高中物理问题在导数教学中的应用.pdf

2 0 0 8 年第 1 2 期 数学教 学 1 2 1 5 高中物理问题在导数教学中的应用 1 0 0 0 2 0北京市第八十中学 储惠珑 本文涉及的力学 电学知识都是学生在高一 和高二物理课上所熟悉的 在导数的教学中可以 作为例题或习题 这些物理内容可以加深对导 数的理解 使抽象的函数 自变量 变化率等概念 有了具体形象的物理内容 同时也可以加深对物 理概念和规律的理解 这些问题在物理课上是用 初等数学方法解决的 如果在数学课上用导数的 知识解决 学生会更感兴趣 并不比讲其它例题 习题费时间 对学生提高数学思维能力 发展数 学应用意识是有积极作用的 当然 这样做需要 数学教师了解一下物理课上是如何讲的 做好衔 接 学生对老师能够跨学科讲解会敬佩有加 1 法拉第电磁感应定律 在普通物理中表示 为e 一 n n 为匝数 即e n 但在 中学物理中 表示为 感应电动势等于磁通量的 变化率E n 其中没有负号 只表示电动 势的大小 磁通量 B BSC O S n 为闭 合回路面积S与垂直磁感应强度B的平面S 上的 夹角 高中物理中 磁通量的变化一般分为三种情 况 第一种情况是磁感应强度B随时间变化而 回路面积 不变 如B t B o 十 则磁通量 的变化量 BS k At S 磁通量的变化 率 k S 条件 B与 垂直 即磁感应强度 是时间的一次函数时 磁感应强度的变化率或感 应电动势是恒定的 第二种情况是匀强磁场中磁感应强度B不 变而闭合电路面积 S随时间变化 如图1 闭合 电路的一个边 n 6 做垂直切割磁感线的运动 为0 6 导线长度 V 为切割速度 为初始面积 s t S o L v t 则磁通量的变化 BAS BL v At 磁通量的变化率 一 2 BL v 条件 B 与 垂直且闭合电路的一个边 以匀速 在 面 内与 垂直做切割磁感线运动 这是法拉第电 磁感应定律的一种特例 感应电动势也是恒定的 R u b 图 1 前两种情况 磁通量都是时间的一次函数 所以 三 为定值 既是平均值 又是瞬时值 即 A 勺 d e t 一笋 值的 第三种情况是闭合电路平面S绕垂直于匀 强磁场的轴以角速度 匀速转动 如图2 这就 是交流发电机的情况 设 与B垂直时开始计时 t 0 则任一时刻S与S 上的夹角 w t 磁 通量随时间按余弦变化 t BS C O S w t 磁通量的变化为 B S c o s A t 一 COS 图 2 这种情况下 n E 即磁通量变化率 是 电动势的平均值 通常物理习题中用于计算 某段时间内的平均电动势 而由e n 和 一 B s i n w t 可得e n BS ws i n w t 这 就是物理课本中交流电动势的瞬时值的表达式 也可以写成e E m s i n w t 其中E m n BS w 叫电动势的最大值 物理课上是通过画图 推导 f 2 一 f 数学教学 2 0 0 8 年第 1 2 期 任一时刻感应电动势的值得出瞬时值表达式的 数学课上对这部分知识的应用可以包括以 下几点 1 由 t B SC O S w t 要求学生根据导数 定义求导 也可以用导数公式求导 这包括了复 合函数求导 2 一阶导数是函数图像的斜率 画出 t 和e 的图像如图3 可以看出 当w t 7 r 时 Ie J n BS w I s i n w t l 的值最 大为 n B S w 即 的斜率最大 但此时 t BS C O S w t 0 这就是物理课上所说的 磁通量的变化率最大 即感应电动势最大时 磁 通量的值为零 t 图 3 3 一阶导数为零时函数有极值 当e n BS w s i n w t 0 时 w t 丌 此时 I t l BS I C O S w t I BS的值最大 这就是物理课上所说的 磁通量变化率为零 即感应电动势为零时 磁通量的值最大 2 简谐振动 这部分知识 物理课上给出了 位移与时间关系的图像即振动图像是正弦曲线 今年人教版的新物理课本也给出了位移与时间 的函数关系 X A s i n w t 其中 为简谐振动最 大位移即振幅 为单位圆半径旋转的角速度 t 为转过的角度 t 从平衡位置开始计时 数学课上对这部分知识的应用可以包括以 下几点 如图4 1 位移的导数是速度 v t w AC O S w t 这里 速度仍是 时间的函数 可用于求导的练习 或一阶导数为 零时 求函数的极值 这就是物理课所讲的 简 谐振动位移为零时速度最大 位移最大时 速度 为零 2 速度的导数是加速度 a U W A s i n w t 一 u X 加速度 也是时间的函数 这里可以联系物理课所讲的 加速度与位移大小成正比 负号表示加速度与位 移方向相反 也可用于求导练习 一 个具体例题 一个弹簧振子做简谐振动 其位移随时间变化的规律为 5 s i n 3 t m 求 振动中最大速度 V X t t 1 5 C O S 3 t V I t 4 5 s i n 3 t 这实际是加速度 令 t 0 即当t 7 r 时速度最大为 1 5 m s 7 一b 且lt l x a 2 k 2 b 2 P1 为定向动 内弦 求 C O S s i n 一s i n O t C O S 并 令 C O S O L s in 0 得到当O z 0 a r c t a n 时 C O S O L s i n 有极值 为 1 2 下面判断是极大还是极小 在所讨论的区间 正弦为增函数 而余弦为减函数 所以当 0 即斜率大于零 而当 O l 0 时 C O S O L s i n 一s i n C O S 0 即斜率小于零 可见 1 2 为C O S Q s i n 的极大值 所以当 0 a r c t a n 时 拉力F有最小值 这个结果在物理课上是用三角函数得出的 3 求解电路的外电阻为何值时电源有最大 输出功率 可以由学生写出电源输出功率与外电阻的 函数式P I R 这龊学生熟悉 的物理内容 然后求P 并令P 0 可得 当内 外 电阻相等R r 时 P m 这个结果在物理课上是用配方的办法解得 的 联 立 方 程 2 2 L 9 4 一 消元得5 x 2 1 8 t x 9 t 4 0 则 l 2 一 1 8 t 设弦 P 1 尸 2 的中点为 尸 1 2 9 t J T 一 i 一