重积分，记为 几何意义二重积分是一个数.当时，其值等于以为底，以为曲顶的曲顶柱体的体积；当时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。2.二重积分的性质 性质1 性质2 性质3 如果闭区域由曲线分为两个区域，则性质4 若记区域的面积为，则。性质5 在上若，则性质6 若在上有，则其中为区域的面积。性质7（二重积分的中值定理） 设函数在闭区域上连续，为区域的面积，则在上至少存在一点，使得（二) 二重积分的计算1利用直角坐标计算 1）先后 2）先后 2利用极坐标计算 1）先后 【注】适合用极坐标计算的二重积分的特征（1）适合用极坐标计算的被积函数: （2）适合用极坐标的积分域: 如3利用对称性和奇偶性计算1）若积分域关于轴对称,关于有奇偶性,则:2）若积分域关于轴对称,关于有奇偶性,则4利用变量对称性计算 若关于对称,则常考题型 1. 二重积分计算 2. 累次积分交换次序或计算 【例1】 交换累次积分的次序【例2】（2009年2） 设函数连续，则（ ）（A） （B）（C） （D） 【C】【例3】（1996年3）