2011年数学文（湖北）

欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学 试题 （文史类） 本试题卷共 4 页，三大题 21 小题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证 号填写在 试题卷和 答题卡上。并将准考证号条形码粘 贴 在答题卡 上 的指定位置。 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解 答题的作答：用 0 5 毫米黑色 黑水 签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后， 请 将 本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知 1,2,3,4,5,6,7,8, 1,3,5,7, 2,4,5,U A B 则 U ABA 6, 8B 5, 7C4,6,7D 1 3,5,6,82若向量 1,2 , 1, 1ab ，则 2a+b 与的夹角等于 A 4B 6C 4D343若定义在 R 上的偶函数()fx和奇函数gx满足( ) ( ) xf x g x e，则 = AxxeeB12 xxeeC12 x x D 2xxee4将两个顶点在抛物线2 2 ( 0)y px p上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则 A0nB1nC2D35有一个容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间10,1内的频数为 A 18 B 36 C 54 D 72 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 6已知函数( ) 3sin cos ,f x x xx R ，若( ) 1fx，则 x 的取值范围为 A|2 2 ,3x k x k k Z B|,3x k x k k Z C5|2 2 ,66x k x k k Z D5x k x k k Z 7设球的体积为1V，它的内接正方体的体积为2V，下列说法中最合适的是 A1比2大约多一半 B1比2V大约多两倍半 C1V比2大约多一倍 D1比2大约多一倍 半 8直线2 10 0xy 与不等式组0024 3 2 0xyxyxy 表示的平面区域的公共点有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D无数个 9九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 A 1 升 B6766升 C4744升 D3733升 10若实数 a， b 满足0, 0ab，且0，则称 a 与 b 互补，记22( , ) ,a b a b a b 那么( , ) 0ab 是 a 与 b 互补的 A必要 而 不充分 的 条件 B充分 而 不必要的条件 C充要条件 D既不充分也不必 要 的 条件 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 11某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本，应抽取中型超市 _家。 121813x x的展开式中含15x的项的系数为 _。（结果用数值表示） 13在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期，从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过 保质期饮料的概率为 _。 （结果用最简分数表示） 14过点（ 1, 2）的直线 l 被圆22 2 2 1 0x y x y 截得的弦 长 为 2 ，则直线 l 的斜率为_。 15里氏震级 M 的计算公式为：0lg lgM A A，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 震的 振幅 为 0.001，则此次地震的震级为 级； 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 倍。 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 12 分） 设ABC的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知11, 2,cos 4a b C （ I） 求 的周长； （ II）求cos( )AC的值。 17（本小题满分 12 分） 成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、 5、 13 后成为等比数列 nb中的3b、4、5b。 （ I） 求数列 nb的通项公式； （ II） 数列 n的前 n 项和为nS，求证：数 列54nS是等比数列。 18（本小题满分 12 分） 如图，已知正三棱柱ABC-1 1 1ABC的底面边长为 2，侧棱长为32，点 E 在侧棱1AA上 ，点 F 在 侧棱1BB上 ，且 22AE,2BF （ I） 求证：1C CE； （ II） 求二面角1E CF C的大小。 19（本小题满分 12 分） 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米 /小时）是车流密度 x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度 达到 200 辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆 /千米时，车流速度为 60 千米 /小时，研究表明：当2 200x时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 （ I）当0 20x时，求函数 v（ x） 的表达式； （ II）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小时）( ) ( )f x vx可以达到最大，并求出最大值。（精确到 1 辆 /小时）。 20（本小题满分 13 分） 设函数32( ) 2f x x ax bx a ，2( ) 3 2g x x ，其中xR， a、 b 为常数，已知曲线 ()y f与y g x在点（ 2,0）处有相同的切线 l。 （ I） 求 a、 b 的值，并写出切线 l 的方程； （ II）若方程( ) ( )f x gx mx有三个互不相同的实根 0、1、2x，其中12xx，且对任意的 ,x x，( ) ( ) ( 1)f x 恒成立，求实数 m 的取值范围。 21（本小题满分 14 分） 平面内与两定点 1 ,0Aa、2（0a）连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹，加上1A、 A22A两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线。 （ ）求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 值的 关系； （）当 1m 时，对应的曲线为1C；对给定的 ),0()0,1( m ，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C上 ，是否存在点 N ，使得1FN 2F 的面积 2|S m a 。若存在，求 tan1FN 2F 的值；若不存在，请说明理由。 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 参考答案 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算。每小 题 5 分，满分 50 分。 A 卷： 1 5ACDCB 6 10ADBBC B 卷： 1 5DCABC 6 10ADBBC 二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 25 分。 11 20 12 17 13 2814514 1 或 17715 6， 10000 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16本小题主要考查三角函数的基本公 式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12 分） 解： （） 2 2 2 12 c o s 1 4 4 44c a b a b C Q2.c ABC 的周长为 1 2 2 5 .abc （） 221 1 1 5c o s , s i n 1 c o s 1 ( ) .4 4 4C C C Q15s i n 1 54s i n28aCAc ,a c A C Q ，故 A 为锐角， 22 1 5 7c o s 1 s i n 1 ( ) .88AA 7 1 1 5 1 5 1 1c o s ( ) c o s c o s s i n s i n .8 4 8 8 1 6A C A C A C 17本小题主要考查等差数列，等比数列及其 求 和公式等基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12 分） 解：（）设成等差数列的三个正数分别为 ,a d a a d 依题意，得 1 5 , 5 .a d a a d a 解 得 所以 nb中的345,b b b依次为 7 ,1 0 ,1 8 .dd 依题意，有 ( 7 ) ( 1 8 ) 1 0 0 , 2 1 3d d d d 解 得 或（舍去） 故 nb的第 3 项为 5，公比为 2。 由 223 1 1 152 , 5 2 , .4b b b b 即 解 得欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 所以 nb是以 54为首项， 2 为以比的等比数列，其通项公式为 135 2 5 24 nnnb （）数列 nb的前 n 项和 25 ( 1 2 )54 521 2 4nnnS ，即 22545 nnS 所以 111 255 5 5 24, 2 .542 524nnnnSSS 因此 5542nS 是 以为首项，公比为 2 的等比数列。 18本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分 12 分） 解法 1：（）由已知可得 22113 2 , 2 ( 2 2 ) 2 3C C C E C F 2 2 2 2 21( ) , 2 ( 2 ) 6E F A B A E B F E F C E 于是有 2 2 2 2 2 21 1 1 1,E F C E C F C E C E C C 所以11,C E E F C E C E又1,.E F C E E C E C E F 所 以 平 面由1,.C F C E F C F C E平 面 故（）在 CEF 中，由（）可得 6 , 2 3E F C F C E 于是有 EF2+CF2=CE2，所以 .CF EF 又由（）知 CF C1E，且1EF C E E，所以 CF 平面 C1EF， 又1CF平面 C1EF，故 CF C1F。 于是1EFC即为二面角 E CF C1 的平面角。 由（）知1CEF是等腰直角三角形，所以1 45BFC ，即所求二面角 E CF C1 的大小为 45 。 解法 2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 1( 0 , 0 , 0 ) , ( 3 , 1, 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 3 2 ) , ( 0 , 0 , 2 2 ) , ( 3 , 1, 2 )A B C C E F（）1 ( 0 , 2 , 2 ) , ( 3 , 1, 2 )C E C F u u uur u u ur1 0 2 2 0C E C F uuuur uuur欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 1 .CF C E（） ( 0 , 2 , 2 2 )CE uuur ，设平面 CEF 的一个法向量为( , , )m x y z 由 0,0,m C Em C E m C Fm C F u u uru u ur u u uru u ur得 即 2 2 2 0 , ( 0 , 2 , 1 )3 2 0yz mx y z 可 取设侧面 BC1 的一个法向量为1, , , ( 3 , 1, 0 )n n B C n C C C B u u u r u u u u r u u u r由 及)0,3,1(),23,0,0(1 nCC 可取 设二面角 E CF C1 的大小为，于是由为锐角可得 | | 6 2c o s| | | | 232mnmn ，所以 45 即所求二面角 E CF C1 的大小为 45 。 19本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12 分） 解：（）由题意：当 0 2 0 , ( ) 6 0x v x 时 ；当 2 0 2 0 0 , ( )x v x a x b 时 设 再由已知得1 ,2 0 0 0 , 32 0 6 0 , 2 0 0 .3aabab b 解 得 故函数 ()vx 的表达式为 6 0 , 0 2 0 ,() 1( 2 0 0 ) , 2 0 2 0 03xvx xx （）依题意并由（）可得 6 0 , 0 2 0 ,() 1( 2 0 0 ) , 2 0 2 0 03xxfx x x x 当 0 2 0 , ( )x f x 时 为增函数，故当 20x 时，其最大值为 60 20=1200； 当 20 200x 时， 21 1 ( 2 0 0 ) 1 0 0 0 0( ) ( 2 0 0 ) 3 3 2 3xxf x x x 当且仅当 200xx，即 100x 时，等号成立。 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 所以，当 1 0 0 , ( )x f x 时 在区间 20， 200上取得最大值 10000.3综上，当 100x 时， ()fx在区间 0， 200上取得最大值 10000 33333 。 即当车流密度为 100辆 /千米时， 车流量可以达到最大，最大值约为 3333辆 /小时。 20本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分 13 分） 解：（） 2( ) 3 4 , ( ) 2 3 .f x x a x b g x x 由于曲线 ( ) ( )y f x y g x与 在点（ 2， 0）处有相同的切线， 故有 ( 2 ) ( 2 ) 0 , ( 2 ) ( 2 ) 1 .f g f g 由此得 8 8 2 0 , 2 ,1 2 8 1 , 5 .a b a aa b b 解 得所以 2, 5ab ，切线 l 的方程为 20xy （）由（）得 32( ) 4 5 2f x x x x ，所以 32( ) ( ) 3 2 .f x g x x x x 依题意，方程 2( 3 2 ) 0x x x m 有三个互不相同的实数120, ,xx， 故12,xx是方程 2 3 2 0x x m 的两相异的实根。 所以 19 4 ( 2 ) 0 , .4mm 即又对任意的12 , , ( ) ( ) ( 1 )x x x f x g x m x 成立， 特别地，取1xx时，1 1 1( ) ( )f x g x m x m 成立，得 0.m 由韦达定理，可得1 2 1 2 1 23 0 , 2 0 , 0 .x x x x m x x 故对任意的1 2 2 1 , , 0 , 0 , 0x x x x x x 有 x-x则1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0f x g x m x x x x x x f x g x m x 又所以函数12( ) ( ) , f x g x m x x x x 在的最大值为 0。 于是当 0m 时，对任意的12 , , ( ) ( ) ( 1 )x x x f x g x m x 恒成立， 综上， m 的取值范围是 1( ,0).420本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分 14 分） 解：（ I）设动点为 M，其坐标为 ( , )xy ， 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 当 xa 时，由条件可得12222 ,M A M Ay y yk k mx a x a x a 即 2 2 2 ()m x y m a x a ， 又12( , 0 ) , ( , 0 )A a A A的坐标满足 2 2 2 ,m x y m a 故依题意，曲线 C 的方程为 2 2 2 .m x y m a 当 1,m时 曲线 C 的方程为 22 1,xy Ca m a是焦点在 y 轴上的椭圆； 当 1m 时，曲线 C 的方程为 2 2 2x y a， C 是圆心在原点的圆； 当 10m 时，曲线 C 的方程为 221xya m a， C 是焦点在 x 轴上的椭圆； 当 0m 时，曲线 C 的方程为 221,xya maC 是焦点在 x 轴上的双曲线。 （ II）由（ I）知，当 m=-1 时， C1 的方程为 2 2 2 ;x y a 当 ( 1 , 0 ) ( 0 , )m U 时， C2 的两个焦点分别为12( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) .F a m F a m 对于给定的 ( 1 , 0 ) ( 0 , )m U ， C1 上存在点0 0 0(