1.5.1二项式定理

二项式定理教学重点、难点重点：1）理解用计数原理分析的展开式从而进一步得到二项式定理。2）掌握并应用二项式展开式、二项式系数、二项式通项等概念。难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开后各项系数的规律.教学过程（一）、引入加推导：牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，他还是一位伟大的数学家。他数学生涯中的第一个重大成果就是我们今天研究的课题-二项式定理。今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究、发现二项式定理的过程。牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？问： 学生：问：学生：问：“为什么等于？”我们知道，根据乘法原理，知道展开式共8项，通过合并同类项，得到。从另外一个角度，展开式的每一项，都是从每个括号里任取一个字母相乘而得，因此各项都是三次式。为了出，从三个因式（a+b）中都不选b，都选了；为了出项，需要从一个因式（a+b）中选一个出，另两个因式自然选；为了出，从两个因式（a+b）中选了b，另一个因式选a，为了出，从三个因式（a+b）中都选b。问：能不能用前面所学过的知识，说明这四个系数是怎么得来的吗？的系数，从三个因式（a+b）中都不取b的取法有的系数，从三个因式（a+b）其中一个因式取出一个的取法有；的系数，从三个因式（a+b）其中两个取出两个b的取法有的系数，从三个因式（a+b）中都选b的取法有于是，有这种展开式和刚才的结果相等吗？刚才，同学们运用计数原理，分析了展开式中项的类型和项的系数，发现某些规律，这是一个重大的发现，下面，按照这种规律，你能将，的展开式直接写成类似的形式吗？ 做一点说明：我们在写展开式的时候，为了便于发现规律，我们以某一项的升幂排序，习惯上，我们以的升幂排序。每一项的系数即组合数，它的上标随着的次数增大而增大。问：根据这样的规律，的展开式是什么？分析：只要看清楚两点即可。展开式中会有哪几种类型的项？展开式中各项的系数是多少？ 先来说明第点。(a+b)n是n个(a+b)相乘，由于展开式中每一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，因此每一项都是an-kbk的形式，由于最少取0个，最多取n个，因此，k=0, 1, , n;再来解释第点。因为an-kbk是从这n个(a+b)中取k个b, n-k个a相乘得到的,而共有种取法，该项的系数就是，这样就得到了它的展开式。，今后将上述个公式所表示的定理叫做二项式定理。下面，请同学们做一个小练习。例1、 求二项式的展开式。解：说明：定理中的仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的次幂，就能运用二项式定理展开。（板书）左边这个式子叫二项式，右边多项式叫做的二项展开式。（二）、通项、展开式的二项式系数与系数；讨论下面两个问题：（a）二项式展开式的项数、次数的规律是什么？(板书)（1）项数：有n+1项（2）次数：a降幂排序，次数由n递减到0 ;b升幂排序，次数由0递增到n;各项的次数都为n等于二项式的次数。（b）二项式展开式中哪一项最有代表性？可能多数同学会答；那是展开式的第几项？应该是第项，其中。我们那项最有代表性的项就叫做二项展开式的通项，用，（抓住公式的特征，通项公式中，Tr+1是项的标志，注意其下标是r+1而非r；右边的二项式系数是个组合数，其下标是n，上标是r，上标比Tr+1的下标小1；右边a与b的指数和为n，且a 的指数是nr，b的指数是r）（c）展开式中那些组合数(r0，1，2，n)称为二项式系数。那它是不是等于展开式的系数呢？下面我们先来看一个题：例2、已知二项式 （1）展开式的第3项二项式系数是多少？（2）展开式的第3项系数是多少？（3）求展开式的常数项。方法一：（直接展开），上面公式里用代替，上面公式里用代替得：=组合数称作第三项的二项式系数，将240称作第三项的系数同学们在解题中要经常想一想有没有简便的方法。（先化简，再展开）：=组合数称作第三项的二项式系数，将240称作第三项的系数方法二：直接展开计算量较大，尽量引导学生利用通项公式来解：组合数称作第三项的二项式系数，将240称作第三项的系数显然二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与、无关。 （3）、，根据题意，则常数项为例3、已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，（1）求；（2）求二项式展开式所有有理项的二项式系数和；前三项的系数为1，成等差数列，（舍）（2）根据题意，一定是4的倍数（），所有有理项为，所有有理项的二项式系数和为72；二项展开式的通项公式，其中含有a，b，n，r，T五个量，显然，