专题五：函数与导数应用(1)——教师版.doc

2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义-函数专题五：函数与导数应用（1）教师版导数的求导法则、几何意义、不等式一、基本练习：1、函数y=（x+1）2（x1）在x=1处的导数等于_4_解析:y|x=1=（x2+2x+1）（x1）|x=1=x3+x2x1|xx=1=（3x2+2x1）| x=1=4.2、设f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,则a的值等于_解析:f（x）=3ax2+6x,f（1）=3a6=4,所以a=.3、对任意x，有（x）=4x3，f（1）=1，则此函数为_A.f（x）=x42 B.f（x）=x4+2C.f（x）=x3 D.f（x）=x4解析：筛选法.答案：A4、已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是_4xy4=0._. 解析：P（2，4）在y=x3+上，又y=x2，斜率k=22=4.5、.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3xy+1=0的夹角为45,则点A的坐标为_（，）或（1，1）_.解析:设点A的坐标为（x0,y0）,则y|x=x=2x|x=x=2x=k1,又直线3xy+1=0的斜率k2=3.tan45=1=|.解得x0=或x0=1.y0=或y0=1,即A点坐标为（，）或（1，1）.6、如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为_54 _解析：s=6t2，s|t=3=54.7、若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_4_.解析：y=2x1，y|x=2=5.又P（2，6+c），=5. c=4. 二、典型例题：例题1：设函数y=axbx2cxd的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12xy=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.解:y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，P的坐标为P（0,d）.又曲线在点P处的切线方程为y=12x，P点坐标适合方程，从而d=.又切线斜率k=12，故在x=0处的导数yx=0=12,而y=ax22bxc，yx=0=，从而 c=12.又函数在x=2处取得极值0，所以yx=2=0,f（2）=0,即12ab12=0,ab20=0.解得a=2，b=9.所求函数解析式为y=2x39x212x.例题2：设函数f（x）=x32x+5.若对任意x1，2，都有f（x）m，则实数m的取值范围是_ m（，）_.解析：（x）=3x2x2=0，x=1， f（1）=5，f（）=5，f（1）=3，f（2）=7. m1时，2x3x2+1.证明：令f（x）=2x3x21，则（x）=6x22x=2x（3x1）.当x1时，（x）0恒成立. f（x）在（1，+）上单调递增.又f（1）=0， f（x）在（1，+）上恒大于零，即当x1时，2x3x2+1.（选做）例题4：已知函数f（x）=ln（ex+a）（a0）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）及f（x）的导数f（x）;（2）假设对任意xln（3a）,ln（4a），不等式|mf1（x）|+ln（f（x）0成立，求实数m的取值范围.解:（1）由y=f（x）=ln（ex+a），得x=ln（eya），所以y=f1（x）=ln（e xa）（xlna）.f（x）=ln（ex+a）=.（2）由|mf1（x）|+ln（f（x）0,得ln（exa）ln（ex+a）+xmln（exa）+ln（ex+a）x.设（x）=ln（exa）ln（ex+a）+x, （x）=ln（exa）+ln（ex+a）x,于是原不等式对于xln（3n）,ln（4a）恒成立.等价于（x）m（x）. （*） 由（x）=+1, （x）= +1,注意到0exaexex+a. 故有（x）0, （x）0,从而（x）、（x）均在ln（3a）,ln（4a）上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当（ln（4a）m（ln（3a）,即ln（a）mln（a）.三、课后练习：1、确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.解：=2x+b，k=y|x=2=4+b=2， b=2.又当x=2时，y=22+（2）2+c=c， 代入y=2x，得c=4. 2、过点P（1，2）且与曲线y=3x24x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是_2xy+4=0_.解析：y=6x4，切线斜率为614=2.所求直线方程为y2=2（x+1），即2xy+4=0.3、函数f（x）=sin（3x）在点（,）处的切线方程是_3x2y+=0_.解析:因为f（x）=3cos（3x）,所以所求切线的斜率为f（）=,切线方程为y= （x）,即3x2y+=0. 4、曲线y=x3+3x2+6x10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，x=1时，切线最小斜率为3，此时，y=（1）3+3（1）2+6（1）10=14.切线方程为y+14=3（x+1）.5、设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线y=